林州市名校2022-2023学年高二下学期7月月考
数 学 试 卷
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知A，B均为全集的子集，且，，则( ).
A. B. C. D.
2.某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是( ).
A. B. C. D.
3.在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，，则角B的大小为( )
A. B. C. D.
4.已知m，n为异面直线，平面，平面.若直线l满足，，，，则( ).
A.， B.与相交，且交线平行于l
C.， D.与相交，且交线垂直于l
5.已知的顶点，，其垂心为，则点A的坐标为( )
A. B. C. D.
6.若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是( )
A.e B. C. D.
7.已知数列中，，，若为等差数列，则( ).
A.0 B. C. D.2
8.下列问题是排列问题的是( )
A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B.平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C.集合的含有三个元素的子集有多少个？
D.从高三(1)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知，则下列不等式成立的有( )
A. B. C. D.
10.已知，，若圆上存在点M满足，则实数a可以是( )
A.-1 B. C.0 D.1
11.人民日报智慧媒体硏究院在2022智慧媒体髙峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个、图片b张（a，，），从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是( )
A. B.
C. D.
12.如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，给出下列结论，其中正确的结论为( ).
A.直线AM与是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与是异面直线 D.直线MN与AC所成的角为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数有两个零点,则实数a的取值范围为___________.
14.从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为____________.
15.若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为___________.
16.如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，R是直线AD上的点，满足平面，，则的最小值为____________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）
某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：.
（1）求实验室这一天上午8时的温度；
（2）求实验室这一天的最大温差.
18.（12分）
如图，在三棱锥中，，PA上底面ABC.
（1）求证：平面平面PBC；
（2），M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.
19.（12分）
“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.
(1)求x.
(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数).
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记1至5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应的成绩，年龄组中1至5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1至5组的成绩分别为93，98，94，95，90.
①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差.
②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.
20.（12分）
在数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，是否存在正整数k，使得对任意，恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由.
21.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
22.（12分）
设函数.
（1）设，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间.参 考 答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 答案：D
解析：.
2. 答案：C
解析：解：，解得.
3. 答案：B
解析：，，由正弦定理得，得，得，则或.
4. 答案：B
解析：若，则由平面，平面，可得，
这与m，n是异面直线矛盾，故与相交.
设，过空间内一点P，作，，与相交，与确定的平面为.
因为，所以，，
因为，，所以，，
所以，，所以，
又因为，，所以l与a不重合所.以.
5. 答案：A
解析：H为的垂心，
，.
又，，
直线AH，AC的斜率存在，且，.
设，解得
.
6. 答案：C
解析：设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，则，解得.故选：C
7. 答案：A
解析：因为，，故，，所以，即.故选A.
8. 答案：D
解析：A中握手次数的计算与次序无关，B中线段的条数计算与点的次序无关，C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都不是排列问题.D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题.故选D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 答案：BC
解析：由，得.当，时，，故选项A不正确；，，又在R上单调递增，，故选项B正确；在R上单调递增，，，故选项C正确；当，时，，故选项D不正确.故选BC.
10. 答案：ABC
解析：点M在以AB为直径的圆上，故问题等价于圆O与圆C有公共点，所以，解得，故选ABC.
11. 答案：BC
解析：由相互独立事件的概率计算公式可知A错误，B正确；事件包含“视频甲未入选，图片乙入选”“视频甲入选，图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况，所以，故C正确；由题可知，，，因为a，，，所以，即，故D错误.故选BC.
12. 答案：CD
解析：在正方体中，M，N分别为棱，的中点.
在A中，直线AM与是异面直线，故A错误；
在B中，直线AM与BN是异面直线，故B错误；
在C中，直线BN与是异面直线，故C正确；
在D中，以D为原点，DA为x轴、DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为2，
则，，，，，，
则，所以直线MN与AC所成的角为，故D正确.
三、填空题：每小题5分，共4小题，共20分.
13. 答案：
解析:有两个零点
有两个根,即图像有两个交点;
①时,设,
若有两个交点,则;
②时,只有一个交点;
③时,设,
若有两个交点,
综上可得,实数a的取值范围为
故答案为:
14. 答案：
解析：从五张卡片中任取两张的所有样本点有，，，，，，，，，，共10种情况，
其中，两张卡片上的数字和为偶数的样本点有，，，，共4种情况，
故两张卡片上的数字和为偶数的概率.
15. 答案：
解析：设公切线与曲线的切点为，与曲线的切点为，
因为，，
所以在处的切线方程为，
同理可得，在处的切线方程为，
由题意可知，，即，
因为，所以，
所以，即，
消去，整理得，
设，，则，
令，解得，易知，
又，所以.
16. 答案：
解析：作于点S，则平面平面，可得.
以直线，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，，则.
由知，于是.
四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 答案：（1）10℃
（2）4℃
解析：（1）
.
故实验室上午8时的温度为10℃.
（2）
，
因为，所以，.
当时，；当时，，
故，于是在上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
18. 答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）底面ABC，
底面ABC，
.又，即.
，平面PAC.
平面PBC，平面平面PBC.
（2）取PC的中点D，连接AD，DM.
..由（1）知，平面PAC，
又平面PAC，.而，平面PBC.
DM是斜线AM在平面PBC上的射影.
就是AM与平面PBC所成的角，目.
设，则由M是PB中点得，
..
即AM与平面PBC所成角的正切值为.
19. 答案：（1）
（2）中位数为32
（3）①五个年龄组平均数为94，方差为6；
五个职业组平均数94，方差为6.8
②见解析
解析：（1）根据频率分布直方图得第一组频率为，所以，所以.
（2）设中位数为a，则，解得.所以中位数为32.
（3）①5个年龄组的平均数为，
方差为，
5个职业组的平均数为，
方差为.
②评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好.
20. 答案：(1)证明见解析
(2)存在，1
解析：(1)因为，所以.
因为，所以，故数列是首项为1、公差为2的等差数列.
(2)由(1)得，则.
因为，所以，
则
，
即，得数列是递减数列.
故要使恒成立，只需，
因为，所以，解得，
故存在最小正整数，使得对任意，恒成立.
21. 答案：（1）概率的估计值为0.6
（2）概率的估计值为0.8
解析：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，
则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温不低于25，测，所以，利润Y的所有可能值为-100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为.
因此Y大于零的90概率的估计值为0.8.
22. 答案：（1）函数的最大值为，最小值为-3.
（2），增区间为
解析：（1）据题，得，，
因为，，，
所以，
所以函数的最大值为，最小值为-3.
（2）据题，，
结合该函数为偶函数，得到，得，，
结合，得到，
此时，，
令，解得，
从而得到其增区间为.
