三角形的中位线[上学期]
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文档简介
三角形的中位线
教学目的：
1、 理解三角形中位线的概念，能说出它与三角形中线的区别。
2、 掌握三角形中位线定理，并能运用它进行简单的推理和计算。
3、 通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决比较复杂问题的能力。
教学重点：
三角形中位线的性质定理
教学难点：
证明三角形中位线性质定理时辅助线的添加和性质的灵活运用
教具：
多媒体课件
教学过程：
1、 复旧引新
1、 复习平行线等分线段定理及两个推论
2、 ［边演示边提问］如图：若D是AB的中点，DE∥BC，交AC于E，则E是AC的中点；DF∥AC，交BC于F，则F是BC的中点。
2、 讲解新课
1、 三角形中位线的定义
连结EF［问］图中的DE、DF、EF是怎样的线段？它们的端点与三角形各边有什么关系？
DE、DF、EF是连结三角形两边中点的线段，我们称之为三角形的中位线。
除定义外，可把平行线等分线段定理的推论2看成三角形中位线的判定定理。
一个三角形有三条中位线。
2、 三角形中位线与三角形中线的区别
中线的一个端点是三角形一边的中点，另一端点是这边所对的顶点。中位线则是两边中点的连线。
3、 三角形中位线性质的猜想及证明
1 如图：DE是△ABC的一条中位线。
［让学生仔细观察，充分想象］猜想中位线可能具有什么特殊的性质。
猜想：DE∥BC，DE＝BC
2 能证明这些猜想正确吗？
［分析］要证DE∥BC且DE＝BC，须作辅助线构造平行四边形。有3种思路：
延长DE到F，使EF＝DE， 过点C作CF∥AB， 过点D作DE’∥BC,
连结FC 与DE的延长线交于F 交AC于E’，
过D作DF∥AC，交BC于F
如右图，过点D作DE’∥BC, 交AC于E’，那么根据平行线等分线段定理推论2，E’是AC的中点，可见，D E’与DE重合，因此，DE∥BC。
同样，过D作DF∥AC，交BC于F，则BF= FC。
∵四边形DFCE是平行四边形,
∴ DE＝FC
∵ FC＝BC
∴ DE＝BC
[归纳得] 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
这个定理有一个特点：在同一个题设下，有两个结论。一个结论表明位置关系（平行于第三边），另一个结论表明数量关系（等于第三边的一半）。因此其应用广泛，在应用这定理时不一定同时用两个结论，有时须用平行关系，有时须用倍分关系，可以根据具体情况，按需选用。
4、 三角形中位线定理的应用
a、 课本P184 Ex2
b、 如图1：D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,AC＝8，
∠C＝70°,则DF＝ ,∠EDF＝ 。
c、 如图2：D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
1 则DE、DF、EF、AF分别是△ABC的 。
②若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为 。
③若△ABC的面积为20cm2 ，则S△DEF＝ 。
[结论1]：三角形三条中位线围成的新三角形的周长等于原三角形周长的一半，面积等于原三角形面积的。
（口答）课本P184 Ex3
④AF、DE有何关系？
[结论2]：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
5、 例1：求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
分析：这是文字命题的证明题，要根据命题画出图形，写出已知，求证。
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：这里已知点E、F、G、H分别是线段的中点，设法应用三角形中位线定理找到四边形EFGH的边之间的关系。如何构造三角形？（四边形的对角线把四边形分成两个三角形） 故连结AC
证明：连结AC
∵AH＝HD,CG＝GD,
∴HG∥AC,HG＝AC(三角形中位线定理)
同理EF∥AC,EF＝AC.
∴HG ∥ EF
所以四边形EFGH是平行四边形。
[问]：若连结EG、FH,这两条线段有什么关系？
结论：连结任意四边形对边中点的线段互相平分。
[引申]：
顺次连结任意四边形各边中点所得四边形是 ；顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是 ；顺次连结矩形各边中点所得四边形是 ；顺次连结菱形各边中点所得四边形是 ；顺次连结正方形各边中点所得四边形是 ；顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形是 。
归纳：
如果四边形的对角线相等，那么顺次连结各边中点所得的四边形是菱形。
如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结各边中点所得的四边形是矩形。
如果四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结各边中点所得的四边形是正方形。
3、 巩固练习
a、 P184 Ex4
b、 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求证：BF = 4EF。
思路：遇到中点或三角形的中线时，常考虑是否可作中位线。因为中位线具有平移角和转化线段的功能。故“遇到中点想中位线”
4、 课堂小结
[师生共同小结]
1、本节课学习了什么内容？
2、应注意哪些概念之间和区别？（中线，中位线）
3、三角形中位线的判定方法有两种：定义、判定定理（平行线等分线段定理推论2）
4、三角形中位线定理是平行线等分线段定理推论2的逆定理，它提供了证明直线平行和线段数量关系的新方法，应用这个定理，关键在于找出（或构造）符合定理条件的基本图形。
运用中位线添辅助线的基本思路是：“遇到中点想中位线”。
讨论四边形有关问题时，常转化成三角形中的问题。
5、 布置作业
A组（必做）P188：4、6、7
B组（选做）如图,在等腰梯形ABCD中,MN分别是两底AB、CD的中点，E、F分别是DM、CM的中点，求证：EF和MN互相垂直平分
＝
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教学目的：
1、 理解三角形中位线的概念，能说出它与三角形中线的区别。
2、 掌握三角形中位线定理，并能运用它进行简单的推理和计算。
3、 通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决比较复杂问题的能力。
教学重点：
三角形中位线的性质定理
教学难点：
证明三角形中位线性质定理时辅助线的添加和性质的灵活运用
教具：
多媒体课件
教学过程：
1、 复旧引新
1、 复习平行线等分线段定理及两个推论
2、 ［边演示边提问］如图：若D是AB的中点，DE∥BC，交AC于E，则E是AC的中点；DF∥AC，交BC于F，则F是BC的中点。
2、 讲解新课
1、 三角形中位线的定义
连结EF［问］图中的DE、DF、EF是怎样的线段？它们的端点与三角形各边有什么关系？
DE、DF、EF是连结三角形两边中点的线段，我们称之为三角形的中位线。
除定义外，可把平行线等分线段定理的推论2看成三角形中位线的判定定理。
一个三角形有三条中位线。
2、 三角形中位线与三角形中线的区别
中线的一个端点是三角形一边的中点，另一端点是这边所对的顶点。中位线则是两边中点的连线。
3、 三角形中位线性质的猜想及证明
1 如图：DE是△ABC的一条中位线。
［让学生仔细观察，充分想象］猜想中位线可能具有什么特殊的性质。
猜想：DE∥BC，DE＝BC
2 能证明这些猜想正确吗？
［分析］要证DE∥BC且DE＝BC，须作辅助线构造平行四边形。有3种思路：
延长DE到F，使EF＝DE， 过点C作CF∥AB， 过点D作DE’∥BC,
连结FC 与DE的延长线交于F 交AC于E’，
过D作DF∥AC，交BC于F
如右图，过点D作DE’∥BC, 交AC于E’，那么根据平行线等分线段定理推论2，E’是AC的中点，可见，D E’与DE重合，因此，DE∥BC。
同样，过D作DF∥AC，交BC于F，则BF= FC。
∵四边形DFCE是平行四边形,
∴ DE＝FC
∵ FC＝BC
∴ DE＝BC
[归纳得] 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
这个定理有一个特点：在同一个题设下，有两个结论。一个结论表明位置关系（平行于第三边），另一个结论表明数量关系（等于第三边的一半）。因此其应用广泛，在应用这定理时不一定同时用两个结论，有时须用平行关系，有时须用倍分关系，可以根据具体情况，按需选用。
4、 三角形中位线定理的应用
a、 课本P184 Ex2
b、 如图1：D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,AC＝8，
∠C＝70°,则DF＝ ,∠EDF＝ 。
c、 如图2：D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
1 则DE、DF、EF、AF分别是△ABC的 。
②若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为 。
③若△ABC的面积为20cm2 ，则S△DEF＝ 。
[结论1]：三角形三条中位线围成的新三角形的周长等于原三角形周长的一半，面积等于原三角形面积的。
（口答）课本P184 Ex3
④AF、DE有何关系？
[结论2]：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
5、 例1：求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
分析：这是文字命题的证明题，要根据命题画出图形，写出已知，求证。
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：这里已知点E、F、G、H分别是线段的中点，设法应用三角形中位线定理找到四边形EFGH的边之间的关系。如何构造三角形？（四边形的对角线把四边形分成两个三角形） 故连结AC
证明：连结AC
∵AH＝HD,CG＝GD,
∴HG∥AC,HG＝AC(三角形中位线定理)
同理EF∥AC,EF＝AC.
∴HG ∥ EF
所以四边形EFGH是平行四边形。
[问]：若连结EG、FH,这两条线段有什么关系？
结论：连结任意四边形对边中点的线段互相平分。
[引申]：
顺次连结任意四边形各边中点所得四边形是 ；顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是 ；顺次连结矩形各边中点所得四边形是 ；顺次连结菱形各边中点所得四边形是 ；顺次连结正方形各边中点所得四边形是 ；顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形是 。
归纳：
如果四边形的对角线相等，那么顺次连结各边中点所得的四边形是菱形。
如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结各边中点所得的四边形是矩形。
如果四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结各边中点所得的四边形是正方形。
3、 巩固练习
a、 P184 Ex4
b、 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求证：BF = 4EF。
思路：遇到中点或三角形的中线时，常考虑是否可作中位线。因为中位线具有平移角和转化线段的功能。故“遇到中点想中位线”
4、 课堂小结
[师生共同小结]
1、本节课学习了什么内容？
2、应注意哪些概念之间和区别？（中线，中位线）
3、三角形中位线的判定方法有两种：定义、判定定理（平行线等分线段定理推论2）
4、三角形中位线定理是平行线等分线段定理推论2的逆定理，它提供了证明直线平行和线段数量关系的新方法，应用这个定理，关键在于找出（或构造）符合定理条件的基本图形。
运用中位线添辅助线的基本思路是：“遇到中点想中位线”。
讨论四边形有关问题时，常转化成三角形中的问题。
5、 布置作业
A组（必做）P188：4、6、7
B组（选做）如图,在等腰梯形ABCD中,MN分别是两底AB、CD的中点，E、F分别是DM、CM的中点，求证：EF和MN互相垂直平分
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