北师大高中数学必修第一册第一章集合综合检测题（含答案）

北师大高中数学必修第一册第一章集合综合检测题(学生版)
时间：120分钟　　分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
2．设U＝{1,2,5,7,9}，A＝{1,2,5}，B＝{2,5,7}，则下列结论中正确的是(　　)
A．A B
B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1,2,5,7,9}
D．A∩( UB)＝{1}
3．有下列四个命题，其中真命题是(　　)
A． n∈R，n2≥n
B． n∈R， m∈R，m·n＝m
C． n∈R， m∈R，m2D． n∈R，n24．已知a，b∈R，则“a＋b>4”是“ab>4”的(　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．若a>0，b>0，a＋2b＝1，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
6．已知≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与y2＝在同一点取得相同的最小值，那么当≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c的最大值是(　　)
A. B．4 C．8 D.
7．几何代数法(以几何方法研究代数问题)是数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.>(a>b>0)
B．a2＋b2>2ab(a>b>0)
C.<(a>b>0)
D.<(a>b>0)
8．已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
10．下列说法中正确的是(　　)
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B．命题p： x∈R，x2>0，则非p： x∈R，x2<0
C．命题“若a>b>0，则<”的否定是假命题
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
11．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则(　　)
A．a2＋b2＋c2≥1
B．a＋b＋c≤
C.＋＋≤2
D．(a＋b＋c)2≥3
12．当一个非空数集G满足“任意a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法，其中正确的选项有(　　)
A．0是任何数域的元素
B．若数域G有非零元素，则2 021∈G
C．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域
D．任何一个数域的元素个数必为奇数
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}，则( RS)∪T＝________________．
14．若集合N＝{x|x2－2x＋a＝0}，M＝{1}，且N M，则实数a的取值范围是________________．
15．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式<0的解集是______________.
16．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．
(1)求A∩( UB)；
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
18．(12分)已知一元二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
19．(12分)已知p：实数x满足a0)，q：实数x满足2(1)若a＝1，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．(12分)已知一元二次函数y＝ax2＋bx－a＋2.
(1)若关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集是{x|－1(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0.
21．(12分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式(2)设x>a时，y＝有最小值6，求a的值．
22．(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：取1.4)
北师大高中数学必修第一册第一章集合综合检测题(解析版)
时间：120分钟　　分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　D　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题，其否定一定是一个存在量词命题，排除选项A，B；结合全称量词命题的否定方法，可知命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．故选D.
2．设U＝{1,2,5,7,9}，A＝{1,2,5}，B＝{2,5,7}，则下列结论中正确的是(　D　)
A．A B
B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1,2,5,7,9}
D．A∩( UB)＝{1}
解析：U＝{1,2,5,7,9}，A＝{1,2,5}，B＝{2,5,7}，则A不是B的子集；A∩B＝{2,5}，A∪B＝{1,2,5,7}； UB＝{1,9}，则A∩( UB)＝{1}，故选D.
3．有下列四个命题，其中真命题是(　B　)
A． n∈R，n2≥n
B． n∈R， m∈R，m·n＝m
C． n∈R， m∈R，m2D． n∈R，n2解析：对于选项A，令n＝，则2＝<，故A错；对于选项B，令n＝1，则 m∈R，m·1＝m显然成立，故B正确；对于选项C，令n＝－1，则m2<－1显然无解，故C错；对于选项D，令n＝－1，则(－1)2<－1显然不成立，故D错．故选B.
4．已知a，b∈R，则“a＋b>4”是“ab>4”的(　D　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：显然由a＋b>4不能推出ab>4，如a＝－1，b＝6；ab>4也不能推出a＋b>4，如a＝－1，b＝－6.
5．若a>0，b>0，a＋2b＝1，则＋的最小值为(　D　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：＋＝＋＋＝(a＋2b)·＋＝3＋＋≥3＋2＝7(当且仅当a＝b时取等号)，故选D.
6．已知≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c(b，c∈R)与y2＝在同一点取得相同的最小值，那么当≤x≤2时，y1＝x2＋bx＋c的最大值是(　B　)
A. B．4
C．8 D.
解析：y2＝＝x＋1＋.当x＝1时，y2取得最小值3，所以y1＝(x－1)2＋3.所以当x＝2时，y1max＝4.故选B.
7．几何代数法(以几何方法研究代数问题)是数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　D　)
A.>(a>b>0)
B．a2＋b2>2ab(a>b>0)
C.<(a>b>0)
D.<(a>b>0)
解析：由图形可知OF＝AB＝，
OC＝OB－BC＝－b＝，在Rt△OCF中，CF＝＝
＝>OF＝，故选D.
8．已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是(　C　)
A. B.
C. D.
解析：若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，对于 x∈R不成立，若a≠0，则解得a>，∴命题p为真命题时a的取值范围为，∴使命题p为假命题的a的取值范围是.故选C.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　BD　)
解析：由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件，故选BD.
10．下列说法中正确的是(　AC　)
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B．命题p： x∈R，x2>0，则非p： x∈R，x2<0
C．命题“若a>b>0，则<”的否定是假命题
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析：a>1，b>1时，易得ab>1，故A正确；全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p： x∈R，x2>0的否定为 x∈R，x2≤0，故B错误；“若a>b>0，则<”为真命题，所以其否定为假命题，故C正确；由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选AC.
11．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则(　AD　)
A．a2＋b2＋c2≥1
B．a＋b＋c≤
C.＋＋≤2
D．(a＋b＋c)2≥3
解析：由均值不等式知a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A项正确；(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故D项正确；令a＝b＝1，c＝0，可验证B项错误；令a＝b＝c＝，则ab＋bc＋ca＝1，但＋＋＝3＞2，故C项错误．
12．当一个非空数集G满足“任意a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的说法，其中正确的选项有(　ABD　)
A．0是任何数域的元素
B．若数域G有非零元素，则2 021∈G
C．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域
D．任何一个数域的元素个数必为奇数
解析：当a＝b时，由数域的定义可知，若a，b∈G，则有a－b∈G，即0∈G，故A是真命题；
当a＝b≠0时，由数域的定义可知，a，b∈G，则有∈G，即1∈G，若1∈G，则1＋1＝2∈G，则2＋1＝3∈G，…，则1＋2 020＝2 021∈G，故B是真命题；
当a＝2，b＝4时，＝ G，故C是假命题；
由0∈G，当b∈G且b≠0时，则－b∈G，因此只要这个数不为0，就一定成对出现，所以数域的元素个数必为奇数，所以D是真命题．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}，则( RS)∪T＝{x|x≤－2，或x＝1}．
解析： RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}＝{－4,1}．所以( RS)∪T＝{x|x≤－2，或x＝1}．
14．若集合N＝{x|x2－2x＋a＝0}，M＝{1}，且N M，则实数a的取值范围是[1，＋∞)．
解析：N M，则N＝{1}或N＝ ，
当N＝{1}时，N＝{x|x2－2x＋a＝0}＝{1}，解得a＝1；
当N＝ 时，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，满足Δ＝4－4a<0，
∴a>1.综上所述，a≥1.
15．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式<0的解集是.
解析：由题图知，1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以－＝3且＝2，所以b＝－3a，c＝2a且a>0.
不等式<0等价于(ax＋b)·(cx＋a)<0，即(x－3)(2x＋1)<0，所以－16．某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50解析：设销售价格定为每件x(50设x－50＝t，则0所以y＝＝
＝≤
＝2 500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．
(1)求A∩( UB)；
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
解：(1)A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2≤x＜5}，U＝R，
所以 UB＝{x|x＜2，或x≥5}，
所以A∩( UB)＝{x|－1≤x＜2}．
(2)由A∪C＝C，得A C，
又C＝{x|x＞a}，A＝{x|－1≤x≤3}，所以a的取值范围是a＜－1.
18．(12分)已知一元二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
解：(1)因为y>0的解集为{x|－3所以解得
所以y＝－3x2－3x＋18.
(2)因为a＝－3<0，所以一元二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.
19．(12分)已知p：实数x满足a0)，q：实数x满足2(1)若a＝1，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)若a＝1，p为真：1(2)设A＝{x|a∵p是q的必要不充分条件，
∴B?A，∴解得综上，a的取值范围为.
20．(12分)已知一元二次函数y＝ax2＋bx－a＋2.
(1)若关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集是{x|－1(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式ax2＋bx－a＋2>0.
解：(1)因为不等式ax2＋bx－a＋2>0的解集为{x|－1所以－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根，
所以可得
解得
(2)当b＝2时，y＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，因为a>0，所以(x＋1)(ax－a＋2)>0可转化为(x＋1)>0，
①若－1＝，
即a＝1时，解集为{x|x≠－1}．
②若－1>，即0解集为.
③若－1<，即a>1时，
解集为.综上，当0；当a＝1时，解集为{x|x≠－1}；
当a>1时，解集为
.
21．(12分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式(2)设x>a时，y＝有最小值6，求a的值．
解：(1)∵整理得(ax＋3)(x－a)<0.
当a>0时，(x－a)<0，
∴解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴y＝＝t＋
＋2a≥2＋2a＝
2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即y有最小值2＋2a.
依题意有2＋2a＝6，解得a＝1.
22．(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：取1.4)
解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度y1可表示为
当0≤x≤4时，y1＝－4；
当4则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得0≤x<8，
所以此时0≤x≤4.
当4解得x≤8，所以此时4综上得0≤x≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，
浓度y2＝2＋a＝10－x＋－a＝14－x＋－a－4.因为4≤14－x≤8，而1≤a≤4，所以4≤4≤8，故y2≥8－a－4.当且仅当14－x＝4时，
y2有最小值为8－a－4.
令8－a－4≥4，
解得24－16≤a≤4，
所以a的最小值为24－16≈1.6.