人教版数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 13.4 课题学习 最短路径问题 导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 157.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-01 10:52:12 | ||
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文档简介
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.
2.能利用轴对称和平移解决实际问题中路径最短的问题.
学习策略
1.结合实际情景，理解“最短路径问题”；
2.熟练掌握“最短路径问题”的基本作图.
学习过程
一.复习回顾：
1.线段的性质:两点之间线段最短
2.垂线的性质：垂线段最短
二.新课学习：
阅读课本本课时内容，解决下列问题
知识点一：最短路径问题
1.在连接两点的线中， 最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短.这样的问题，我们称为最短路径问题.
【答案】线段；垂线段
2.如图1，如果要在直线上找一点，使其到点A和点B的距离之和最短，则可 ，与的交点即为所求，根据是 .
【答案】连接AB；两点之间，线段最短
3.如图2，在直线的同侧有两点A、B，若要在直线上找一点C，使其到点A、点B的距离之和最短.受上一题的启发，我们可以考虑在直线的另一侧找一个点B'，使直线上的任一点C到点B和点B'的距离始终 .因此，只需作出点B关于直线的 ，根据轴对称的性质，可知CB= ，于是连接AB'，与直线的交点C即为所求的点.
【答案】相等；对称点B'；CB'
4.如图3，在直线上另外再找一点C'，连接AC'、B'C'、BC'、CB'.因为点B与点B'关于直线对称，所以BC= ，BC'= .在△AB'C'中，因为AC'+B'C'> ，从而得AC'+B'C'> ，即点C到A、B的距离之和最短.
总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
【答案】B'C；B'C'；AB'；AC+BC 轴对称 平移
三.尝试应用：
1.已知直线m,l和点B,在直线m,l上分别取点A、点C,使点B到点C再到点A的距离之和最小.
解：如图，线段B′B″的长即为点B到点C再到点A的距离之和的最小值．
变式2:如图,有两条直线m,l和一点B,在直线m,l上分别取点A、点C,使△BAC的周长最小.
解法：同上
变式3: 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．
解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ；
（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．
最短路线P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．
四.自主总结：
解决最短路径问题，常用的方法是借助轴对称的知识转化，利用“两点之间，线段最短”来求线段和的最小值.常见应用类型：河边饮马问题、造桥选址问题等.
五.达标测试
一、选择题
1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，直线外不重合的两点A、B，在直线上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线的对称点B′；②连接AB′与直线相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
3. 有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A．B． C．D．
4.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为( )
A.7.5 B.5 C.4 D.不确定
5.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=( )
A.60° B.90° C.45° D.75°
二、填空题
6.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 1000 米.
7. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝20，则△PMN周长的最小值是 ．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 ．
三、解答题
9.已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）
10.如图，直线l是一条河，A、B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A、B两地供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点（不写作法，不要求证明，保留作图痕迹）
参考答案
1.D
2. D
3.D 解析：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距离．
4. 5 解析：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
因为等边△ABC中，BD＝CD，
所以AD⊥BC，
所以AD是BC的垂直平分线（三线合一），
所以C和B关于直线AD对称，
所以CF＝BF，
即BF+EF＝CF+EF＝CE，
因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ADB和△CEB中，，
所以△ADB≌△CEB（AAS），
所以CE＝AD＝5，
即BF+EF＝5．
5. C解析：因为当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，
连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，
所以∠PCD＝45°．故选：C．
6. 1000解析：作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，
所以CA′＝AC，
因为AC＝DB，
所以CA′＝BD，
由分析可知，点M为饮水处，
因为AC⊥CD，BD⊥CD，
所以∠ACD＝∠A′CD＝∠BDC＝90°，
又因为∠A′MC＝∠BMD，
在△CA′M和△DBM中，
，
所以△CA′M≌△DBM（AAS），
所以A′M＝BM，CM＝DM，
即M为CD中点，
所以AM＝BM＝A′M＝500，
所以最短距离为2AM＝2×500＝1000米
7. 20解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN．
因为点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
所以PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA，
因为点P关于OB的对称点为D，
所以PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
所以OC＝OD＝OP＝20，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
所以△COD是等边三角形，
所以CD＝OC＝OD＝20．
所以△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝20．
8. 4解析：如图，连接AE，
因为∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，所以BC＝2AB＝2×2＝4，
因为EF是AC的垂直平分线，所以FA＝FC，
根据两点之间线段最短，PA+PB＝PB+PC＝BC，最小，此时点P与点F重合．
所以PA+PB的最小值即为BC的长，为4．所以PA+PB的最小值为4．故选：B．
9.解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB最小，理由是两点之间，线段最短．
10.解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M即为所求点．
学习目标
1.掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.
2.能利用轴对称和平移解决实际问题中路径最短的问题.
学习策略
1.结合实际情景，理解“最短路径问题”；
2.熟练掌握“最短路径问题”的基本作图.
学习过程
一.复习回顾：
1.线段的性质:两点之间线段最短
2.垂线的性质：垂线段最短
二.新课学习：
阅读课本本课时内容，解决下列问题
知识点一：最短路径问题
1.在连接两点的线中， 最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短.这样的问题，我们称为最短路径问题.
【答案】线段；垂线段
2.如图1，如果要在直线上找一点，使其到点A和点B的距离之和最短，则可 ，与的交点即为所求，根据是 .
【答案】连接AB；两点之间，线段最短
3.如图2，在直线的同侧有两点A、B，若要在直线上找一点C，使其到点A、点B的距离之和最短.受上一题的启发，我们可以考虑在直线的另一侧找一个点B'，使直线上的任一点C到点B和点B'的距离始终 .因此，只需作出点B关于直线的 ，根据轴对称的性质，可知CB= ，于是连接AB'，与直线的交点C即为所求的点.
【答案】相等；对称点B'；CB'
4.如图3，在直线上另外再找一点C'，连接AC'、B'C'、BC'、CB'.因为点B与点B'关于直线对称，所以BC= ，BC'= .在△AB'C'中，因为AC'+B'C'> ，从而得AC'+B'C'> ，即点C到A、B的距离之和最短.
总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
【答案】B'C；B'C'；AB'；AC+BC 轴对称 平移
三.尝试应用：
1.已知直线m,l和点B,在直线m,l上分别取点A、点C,使点B到点C再到点A的距离之和最小.
解：如图，线段B′B″的长即为点B到点C再到点A的距离之和的最小值．
变式2:如图,有两条直线m,l和一点B,在直线m,l上分别取点A、点C,使△BAC的周长最小.
解法：同上
变式3: 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．
解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ；
（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．
最短路线P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．
四.自主总结：
解决最短路径问题，常用的方法是借助轴对称的知识转化，利用“两点之间，线段最短”来求线段和的最小值.常见应用类型：河边饮马问题、造桥选址问题等.
五.达标测试
一、选择题
1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，直线外不重合的两点A、B，在直线上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线的对称点B′；②连接AB′与直线相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
3. 有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A．B． C．D．
4.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为( )
A.7.5 B.5 C.4 D.不确定
5.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=( )
A.60° B.90° C.45° D.75°
二、填空题
6.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 1000 米.
7. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝20，则△PMN周长的最小值是 ．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 ．
三、解答题
9.已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）
10.如图，直线l是一条河，A、B是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站M，向A、B两地供水，要使所需管道MA+MB的长度最短，在图中标出M点（不写作法，不要求证明，保留作图痕迹）
参考答案
1.D
2. D
3.D 解析：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距离．
4. 5 解析：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
因为等边△ABC中，BD＝CD，
所以AD⊥BC，
所以AD是BC的垂直平分线（三线合一），
所以C和B关于直线AD对称，
所以CF＝BF，
即BF+EF＝CF+EF＝CE，
因为AD⊥BC，CE⊥AB，
所以∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ADB和△CEB中，，
所以△ADB≌△CEB（AAS），
所以CE＝AD＝5，
即BF+EF＝5．
5. C解析：因为当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，
连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，
所以∠PCD＝45°．故选：C．
6. 1000解析：作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，
所以CA′＝AC，
因为AC＝DB，
所以CA′＝BD，
由分析可知，点M为饮水处，
因为AC⊥CD，BD⊥CD，
所以∠ACD＝∠A′CD＝∠BDC＝90°，
又因为∠A′MC＝∠BMD，
在△CA′M和△DBM中，
，
所以△CA′M≌△DBM（AAS），
所以A′M＝BM，CM＝DM，
即M为CD中点，
所以AM＝BM＝A′M＝500，
所以最短距离为2AM＝2×500＝1000米
7. 20解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN．
因为点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
所以PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA，
因为点P关于OB的对称点为D，
所以PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
所以OC＝OD＝OP＝20，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
所以△COD是等边三角形，
所以CD＝OC＝OD＝20．
所以△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝20．
8. 4解析：如图，连接AE，
因为∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，所以BC＝2AB＝2×2＝4，
因为EF是AC的垂直平分线，所以FA＝FC，
根据两点之间线段最短，PA+PB＝PB+PC＝BC，最小，此时点P与点F重合．
所以PA+PB的最小值即为BC的长，为4．所以PA+PB的最小值为4．故选：B．
9.解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB最小，理由是两点之间，线段最短．
10.解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M即为所求点．