九年级数学上册试题 第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷 -沪科版（含答案）

第21章《二次函数与反比例函数》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．
1．已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
2．将抛物线（　　）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣3）2+1．
A．y＝﹣2（x﹣5）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 D．y＝﹣2（x﹣4）2+3
3．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（　　）
A．2 B．6 C．﹣2 D．0
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1y2＝﹣3，则x2y1值为（　　）
A．12 B．6 C．﹣12 D．﹣6
7．如图，Rt三角形ABC位于第一象限，AB＝4，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（　　）
A．5 B． C． D．4
8．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）
A．18° B．36° C．41° D．58°
10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的是（　　）
①该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5）；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：m＜2；
③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；
④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：m＜11．
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，P是反比例函数y图象上一点，矩形OAPB的面积是6，则k＝　 　．
在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是 　 　．
13．汽车在高速公路刹车后滑行的距离y（米）与行驶的时间x（秒）的函数关系式是y＝﹣3x2+36x，汽车刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是　 　米．
14．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 　 　米．
15．反比例函数y和y在第一象限的图象如图所示．点A，B分别在y和y的图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为　 　．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都填上）
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0；②4a+c＜2b；③m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；④方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2＜1，x1＞﹣3，其中正确结论的是　 　．
18．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　 　元．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．）
19．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝x+b与双曲线y2（k＞0）相交于点A，B两点，已知点A坐标（1，2）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并观察图象，写出当y1＜y2时，x的取值范围．
20．我们已经学习过反比例函数y的图象和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数y的图象和性质进行探索，并解决下列问题：
（1）该函数的图象大致是 　 　．
（2）关于此函数，下列说法正确的是 　 　．（填写序号）
①在各个象限内，y随着x增大而减小；
②图象为轴对称图形；
③函数值始终大于0；
④函数图象是中心对称图形．
（3）写出不等式3＞0的解集．
21．已知抛物线y＝ax2+bx+1（其中a，b是常数，且a≠0），其自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣2 m ﹣2 1 n …
（1）求这个抛物线的解析式及m、n的值；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个抛物线的图象；
（3）如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是　 　．
22．若已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，
（1）求证：二次函数始终与x轴有2个交点；
（2）若a＞0且b＝2a﹣2，
①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，求a的取值范围；
②当a，n都为正整数时，若在﹣n﹣2≤x≤﹣n﹣1范围内，函数的值有且只有13个整数，求a的值．
23．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
24．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2）猜想并确定y关于x的函数解析式，并画出函数图象；
（3）设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移1个单位长度，得到点B．直线yx﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点A与点D关于x轴对称，
①求点B的坐标；
②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求三角形ACE面积的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
C．A．D．C．C．C．B．B．C．B．
二、填空题
11．6 12．0． 13．12． 14．7． 15．1．
16．①③④． 17．①②③． 18．1800．
三、解答题
19．（1）直线y1＝x+b与双曲线y2（k＞0）相交于点A（1，2），
∴2＝1+b，2，
∴b＝1，k＝2，
∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y，y＝x+1；
（2）解方程组得或，则B（﹣2，﹣1），
由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜1时，y1＜y2．
20．（1）∵在函数y中，|x|＞0，
∴y＞0，
当x＞0时，y随着x的增大而减小；当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∴函数图象在第一、二象限；
故答案为：D；
（2）由函数y的图象可知此图象具有以下性质：
函数的图象在一、二象限，当x＞0时，y随x增大而减小；当x＜0时，y随x增大而增大；
函数的图象关于y对称；
故说法正确的是②③，
故答案为②③：
（3）y＝3时，即：3，解得：x＝±，
根据函数的图象和性质得，不等式3＞0，即3的解集为：，
因此：不等式3＞0的解集为：．
21．（1）把（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣2），（0，1）代入y＝ax2+bx+c，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+1，
把x＝﹣2代入得y＝﹣3，
把x＝1代入得y＝6，
∴m＝﹣3，n＝6；
（2）描点、连线画出抛物线图象如图：
（3）由图象可知，如果直线y＝k与该抛物线有交点，那么k的取值范围是k≥﹣3．
故答案为k≥﹣3．
22．（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，
∴b≠0，
把（0，0）代入y＝ax2+bx+c，得c＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴始终有2个交点；
（2）函数对称轴为x＝﹣11，
抛物线的顶点为：[﹣1，]，
①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，而函数对称轴为x＝﹣11，
则a，∴（2a﹣2）2≤4a2，
解得：a；
函数不关于y轴对称，则b＝2a﹣2≠0，故a≠1，
综上，a且a≠1；
②当x＝﹣n﹣2时，y1＝a（n+2）2﹣b（n+2），
当x＝﹣n﹣1时，y2＝a（n+1）2﹣b（n+1）
△y＝y1﹣y2＝a（2n+1）+2；
则△y有13个整数，即a（2n+1）+2＝12，
解得：a＝2．
23．（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
24．（1）对应点如图所示：
（2）根据图象猜测y关于x的函数解析式为，
∵x＝3时，y＝20，
∴，解得k＝60，
∴，
∵把实数对（4，15），（5，12），（6，10）代入都符合，
∴y关于x的解析式为，
其图象是第一象限内的双曲线的一支，如图2所示．
（3），
∵x≤10，
∴当x＝10时，W有最大值，最大日销售利润为60﹣12＝48（元）
∴当日销售单价定为10元时，才能获得最大日销售利润．
25．（1）抛物线的对称轴为：x1；
（2）①∵直线yx﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．
∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，﹣3）．
∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，
∴点A的坐标为（0，3）．
∵将点A向右平移1个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为（1，3）；
②抛物线顶点为P（1，3﹣a）．
（ⅰ）当a＞0时，如图1．
令x＝4，得y＝16a﹣8a+3＝8a+3＞0，
即点C（4，0）总在抛物线上的点E（4，8a+3）的下方．
∵yP＜yB，
∴点B（1，3）总在抛物线顶点P的上方，
结合函数图象，可知当a＞0时，抛物线与线段CB恰有一个公共点．
（ⅱ）当a＜0时，如图2．
当抛物线过点C（4，0）时，
16a﹣8a+3＝0，解得a．
结合函数图象，可得a．
综上所述，a的取值范围是：a或a＞0
26．（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0），
将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1；
（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），
E（x，x2﹣2x﹣3），
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2＝﹣（x）2，
∴当x时，PE的最大值，
则△ACE的面积的最大值是：【2﹣（﹣1）】；
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4，0），F4（4，0），
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF＝CG＝2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；
②如图，AF＝CG＝2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y＝﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y＝﹣x+4，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4，0）；
④如图，同③可求出F的坐标为（4，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．