2022-2023学年上海市普陀区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市普陀区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列函数中，是的一次函数的是( )
A. B. C. D.
2. 直线一定经过的象限是( )
A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限
C. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限．
3. 下列方程中，有实数根的是( )
A. B. C. D.
4. 下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 在十进制中，
B. 在实数中任取一个数，这个数的平方小于
C. 任意画一个三角形是等腰三角形
D. 掷一枚骰子，点数为的一面朝上
5. 如果点是线段的中点，那么下列结论中错误的是( )
A. 与是相反向量 B. 与是相等向量
C. 与是平行向量 D.
6. 已知四边形中，，，下列判断中一定正确的是( )
A. 如果，那么四边形是菱形
B. 如果，那么四边形是正方形
C. 如果平分，那么四边形是矩形
D. 如果，那么四边形是等腰梯形
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. 方程的根是______．
8. 已知一次函数，那么 ______ ．
9. 如图，直线经过点和，那么关于的不等式的解集为______ ．
10. 用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为______ ．
11. 如果一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为______．
12. 从，，这三个数中任取两个数组成没有重复数字的两位数，那么组成的两位数是奇数的概率为______ ．
13. 书香相伴，香满校园，某校学生月份借阅图书本，月份借阅图书本，如果每月借阅图书数量的增长率相同，设这个增长率为，那么根据题意可列方程为______ ．
14. 用一根长的绳子围成一个矩形，使其相邻两边的长度比为：，那么这个矩形的面积为______
15. 如图，在正方形中，是对角线上一点，，则 ______ ．
16. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点．时那么向量用向量表示为______ ．
17. 如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为______ ．
18. 如图，平行四边形中，，，，将沿着翻折，点的对应点为点，连接，那么线段 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
解方程：
20. 本小题分
解方程组：．
21. 本小题分
甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用元与绿化面积平方米是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过平方米时，每月收取费用元；绿化面积超过平方米时，每月在收取元的基础上，超过部分每平方米收取元．
求如图所示的与的函数解析式不要求写出定义域；
如果某学校目前的绿化面积是平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
22. 本小题分
A、两地相距千米，一辆汽车准备从地开往地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快千米，所以提前小时到达地求汽车原计划的速度．
23. 本小题分
已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，平分，过点作分别交、于点、．
求证：四边形是菱形；
如果，求证：．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，且与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点、，点的坐标为．
求的面积；
过点作的平行线交轴于点，
求点的坐标；
点是直线上一动点且在轴的上方，为直角坐标平面内一点，如果以点，，为顶点，且以为边的平行四边形的面积等于的面积，请求出点的坐标，并直接写出点的坐标．
25. 本小题分
在梯形中，，，，，，点是射线上一点不与点、重合，联结，过点作交射线于点，联结设，．
求的长；
如图，当点在线段上时，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
如果是以为腰的等腰三角形，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、自变量的次数是，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B、没有自变量，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、自变量的系数可能为，故此选项不符合题意；
D、是一次函数，故此选项符合题意；
故选：．
根据一次函数的定义判断即可．
本题主要考查了一次函数的定义，形如、为常数，且的函数叫一次函数，掌握一次函数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，
直线经过第一、二、四象限，
故选：．
根据、的符号确定直线所经过的象限即可．
本题考查了一次函数图象的性质，熟知：对于直线、为常数，，当，时，直线经过第一、二、三象限；当，时，直线经过第一、三、四象限；当，时，直线经过第一、二、四象限；当，时，直线经过第二、三、四象限．
3.【答案】
【解析】解：，
这里，，，
，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B.，
，
是非负数，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
C.，
方程两边平方得：，
，
解得：和，
经检验不是原方程的解，是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项符合题意；
D.，
方程两边都乘，得，
经检验不是方程的解，即方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
根据根的判别式即可判断选项A；求出，根据算术平方根的非负性即可判断选项B；方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项C；去分母后求出，再进行检验，即可判断选项D．
本题考查了解一元二次方程，解无理方程和解分式方程等知识点，能选择适当的方法求方程的解是解此题的关键，注意：解无理方程和解分式方程都要进行检验．
4.【答案】
【解析】解：、在十进制中，，是必然事件，符合题意；
B、在实数中任取一个数，这个数的平方小于，是不可能事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形是等腰三角形，是随机事件，不符合题意；
D、掷一枚骰子，点数为的一面朝上，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】
【解析】解：点是线段的中点，
与是相反量，与是相等向量，与是平行向量，，
选项A、、C正确，选项D错误，
故选：．
根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．
本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B.，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；
C.根据平分，和不能证明四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D.，，
四边形是等腰梯形，故本选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定和正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定和正方形的判定等知识点，能熟记平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形和正方形的判定是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
先移项，再开立方即可．
本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：一次函数，
，
故答案为：．
根据一次函数，可以计算出的值．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数值．
9.【答案】
【解析】解：根据函数图象可知，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
结合函数图象，写出直线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10.【答案】
【解析】解：设，
则原分式方程可化为：，
去分母得：，
即，
故答案为：．
结合已知条件，利用换元法将原分式方程换元后并化为整式方程即可．
本题考查换元法解分式方程，换元法是解方程的常用方法，必须熟练掌握．
11.【答案】
【解析】解：．
故这个多边形的边数为．
故答案为：．
根据正多边形的边数等于除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中奇数的有种，
所以组成的两位数是奇数的概率是，
故答案为：．
用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
利用月份借阅图书数量月份借阅图书数量每月借阅图书数量的增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设较长边为，则较短边为，根据平行四边形的性质可知对边相等，
，解得．
，．
这个矩形的面积为
故答案为：．
根据矩形的对边相等，可设较长边为，则四条边均可用表示，根据四条边之和为构造方程求解．
本题主要考查了矩形的性质，根据已知构造方程是解题的捷径．
15.【答案】
【解析】解：正方形中，是对角线上一点，
，
，
，
，
，
故答案为．
由，在正方形中可知，进而求出，又知，故能求出．
本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出的度数．
16.【答案】．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
．
故答案为：．
理由平行四边形的性质以及三角形法则求解．
本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，是的中线，
．
故答案为：．
由题意知，是的中位线，则，，由，是的中线，可知，进而可得结果．
本题考查了三角形的中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18.【答案】
【解析】解：设交于点，
四边形是平行四边形，，，，
，，
，
由翻折得，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
设交于点，由四边形是平行四边形，，，，得，，则，由翻折得，，，则，，，，由勾股定理得，可求得，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
，
或，
或，
检验：当时，，不符合题意，所以舍去．
当时，，符合题意．
所以原方程的解为：．
【解析】先把无理方程转化为一元二次方程，然后进行求解．
本题主要考查了无理方程的知识、一元二次方程的知识，难度不大，转换成一元二次方程是解答的关键．
20.【答案】解：由得：，
把代入得：，
整理，得：，
解得：，；
当时，；
当时，；
方程组的解为：或．
【解析】利用代入消元法，将方程组转化为一元二次方程，进行求解即可．
本题考查解二元二次方程组．熟练掌握消元法以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
21.【答案】解：设，
则有，
解得，
．
绿化面积是平方米时，甲公司的费用为元，乙公司的费用为元，
选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
【解析】利用待定系数法即可解决问题；
绿化面积是平方米时，求出两家的费用即可判断；
本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．
22.【答案】解：设汽车原计划的速度为千米时，则汽车实际行驶的速度为千米时，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去．
答：汽车原计划的速度为千米时．
【解析】设汽车原计划的速度为千米时，则汽车实际行驶的速度为千米时，利用时间路程速度，结合实际比原计划提前小时到达地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
连接，
四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是等腰梯形，
．
【解析】，，得到四边形是平行四边形，由角平分线定义，平行线的性质推出，得到，即可证明问题；
连接，由菱形的性质得到，又，因此，推出四边形是等腰梯形，即可证明．
本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，关键是由角平分线定义，平行线的性质推出；由菱形的性质推出四边形是等腰梯形．
24.【答案】解：直线与轴交于点，
，
，
，
把点代入得，，
解得，
，
；
，，
设直线为，
代入点的坐标得，，
解得，
直线为，
，
直线为，
令，则，解得，
；
把代入得，，
解得，
，
，
以为边的平行四边形的面积等于的面积，
，
，
把代入得，，
解得，
，
，
或．
【解析】根据直线求得，的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积；
利用待定系数法求得直线的解析式，根据平行线的系数特征即可求得直线的解析式，令，求得的值，即可求得点的坐标；
根据题意求得点的纵坐标，进一步求得点的坐标，然后根据平行四边形的性质，即可求得点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，平行线的系数特征，平行四边形的性质，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
25.【答案】解：在梯形中，，，
，
如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
如图，当点在线段上时，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
与之间的函数解析式为，自变量的取值范围；
当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
当，如图，
，
，
，
整理得，
，，
的长为或；
当，如图，过点作于点，过点作于点，
，，
由知：，
，
，
，
，
整理得，
，不符合题意，舍去，
的长为，
综上所述：的长为或或．
【解析】过点作于点，得四边形是矩形，然后利用勾股定理即可解决问题；
结合证明∽，得，进而可得与之间的函数解析式和自变量的取值范围；
当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：当，如图，当，如图，过点作于点，过点作于点，结合的与之间的函数解析式，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，二次函数，一元二次方程，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
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