数学人教A版（2019）必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解 课件 （共20张ppt）

(共20张PPT)
4.5.1 函数的零点与方程的解
定义：对于一般函数y=f(x)，我们把使 f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点
函数的零点
零点
不是点
零点是数
探究点一
求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16.
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.
方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
方程的根
函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
函数的零点
函数图象
函数的图象与x轴交点
x1=x2=1
无实数根
(-1,0),(3,0)
(1,0)
无交点
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
x1=-1,x2=3
-1, 3
1
无零点
二、抽象概念 内涵辨析
数
形
一是代数法
令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;
二是几何法
画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.
注：求函数零点时要注意零点是否在函数定义域内.
所以求函数的零点通常有两种方法:
当相应方程无法判断是否有解，或者函数图象无法作出，该如何判断函数是否存在零点？如
问题
？
解：
求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数
求方程lnx＋2x－6=0的解的个数，
画图可知这两个函数图象只有1个交点.
∴函数f(x)＝lnx＋2x－6零点只有一个.
即求y=lnx和y=－2x＋6=0图象交点个数.
观察二次函数y=x2-2x-3的图象
在零点附近，函数图象是连续不断的，
并且“穿过”x轴.
在x=2和x=4的取值异号，即 f(2) f(4)<0，函数在区间(2,4)内有零点x=3
在x=-2和x=0的取值异号，即 f(-2) f(0)<0，函数在区间(-2,0)内有零点x=1，
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。
函数零点存在定理
新知探究
捷克数学家伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理，同时证明了这个定理的一般情况（即介值定理）
a
b
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
思考1
？
不能
a
b
在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？
思考2
？
多个零点
a
b
a
b
唯一零点
f(x)在(a，b)内为单调函数
函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0？
思考3
？
a
b
不一定
定理不可逆
若f(a)·f(b)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定没有零点吗？
思考4
？
a
b
不一定
练 习
1.函数的零点所在区间是( )
A. (3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
B
练 习
2.函数f(x)=x3+x-1的零点所在区间是( )
A. (-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
C
练 习
3.设m为实数，若二次函数y=x2-2x+m在区间[1,+∞)上有且仅有一个零点，则m的取值范围是( )
A. (1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.R
C