人教版数学八年级上册 12.3 角平分线的性质 第2课时 角平分线的判定 导学案（含答案）

12.3 角平分线的判定
学习目标
1.掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
2.能应用性质解决一些简单的实际问题.
学习策略
1.结合上一节角平分线的性质，理解角平分线的判定；
2.牢记角平分线的判定，并运用其解决问题.
学习过程
一.复习回顾：
1.什么叫角平分线 角平分线的性质定理
2.什么叫逆命题？命题的证明
二.新课学习：
阅读课本本课时的内容，回答下列问题.
知识点一：角平分线的判定方法
1.如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点是否在这个角的平分线上呢 画出图形写出已知和需求证的结论.
【答案】已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD=QE
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
2.借助所画的图形证明你的结论.
【答案】证明：作射线OQ.因为QD⊥OA，QE⊥OB，因为∠OEQ=∠ODQ=90°
在Rt△OEQ和Rt△ODQ中，
因为Rt△OEQ≌Rt△ODQ(HL)，因为∠EOQ=∠DOQ，
因为点Q在∠AOB的平分线上.
综之：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的　 　上.
【答案】平分线
三.尝试应用：
四.自主总结：
1..角平分线的判定定理：
2.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部；在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.
3.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的.
五.达标测试
一、选择题
1. 现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 （　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三边的垂直平分线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条高所在直线的交点
2..已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
3.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线相交与O，下列结论中正确的是(　　)
A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.不等确定
5. 如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA等于（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 55°
二、填空题
6.如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=7cm，当PE=________cm时，点P在∠AOB的平分线上．
7.如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离OF=OE=OD，若∠BAC=70°，则∠BOC=_______．
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，有下列结论：
①AD上任意一点到点C和点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BC＝CD，AD⊥BC；④∠ADE＝∠BDE，
其中，正确的结论是 .
三、解答题
9.如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.
求证:点P在∠BAC的平分线上.
10.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
参考答案
1.C 解析：因为三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，因为亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
2. D解析：因为∠AOC＝∠BOC，
因为OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
因为PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
因为OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
，
因为Rt△POD≌Rt△POE，
因为∠AOC＝∠BOC，
因为OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
同理，△POD≌△POE，
因为∠AOC＝∠BOC，
因为OC是∠AOB的角平分线，④符合题意，故选：D．
3.D 解析：因为中转站要到三条公路的距离都相等，因为货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，因为货物中转站可以供选择的地址有4个．
4.B 解析：因为∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，
因为O的△ABC的内心，因为OA平分∠BAC，因为∠1=∠2；故选：B．
5.D 解析：因为PA⊥ON，PB⊥OM，因为∠PAO=∠PBO=90°，在RT△AOP和RT△BOP中，OP=OP，PA=PB，因为RT△AOP≌△BOP（HL），因为∠AOP=∠BOP=∠MON=25°，因为∠PCA=∠AOP+∠OPC=25°+30°=55°．
6.7 解析：因为PD⊥OA，PE⊥OB，PD=7cm，因为当PE=PD，即PE=7cm时，P在∠AOB的平分线.
7.125° 解析：因为O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，因为点O是三角形三条角平分线的交点，因为∠BAC=70°，因为∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，因为∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．
8.解析：因为AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
因为AD垂直平分BC，
因为AD上任意一点到点C和点B的距离相等，故①正确；
因为AD是∠BAC的角平分线，
因为AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故②正确；
因为AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
因为BD＝CD＝BC，AD⊥BC，故③错误；
只有AD＝BD＝CD，即AD＝BC时，∠ADE＝∠BDE，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②．
9.证明:连接AP,因为PE⊥AB,PF⊥AC,因为∠AEP=∠AFP=90°.在Rt△AFP和Rt△AEP中,因为Rt△AEP≌Rt△AFP(HL).因为PE=PF.因为点P在∠BAC的平分线上.
10.证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，因为∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，因为OB=OE，因为点O为BD的中点，因为OB=OD，因为OE=OD，因为OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，因为Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），因为∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，因为∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，因为OA⊥OC；（3）因为Rt△ABO≌Rt△AEO，因为AB=AE，同理可得CD=CE，因为AC=AE+CE，因为AB+CD=AC．
10.
学习过程
一.复习回顾：
1.我们已经知道的判定三角形全等的方法有哪些
2.有两个角和对应边相等的两个三角形全等吗？
二.新课学习：
三.尝试应用：
四.自主总结：
1.两角和它们的_________分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“________”.
2.两角和其中一个角的________分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“______”.
五.达标测试