(共17张PPT)
华师版八年级数学上册
人
基础达标
知识点
勾股定理的简单应用
1.直角三角形的斜边长比一条直角边长2，另一
条直角边长为6，则斜边长为
C
A.4
B.8
C.10
D.12
2.如图，一棵大树在一次强台
风中距地面5m处折断，倒
77777777777
下后树顶端着地点A距树
B
A
底端B的距离为12m,这棵大树在折断前的
高度为
(C
A.10m
B.15m
C.18m
D.20m
3.(内江市期末)为加强疫情防控，云南某中学
在校门口区域进行入校体温检测.如图，入校
学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，
测温仪C与直线AB的距离为3m,已知测温
仪的有效测温距离为5m,则学生沿直线AB
行走时测温的区域长度为
(D)
B
校门
C
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面
示意图，根据图中标出的尺寸（单位：mm),计
算两圆孔中心A和B的距离为
100
mm.
12米
6米
80
8米
(第4题图
(第5题图)
5.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，
两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另
一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米.
7.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：
小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70
km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿
直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速
检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s
后，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为
50m,这辆小汽车超速了吗？（参考数据：
1m/s=3.6km/h)）
解：在Rt△ABC中，AC=
小汽车
小汽车
B-
C
30m,AB=50m,根据勾股
定理，得BC=√AB2-AC2=
√/502-302=40(m).
观测点
13
实践进取
8.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水
站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工
地B,在AB间建一条直水管，则水管的长为
(B)
A.45m
B.40m
C.50m
D.56m
北
A
S
西
东
S
B
B
C
南
(第8题图)
(第9题图)
10.（宜宾市叙州区期末)如图
B
是王同学一不小心将等腰
A
直角三角板(AC=BC,
∠ACB=90)掉到了弟弟
的积木玩具中，他发现刚好卡在了10块高度
都是1cm,整齐排成两列的相同长方体小木
块中，顶点C在地面DE上，点A和B分别
与积木的顶端重合，则等腰直角三角板直角
边AC的长度是
(C)
A.10 cm
B.13 cm
C.√/58
cm
D.无法确定(共16张PPT)
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人
A)为
基础达标
知识点1
利用勾股定理求线段的长
1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长
为1，则网格上的△ABC,其边长是无理数的
有
(C)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A
D
C
E
B
(第1题图)
(第2题图)
2.(安岳县期末)如图，在△ABC中，∠ACB=
90°，BC=8cm,以点A为圆心，AC长为半径
画弧，交线段AB于点D;以B为圆心，BD长
为半径画弧，交线段BC于点E.若BD=CE,
则AC的长为
(A)
A.6 cm
B.6.5 cm C.7 cm
D.7.5 cm
3.如图所示，在Rt△ABC中，4
B
F
∠ABC=90°，AB=16cm,
D
正方形BCEF的面积为144
E
cm,BD⊥AC于点D,则BD的长为
9.6
cm
4.如图，每个小正方形的边长为1.
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求证：∠BCD=90°.
(1)解：根据勾股定理可知AB=
32,BC=34,CD=34,
AD=5√2，∴.四边形ABCD的
周长为3√2+5√/2+2√34；
(2)证明：连接BD,.·BC=
/34,CD=34,DB=√/68，∴.BC2+CD2=BD2.
△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°.
知识点2
利用勾股定理求面积
5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三
角形的面积为
(B)
A.56
B.48
C.40
D.32
6.（南岳二中期末)为了绿化环境，我市某中学
有一块四边形的空地ABCD,如图所示，学校
计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，
AB=9 m,DA=12 m,BC=8 m,CD=17 m.
(1)求出空地ABCD的面积；
(2)若每种植1平方米草皮需要350元，问总
共需投入多少元？
解：(1)连接BD,在Rt△ABD中，D
BD2=AB2+AD2=92+122=152,
在△CBD中，CD2=172,BC2=82,
而82+152=172，即BC2+BD2=
CD2,∴.∠DBC=90°，S四边形ABCD=
A
B
Sm+S2AB+2DB BC=2
×12×
9+1
×15×8=114(m2);
(2)114×350=39900(元).
∴.总共需投入39900元.
B
实践进取
7.（雁峰区成章实验中学期末)如图，△ABC的
顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格
点上，BD⊥AC于点D,则BD的长为(C)
A
8-5
c.
6
D.
酷
A
D
E
D
B
C
A
FB
第7题图)
(
(第8题图)(共16张PPT)
华师版八年级数学上册
第14章
勾股定理
14.1
勾股定理
14.1.1
直角三角形三边的关系
第1课时勾股定理
人
A
基础达标
知识点1
探索直角三角形三边关系
1.(教材P18试一试变式)(1)在单位长度为1的
方格中，观察下面三个图形，完成下表：
I
江共折我
I
图1
图2
图3
工的面积
Ⅱ的面积
Ⅲ的面积
(单位面积)》
(单位面积)
(单位面积)
图1
4
9
13
图2
9
25
34
图3
9
16
25
(2)你发现上面每个图形中三个正方形面积
之间的关系是I的面积+Ⅱ的面积=
Ⅲ的面积
(3)由此，你得出直角三角形三边的长度之间
存在的关系是直角三角形两直角边平
方之和等于斜边的平方
2.图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角
形，两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,
图②是以c为直角边的等腰直角三角形，请你
开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理
的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图.
(2)用这个图形证明勾股定理，
b
图0
图②
知识点2
利用勾股定理进行计算
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,则
AB的长为
(B)
A.√5
B.5
C.6
D.7
4.(内江市期末)如图所示，阴影部分（长方形）
的面积为
(B)
A.24
B.30
C.48
D.18
8
A
3
6
B
D
C
第4题图)
(第5题图
)
5.(南岳二中期末)如图，在△ABC中，AB=AC
=10,BC=12,AD是△ABC的中线，则AD
长为
(C)
A.2√2
B.6
C.8
D.261
6.如图，已知在△ABC中，CDAB于点D,
BD=9,BC=15,AC=20.
(1)求CD的长；
(2)求AB的长.
解：(1)在Rt△BCD中，BD+A
D
B
CD2=BC2,·∴.CD=/BC2-BD2=12;
(2)在Rt△ACD中，AD=/AC2-CD2=16,.∴.AB=
AD+BD=25.
13
实践进取
7.(衡阳市衡东县期末)“赵爽弦图”
巧妙地利用面积关系证明了勾股
定理，是我国古代数学的骄傲，如
图所示的“赵爽弦图”是由四个全
等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大
正方形，设直角三角形较长直角边长为α，较
短直角边长为b,若ab=24,大正方形的面积
为129.则小正方形的边长为
(D)
A.12
B.11
C.10
D.9(共17张PPT)
华师版八年级数学上册
人
A
核必考点整合
核心考点1)
勾股定理及其证明
1.(巴中市期末)如图，是一株美丽的勾股树，其
中所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积
分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
(B)
A.10
B.13
C.15
D.26
B
A
A
C
D
E
米M
E
B
米
第1题图)
(第2题图
)
3.如图，点C在线段BD上，AC⊥BD,CA=
CD,点E在线段CA上，且满足DE=AB,连
结DE并延长交AB于点F.
(1)求证：DEAB;
(2)若已知BC=a,AC=b,AB=c,设EF=x,
则△ABD的面积用代数式可表示为：
Sam一2c(c十)，你能借则本题提供的
图形，证明勾股定理吗？试一试吧.
证明：(1)在Rt△ABC和
A
R△DBc中，A8-D
F
E
..Rt△ABC≌Rt
DEC
(H.L.),.∴.∠BAC=∠EDC,
.'∠AEF=∠DEC(对顶角相
B
C
等)，∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余），
∴.∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°..∴.∠AFE
=180°-（∠BAC+∠AEF)=90°..∴.DEAB;
(2)由题意知：S△ABD=S△CE+S△D+S△ABE=
2
b2+
1
1
b2
2
2
1
7
Cx=
2
c(c+x)..∴.a2+b2=c2.
5.如图，在△ABC中，AC=8,BC=6,在△ABE
中，DE是AB边上的高，且DE=7,△ABE
的面积为35，求∠C的度数.
7
解：·DE=7,S△AE
DE·AB=35,
2
.∴.AB=10..AC=8,BC=6,且62+
82=102,.∴.AC2+BC2=AB2.
由勾股定理逆定理，得∠C=90°.
B
6.（内江市期末)森林火灾是一种常见的自然灾
害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发
展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如
图，有一台救火飞机沿东西方向AB,由点A
飞向点B,已知点C为其中一个着火点，且点
C与直线AB上两点A,B的距离分别为600
m和800m,又AB=1000m,飞机中心周围
500m以内可以受到洒水影响.
(1)着火点C受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火点
C估计需要13秒，请你通过计算判断着火
点C能否被扑灭？(共16张PPT)
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人
A)为
基础达标
知识点1)
勾股定理的逆定理
1.(衡阳市衡东县期末)下列各组数据中，能构成
直角三角形的三边长的是
(C)
A.3、4、6
B.5、8、15
C.5、12、13
D.6、7、8
2.（兴文县香山民族中学期末)一个三角形三边
满足(a十b)2一c2=2ab,则这个三角形的形状
是
C
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
3.（衡阳市衡东县期末)若三角形三边满足α：b
:c=5:12:13,且周长为60cm,则这个三角
形最长边为
26 cm
4.(衡山县期末)在△ABC中，若其三条边的长
度分别为1、1、√2.则这个三角形的面积是
1
2
5.已知a,b,c是三角形的三边长，如果满足(a一
6)2十√b一8+c一10=0，则这个三角形的
形状是直角三角形
6.（教材P14T1变式)已知在△ABC中，∠A,
∠B,∠C的对边分别是a,b,c,三边分别为下
列长度，判断该三角形是否是直角三角形，并
指出哪一个角是直角.
(1)a=√3，b=2√2，c=√5；
(2)a=5,b=7,c=9;
(3)a=2,b=√3，c=√7；
(4)a=5,b=2W6,c=1.
解：(1).‘a2+c2=(√3)2+(W5)2=8=(22)2=b2,
.·△ABC是直角三角形且∠B是直角；
(2).a2+b2=52+72=74≠92，.∴.△ABC不是直角
三角形；
(3).·a2+b2=(2)2+(3)2=7=(√7)2=c2,
.△ABC是直角三角形且∠C为直角；
(4).b2+c2=(2W6)2+1=25=52=a2,.∴.△ABC
是直角三角形且∠A为直角.
7.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,
b,c,且满足c+a=2b,c-a=b,则△ABC是
什么特殊三角形？
解：c+a=2b,c-a=2b,(c+a)(c-a)=2b·
26.c2-2=P,即a2+=2.∴△4BC是直角
三角形，且∠C=90°.
8.如图，在△ABC中，ADBC,AD=12,BD=
16,CD=5.
(1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？
解：(1)在Rt△ABD和
Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AB2 AD2+BD2,AC=
AD2+CD2,义.·AD=12,
BD=16,CD=5,.∴.AB=20,AC=13.
.∴.△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+
DC=20+13+16+5=54;
(2).AB=20,AC=13,BC=21,AB2+AC2≠BC2,
∴·△ABC不是直角三角形.(共16张PPT)
华师版八年级数学上册
人
A
基础达标
知识点1
不在同一平面上的两点之间的最
短距离
1.如图，一个圆桶，底面直径为16cm,高为18
cm,一只小虫从下底部点A爬到上底B处，
则小虫所爬的最短路径长是（π取3）(C)
A.50 cm
B.40 cm
C.30 cm D.20 cm
B
B
18 cm
A
-16 cm
4
第1题图)
第2题图
2.(平昌县期末)如图是一个长方体盒子，其长，
宽，高分别为4,2,9，用一根细线绕侧面绑在
点A,B处，不计线头，细线的最短长度为
(B)
A.12
B.15
C.18
D.21
3.(宜宾市叙州区期
0.7
B
末)如图是一个三级
台阶，它的每一级的0.3
A
4
长、宽、高分别是4
米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相
对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去
吃可口的食物，则蚂蚁沿台面爬行到B点
最短路程是5米.
4.如图，这是一个供滑板爱好
B
者使用的U型池，该U型
池可以看作是一个长方体D
去掉一个半圆柱而成，中间
可供滑行的截面是半径为4m的半圆，其边缘
AB=CD=20m,点E在CD上，CE=2m,一
滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最
短距离为
22m.（边缘部分的厚度忽略不
计，π取3，结果保留整数)
知识点2
建立直角三角形解决实际问题
5.如图，从高7米的电线杆AC的顶端A处，向
地面的固定点B处拉一根铁丝，若点B距电
线杆底部的距离为4米，现在准备一根长为8
米的铁丝，够用吗？并说明理由.
解：不够用.
理由：.‘AC=7米，BC=4
米，∠ACB=90°，∴.AB=
/AC2+BC2=√/72+42=
/65>8.即8米长的铁丝不
B
C
够用.
6.(内江市期末)随着疫情的持续，各地政府储
存了充足的防疫物品.某防疫物品储藏室的
截面是由如图所示的图形构成的，图形下面
是长方形ABCD,上面是半圆形，其中AB=
2.3m,BC=2.6m,一辆装满货物的运输车，
其外形高2.6m,宽2.4m,它能通过储藏室
的门吗？请说明理由
解：这辆货车能通过储藏室的门.
E
理由如下：设M,N为卡车的宽
度，过M,N作AD的垂线交半圆
于F,G,O为半圆圆心，过O作
OE⊥FG,E为垂足，则FG=MNB
M
=2.4m,AD=BC=2.6m,由作法得，FE=GE=1.
2m,又.OF=OA=1.3m,在Rt△OEF中，根据勾
股定理得：OE=/O2-FE=/1.32-1.22=0.5(m),
∴.FM=2.3+0.5=2.8(m),.2.8m>2.6m,.∴.这
辆货车能通过储藏室的门.(共15张PPT)
华师版八年级数学上册
人
A
)基础达标
知识点
反证法
1.(2022一2023遂宁市射洪县期末)用反证法证
明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b,若
∠A>∠B,则a>b.”第一步应假设
(C)
A.ab
B.a=b
C.a≤b
D.a≥b
3.“已知：在△ABC中，AB=AC,求证：∠B
90°”，下面写出了用于证明这个命题过程中的
四个推理步骤：①∴.∠A+∠B十∠C>180°，
这与三角形内角和定理相矛盾；②.∠B<
90°；③假设∠B≥90°；④那么，由AB=AC,得
∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°.这四个
步骤正确的顺序应该是
(C)
A.①②③④
B.③④②
C.③④①②
D.④③①②
4.(宜宾市叙州区期末)命题：“三角形中至少有
两个角是锐角”，用反证法第一步需要假设
三角形中最多有一个角是锐角
5.已知：如图，直线11，l2,3在同
一平面内，且11∥12，l3与1相
交于点P.求证：l3与l2相交.
证明：假设与l2不相交，即3∥
又.∥
2(已知)，
∴.过直线2外一点P有两条直线1,3与直
线l2平行.
这与“过直线外一点有且只有一条直线与
已知直线平行”相矛盾，
∴.假设不成立.∴.13与2相交
6.已知命题“在△ABC中，若AC2十BC≠AB,
则∠C≠90°”，要证明这个命题是真命题可用
反证法，其步骤：假设∠C=90°，根据
勾
股定理，一定有AC2+BC2=AB2,但这与
已知AC2+BC2≠AB2
相矛盾，因此，假设是
错误的，于是可知命题是真命题，
7.用反证法证明：同一平面内，垂直于同一条直
线的两条直线互相平行.
已知：直线a⊥c,b⊥c,求证：a∥b.
证明：假设直线ā不平行于b,因为
同一平面内两直线不平行则相交，C
假设a与b相交于点P,即点P为
a
直线a,b的交点，而a⊥c,b⊥C,印
过点P有两条直线ā，b都与直线c垂直，这与我们
学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”
相矛盾，所以假设不成立，因此a∥b正确.
8.用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同
位角相等”.
已知：AB∥CD,求证：∠1=∠2.
E
证明：假设∠1≠∠2，过点0作
直线A'B',使∠EOB=∠2，根
据“同位角相等，两直线平行”可
得A'B'∥CD,这样过点O就有
两条直线AB,A'B都平行于CD.这与平行公理“过
直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛
盾，说明假设∠1≠∠2不成立，.∴.∠1=∠2.
