九年级数学上册试题 23.2解直角三角形的应用：仰角俯角问题-沪科版（含答案）

23.2解直角三角形的应用：仰角俯角问题
一、选择题
1．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（　　）
A．（480300）米 B．（960300）米
C．780米 D．1260米
2．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（　　）
A．米 B．90米 C．120米 D．225 米
3．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测角仪测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A1处，测得点D的仰角为67.5°．已知测角仪AB的高度为1米，则楼房CD的高度为（　　）
（tan67.5°＝1）
A． B． C． D．
4．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（　　）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．9.5米 B．9.6米 C．9.7米 D．9.8米
5．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24
6．家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据sin37°，tan37°，sin10°，tan10°）
A．55.0米 B．50.3米 C．48.1 米 D．57.3米
7．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（　　）米．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米
8．小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角45°，已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（　　）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
A．13.6 B．18.1 C．17.3 D．16.8
9．小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（　　）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）
A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米
10．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台AB、中部的大跳台腾空起点C、赛道CE、底部的看台区EF组成．为有效进行工程施工监测，现在C处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），CE赛道可近似视作坡度为1：2.4的一段坡面，通过GPS高程测量仪测得A点、E点的海拔高度差（即AH）是160米，从顶峰平台A点俯视C处的标志旗，俯角约为37°．由C处释放的遥控无人机竖直上升到与平台AB水平位置D后，遥感测得AD之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则CE赛道长度约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
二、填空题
11．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为　 　米（结果保留根号）．
12．如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离AB为1.5m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30°，看建筑物顶部D的仰角为45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．则建筑物CD的高度　 　m．
13．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是　 　米．
14．河的对岸有一电线杆CD，从点A测得电线杆顶端的仰角为α，前进am，到B处测得电线杆顶端D的仰角为β（如图），则电线杆的高度为　 　．（结果用含有a、α，β的代数式表示）
15．如图，AB是一座办公大楼，一架无人机从C处测得楼顶部B的仰角为60°，测得楼底
部A的俯角为37°，测得与大楼的水平距离为40米，则该办公大楼的高度是　 　米．（结果保留整数，参考数据：1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
16．如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于　 　米（保留根号）．
17．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为　 　米（结果保留根号）．
18．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝　 　米（结果保留根号）．
三、解答题
19．如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
20．某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为53°，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离AC的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：1.732，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°）
21．如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．
（1）求斜坡DE的高EH的长；
（2）求信号塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
22．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
23．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．
（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；
（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．
（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
24．图1是某地摩天轮的图片，图2是示意图．已知线段BC经过圆心D且垂直于地面，垂足为点C，当座舱在点A时，测得摩天轮顶端点B的仰角为15°，同时测得点C的俯角为76°，又知摩天轮的半径为10米，求摩天轮顶端B与地面的距离．（精确到1米）
参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．
答案
一、选择题
A．C．C．D．B．C．D．B．B．C．
二、填空题
11．12． 12．． 13．（15﹣5）． 14．．
15．99． 16．（2025）． 17．（50﹣10）． 18．（100+100）．
三、解答题
19．过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG，
∴EG7（米）．
∴DH＝EG＝7米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7（30+7）米．
答：大楼BC的高度是（30+7）米．
20．连接DE，如图所示：
由题意得：DE⊥CD，BE⊥AC，DC⊥AC，DE＝23米，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠C＝∠CDE＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD，BC＝DE＝23米，
∵∠AEB＝30°，
∴BEAB，
在Rt△ACD中，tan∠ADCtan53°，
∴ACCD，
设AB＝x米，则CD＝BEx米，ACx米，
∵BC＝AC﹣AB＝23，
∴x﹣x＝23，
解得：x≈17.6，
∴AC＝AB+BC≈17.6+23≈40.6（米），
答：塔帽与地面的距离AC的高度约为40.6米．
21．（1）过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，
∴设EH＝x，则DH＝2.4x．
在Rt△DEH中，
∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，
解得，x＝25（米）（负值舍去），
∴EH＝25米；
答：斜坡DE的高EH的长为25米；
（2）∵DH＝2.4x＝60（米），
∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，
∴四边形EHCM是矩形，
∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝37°，
∴AM＝EM tan37°≈120×0.75＝90（米），
∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．
∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．
答：信号塔AB的高度为23米．
22．（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，
如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，
∵CD∥AB，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE＝DF，CD＝EF，
∵∠DBA＝45°，
∴DF＝BF，
设DF＝BF＝CE＝x米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，
∴AFDFx（米），
∴AE＝AF﹣EF＝（x﹣220）米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，
∵CE＝AE tan37°，
∴x＝（x﹣220）×0.75，
解得x＝60（34）＝（180240）米，
∴AEx﹣220＝（320+240）米，
FB＝x＝（180240）（米），
∴AB＝AE+EF+FB
＝320+240220+180240
＝780+420
≈1507（米），
答：限速道路AB的长约为1507米；
（2）∵1分20秒小时，
∴该汽车的速度约为：150767.8km/h＞60km/h，
∴该车超速．
23．（1）作DH⊥AE于H，如图所示：
在Rt△ADH中，∵，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴（2DH）2+DH2＝（6）2，
∴DH＝6米．
答：乙同学从点A到点D的过程中，他上升的高度为6米；
（2）如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x米，
由（1）得AH＝2DH＝12米，
在矩形DGCH中，DH＝CG＝6米，DG＝CH＝AH+AC＝（x+12）米，
在Rt△BDG中，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝（x﹣6）米，
∵tan∠BDG，
∴0.5，
解得：x≈24米，
答：大树的高度约为24米．
24．连接AB、AD、AC，过点A作AE⊥BC于E，
则∠AEB＝∠AEC＝90°，
由题意得：点A、B在圆D上，
∴DB＝DA，
在Rt△ABE中，∠BAE＝15°，
∴∠DBA＝∠DAB＝75°，∠DAE＝60°，
∵DA＝10米，
∴AE＝5（米），
∴BE＝AE×tan15°≈5×0.27＝1.35（米），
∵∠EAC＝76°，
∴CE＝AE×tan76°≈5×4.01＝20.05（米），
∴BC＝BE+CE＝1.35+20.05≈21（米），
答：摩天轮顶端B与地面的距离约为21米．