证明的再认识[下学期]
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文档简介
§27.1 证明的再认识
一、教学目标?
(一)知识目标?
1.进一步了解证明的含义，理解证明的必要性.?
2.掌握证明的书写格式.?
(二)能力目标?
培养学生的观察能力、理解能力、抽象思维能力以及应用所学公理、定理、定义进行逻辑推理的能力，提高演绎推理的能力.?
(三)情感目标?
培养学生体会数学图形的美感，进而提高学生学习几何的兴趣；培养学生勇于探索创新的精神；培养学生的辩证唯物主义思想.
二、教学重点?
1.逻辑推理的原始依据.?
2.“三角形内角和等于180°”的证明过程.
三、教学难点?
证明的逻辑推理书写格式；逻辑推理的严密性.
四、教学方法?
启发式，自主探究，合作研讨.
五、教学过程?
(一)知识回顾?
师：在以前我们学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，我们采用了哪些研讨方法 ?
生：……(尽可能多让几个同学回答)?
师：(归纳总结)我们采用了看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜等方法.这些方法都是直观感知、操作说理，通过师生共同探索，得出各种图形的一些属性，然后探索得到这些图形的属性，利用这些属性作为依据进行了一两步的说理.?
(二)交流与争鸣?
师：以前这些认识图形性质的方法是否具有严密性 ?
生：……(各自发表自己的看法).?
师：从这一章开始我们就要学习用严格的逻辑推理的方法去探索几何图形所具有的性质.?
(三)新课学习(逻辑推理方法)?
1.问题情境.?
如图，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF,连结CE和AF，试说明AFCE是平行四边形.?
师：谁能说明AFCE是平行四边形 (尽可能用多种方法).?
生：……(众说纷纭，有的说可得AE∥CF且AE=CF，也有的说可得AE∥CF?，AF∥CE，还有的说AE=CF,AF=CE等)?
师：很好.现在我们选取一种方法来说明.?
解：因为已知ABCD是平行四边形，所以
AD∥CB (平行四边形对边平行)，
即 AE∥CF. ?
又因为 AE=CF (已知)，
所以AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)?
这个题的说明中就运用了逻辑推理，逻辑推理方法是研究几何性质的另一种很重要的方法.请同学们再举一些用逻辑推理方法探索图形的性质.?
生：……(如：内错角相等两直线平行等等)?
2.逻辑推理的依据(最原始的依据).?
逻辑推理需要依据，我们学过的作为逻辑推理最原始的依据有如下公理：?
(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等.?
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.? (3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别对应相等，那么这两个三角形全等.?
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.?
事实上我们还将等式的性质、不等式的性质以及等量代换作为推理的依据.另外也将“经过两点有且只有一条直线”以及“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”作为推理的依据.今后我们就利用这些公理作为依据，用逻辑推理的方法去证明图形的有关命题，用推理方法得到的性质才是严密的.?
3.怎样进行逻辑推理 ?
师：你是怎样知道三角形的内角和是180°的呢 ?
生：(1)任意画一个三角形，量出它的三个内角，然后计算出三个内角的和为180°；(2)用拼图的方法.
师：用测量的方法能保证每次画出的三角形三个内角正好等于180°吗 用观察拼图的方法能保证三个内角拼成的一定是平角吗 (仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性)下面我们用逻辑推理的方法来证明这个命题.?
已知：△ABC.?
求证：∠A+∠B+∠C=180°.?
分析：我们知道一个平角是180°，那么三角形三个内角是否可以转化到一个平角上呢 若能，问题就得到解决.?
证明：如图，延长AB到D，过B作BE∥AC.?
因为 BE∥AC (画图)，
所以 ∠A=∠1 (两直线平行，同位角相等)，
∠C=∠2 (两直线平行，内错角相等).?
又因为 ∠1+∠2+∠ABC=180° (平角的定义)，
所以 ∠A+∠ABC+∠C=180° (等量代换).?
师：请同学们探索，还能用其他证明方法吗 ?
生：可过任一顶点作对边的平行线.?
4.n边形的内角和公式(n-2)×180°.?
师：同学们回忆以前是怎样证明的呢 ?
生：(合作讨论)通过连结n边形一个顶点的所有对角线，将n边形分成(n-2)个三角形，再利用三角形的内角和为180°，就可得出n边形的内角和为(n-2)×180°.?
(四)例题讲解?
求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.?
已知：∠CBD是△ABC的一个外角.?
求证：∠CBD=∠A+∠C.?
证明：(见教材第33页)?
(五)课堂练习?
教材第33页练习第1、2、3题，同步练习册第16页第1、2、3、4题.?
(六)课堂小结?
让学生小结本节课的主要内容?
(七)课外作业?
教材第33页习题27.1第1、2、3、4题.
§27.2 用推理方法研究三角形(1)
一、教学目标?
(一)知识目标?
1.用逻辑推理的方法进一步认识等腰三角形的判定定理、性质定理以及“等腰三角形三线合一”.?
2.掌握直角三角形全等特有的判定方法(H.L.)?
(二)能力目标?
培养学生进行逻辑推理、提高演绎推理能力、抽象思维能力.?
(三)情感目标?
1.培养学生体会等腰三角形的对称美感.?
2.培养学生的辩证唯物主义思想及勇于自主探索的精神.
二、教学重点?
1.等腰三角形的判定定理、性质定理以及“等腰三角形三线合一”.?
2.直角三角形全等特有的判定方法(H.L.)的证明.
三、教学难点?
1.等腰三角形判定定理的证明过程.?
2.(H.L.)定理的证明过程以及运用.
四、学法引导?
1.让学生动手操作，直观感知，自主探索等腰三角形的判定定理、性质定理、“三线合一”.?
2.通过猜想、验证、讨论、交流，用逻辑推理证明直角三角形的(H.L.)定理.
五、教具?
多媒体.
六、教学过程?
(一)复习旧知、创设问题情境?
师：什么样的三角形叫等腰三角形 ?
生：有两条边相等的三角形叫等腰三角形.?
师：怎样去识别一个三角形是不是等腰三角形 ?
生：两条边相等或两个角相等.?
师：为什么两个角相等也可以识别这个三角形是等腰三角形的呢 我们一起探究一下.?
(二)操作、探索?
1.证明等腰三角形的判定方法.?
引导学生画一个有两个角相等的三角形.看是否有两条边相等，采用什么方法来判断 组织学生讨论交流，多媒体动态展示重合过程.引导学生归纳得出：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边” ).?
师：为什么对折后能重合呢 下面我们用逻辑推理的方法来证明它?.?
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.?
求证：AB=AC.?
分析：要证明AB=AC.我们知道全等三角形是证明边相等的重要手段，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到画∠BAC的平分线AD.?
证明：画∠BAC的平分线AD.?
(以下让学生们自己完成证明)?
师：(1)若将辅助线(顶角的平分线)换成底边上的高，可以证明两个三角形全等吗 (能)?
(2)若将辅助线换成底边上的中线，可以证明两个三角形全等吗 (不能)?
(让学生合作交流、共同探索后作答)?
2.证明等腰三角形的性质定理.?
师：同学们回忆一下等腰三角形的底角如何 怎样证明呢 ?
生：相等，根据“等边对等角”.?
师生共同探究证明方法.?
已知：如图，△ABC中，AB=AC.?
求证：∠B=∠C.?
分析：可添加顶角的角平分线或底边中线证明两个三角形全等.?
(让学生自己完成证明)?
师：添加高能证明全等吗 (不能，这时没学(H.L.)判别法)?
3.什么是等腰三角形的“三线合一” ?
师：通过多媒体展示让学生得出：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(简称“等腰三角形三线合一”)?
(三)巩固练习?
1.若△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC是怎样的三角形 为什么 ?
2.如图，∠DAC=80°，∠B=40°.证明△ABC是等腰三角形.?
3.如图，△ABC是等腰三角形，BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BE、CD交于O.求证：△OBC是等腰三角形.?
(四)探索(H.L.)定理的证明方法?
师：对一般三角形能用(S.S.A)判定两个三角形全等吗 为什么
生：不能.如图示的两个三角形不全等.?
师：在两个直角三角形中，我们曾经通过画图、比较，发现：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.怎样用逻辑推理来证明这个定理呢 ?
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.?
求证：△ABC≌△A′B′C′.?
分析：通过运动(用多媒体展示)把△ABC和△A′B′C′拼在一起，使学生找到证明的途径，在解答几何问题时，通过图形的运动往往找得到证明的突破口.? 证明：把△ABC和△A′B′C′拼在一起.?
因为 ∠A′C′B′=∠ACB=90° (已知)，
所以 ∠A′C′B′=180° (等式的性质)，
即点B′、C′、B在同一条直线上.?
在△A′B′B中，因为
A′B′=AB (已知)，
所以 ∠B=∠B′ (等边对等角).?
在△ABC和△A′B′C′中，因为
∠ACB=∠A′C′B′ (已知)，
∠B=∠B′ (已证)，
AB=A′B′ (已知)，
所以 △ABC≌△A′B′C′ (A.A.S).?
师：谁能归纳直角三角形全等的所有证法 ?
(五)课堂练习?
1.有两条边分别对应相等的两个直角三角形一定全等吗 ?
（不一定.如：不全等）?
2.如图，若AB=AC,AD⊥BC，则BD=_______，∠BAC=_______.?
3.教材第37页练习第1、2题.?
(六)课堂小结?
通过以上学习，你学到了什么 ?
(七)作业?
教材第44页习题27.2第1、2题，练习册第17～18页第3、4、5题.
§27.2 用推理方法研究三角形(2)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”以及定理“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.?
(二)能力目标?
培养学生的逻辑思维及推理能力.?
(三)情感价值观?
1.让学生体验几何图形的美.?
2.渗透数学源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点.
二、教学重点?
两个定理的证明过程.
三、教学难点?
1.对“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”这个定理的理解. 2.运用定理解决实际问题.
四、教学方法?
改变接受学习，倡导学生主动参与，提高学生的实践能力与合作交流能力.五、教学过程?
(一)知识回顾?
1.角平分线的概念是什么 ?
2.全等三角形的判定方法有哪些 ?
3.什么是斜边、直角边定理 ?
(二)新知探索?
1.探索角平分线性质定理的证明方法.?
师：请同学们都在半透明纸上任意画一个角∠AOB,并找出它的对称轴.?
生：(体验几何图形的美感)?
师：在角平分线上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，沿角平分线对折，在半透明的纸上观察，PD与PE怎样 ?
生：重合，长度一样.?
师：对，我们怎样用逻辑推理的方法来证明他们相等呢 ?
生：用三角形全等.?
师：对.现在我们一起来探究怎样用三角形全等来证明PD=PE ?
已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC上任意一点PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E分别为垂足.?
求证：PD=PE.?
分析：图中两个直角三角形(△POD和△POE)有什么关系
师：请两位同学在黑板上写出证明过程，其余学生自己完成，最后老师点评.? 归纳：(让学生自己归纳)?
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.?
2.上面定理反过来成立吗
如图，如果PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，那么P在什么位置呢 ?
学生自主探索，合作交流，归纳得出P点在这个角的平分线上.?
师：怎样通过逻辑推理来证明它呢 ?
分析：要证明P点在∠AOB的平分线上，可以画射线OP，利用(H.L.)定理证明Rt△POD≌Rt△POE，从而得到
∠AOP=∠BOP.?
证明过程同学们自己写出来.?
师：于是就有：?
定理 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.?
3.三角形的内心.?
师：请同学们自主探索三角形的三条角平分线是否交于一点 为什么 ?
如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，AD、BE交于O.?
求证：O在∠ACB的平分线上.?
证明：过O作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB.?
因为BE平分∠ABC，所以
OG=OI.?
同理可证 OI=OH.
所以 OG=OH，
所以O点在∠ACB的平分线上，即△ABC的三条角平分线交于一点O(这点叫内心).
(三)课堂练习?
1.如图，已知四边形ABCD，求作一点P，使得P点到AB、AD、DC的距离相等.?
2.教材第39页练习第1、2题.?
(四)小结?
由学生自己来归纳这节课的内容.?
(五)作业?
教材第44～45页习题27.2第3、5题，同步练习册第19～20页第3、4、5题.
§27.2 用推理方法研究三角形(3)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握定理“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”以及定理“到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”.? (二)能力目标?
培养学生的逻辑推理能力，运用所学知识解决实际问题的能力.?
(三)德育目标?
1.让学生感受几何图形的美.?
2.渗透辩证唯物主义思想，培养学生勇于探索的思想.
二、教学重点?
关于线段垂直平分线的两个定理及其证明.
三、教学难点?
1.定理“到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的证明.?
2.运用定理解决实际问题.
四、教学理念?
1.学生是学习的主体，教师只是引导者、合作者.?
2.在实践过程中培养学生的观察能力，逻辑推理能力.
五、教学过程?
(一)知识回顾?
1.线段垂直平分线的概念.?
2.全等三角形的判定方法：(S.A.S.)，(A.S.A.)，(A.A.S.)，(S.S.S.)，(H.L.).? 3.等腰三角形的有关定理：等边对等角，等角对等边.?
(二)探索并证明新知?
师：请每个同学取教材第95页的方格纸，画线段AB并找出它的对称轴.?
生：(自主探索)?
师：通过实际操作，我们知道线段的垂直平分线是线段的一条对称轴.那么在线段垂直平分线上任取一点M，连结MA与MB，它们相等吗 ?
生：因为对折后MA与MB重合，所以相等.?
师：请用语言描述MA=MB这个结论.?
经过学生的合作交流来完成.?
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.?
师：下面我们用逻辑推理的方法来证明它.?
已知：CD⊥AB，垂足是N，AN=BN,M是直线CD上任意一点.?
求证：AM=BM.?
分析：易证△AMN≌△BMN(S.A.S.).得到AM=BM.证明过程由学生自己完成.? 师：如果将上面定理反过来能成立吗 ?
学生自主探索.?
师：(归纳学生结论)到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.下面我们来证明它.?
已知：如图，QA=QB.?
求证：Q在线段AB的垂直平分线上.?
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q画线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为C，连结QC，然后证明QC垂直于线段AB.学生们可任选一种方法证明.?
生：……?
师：注意我们前面学的两个定理的不同.?
(三)三角形的外心?
师：请同学们任画一个三角形，并作出三条边的垂直平分线，你有什么发现 ? 生：交于一点.?
师：为什么呢 请你们证明.?
分析：如图，要证明三条垂直平分线交于O点，只需证明其中两条如m和l相交于O，再证明O在第三条垂直平分线n上.(让学生自己证)?
(四)课堂练习?
教材第41页第1、2、3题.?
(五)小结?
本节课后你有何收获和体会 还有何疑问 若有学生提问，则可鼓励其他学生解决或老师解决.?
(六)作业?
教材第44页习题27.2第4题，练习册第21～22页第1、2、3、4、5题.
§27.2 用推理方法研究三角形(4)
一、教学目标?
(一)知识目标?
通过学习让学生理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.理解勾股定理与它的逆定理.?
(二)能力目标?
培养学生观察、类比、归纳能力.?
(三)德育目标?
培养学生的辩证唯物主义思想及勇于探索的精神.
二、教学重点?
1.逆命题、逆定理的概念，判断逆命题的真假.?
2.勾股定理的逆定理及应用.
三、教学难点?
1.写出一个命题的逆命题.?
2.勾股定理的逆定理的证明方法(构造法).
四、教学过程?
(一)知识回顾?
什么是命题 什么是命题的题设和结论 什么是真命题、假命题 勾股定理的内容是什么 ?
(二)旧知迁移、导入新知?
师：看下列各对命题，它们有何不同 有何联系 (注意让学生观察题设与结论的变化)?
(1)“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”.?
(2)“线段垂直平分线上的点，到这条线段的两个端点的距离相等”和“到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上” .
(3)“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”和“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.?
生：(互动交流、自主探索，观察类比)?
归纳得出逆命题的概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.?
(三)巩固练习?
命题：“两直线平行，内错角相等”.?
题设为_________________________________________.?
结论为_________________________________________.?
它的逆命题为___________________________________.?
师：是否每一个命题都有逆命题 你掌握了得出逆命题的方法了吗 ?
生：有，只要将原命题的题设部分改为结论，并将原命题结论部分改为题设，便可得到逆命题.?
师：原命题和逆命题都是真命题吗 举例说明.(尽可能让学生多举几个例子)? 生：自主实践探索得到结果.?
师：(归纳)如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.?
(四)课堂练习?
教材第43页练习1、2题.?
(五)勾股定理?
师：回忆勾股定理的内容并写出它的逆命题.?
生：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.逆命题：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.?
师：现在我们证明这个逆命题的正确性.?
已知：△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且a+b=c.?
求证：△ABC是直角三角形.?
分析：如图，首先构造一个直角三角形A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=a,C′A′=b，根据勾股定理得A′B′==c.那么△ABC≌△A′B′C′(S.S.S.).从而得到△ABC是直角三角形.证明过程由学生自己完成.这个定理叫勾股定理的逆定理.
(六)课堂练习?
1.教材第43页中的做一做.?
2.教材第44页练习第3、4、5题，第45页习题27.2第6题.?
(七)小结?
学生小结逆命题、逆定理的概念，勾股定理、勾股定理的逆定理.利用勾股定理的逆定理可以判定符合条件的三边能构成直角三角形，并得出哪个角是直角.? (八)作业?
同步练习册第23～24页第1～6题.
§27.3 用推理方法研究四边形(1)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握平行四边形的判定定理和性质定理.?
(二)能力目标?
1.培养学生的观察、分析、合理选用判定定理、性质定理的能力.?
2.培养学生的逻辑推理能力.?
(三)情感价值观?
1.让学生体验平行四边形的中心对称美.?
2.培养学生的辩证唯物主义思想及勇于探索的精神.
二、教学重点?
平行四边形的判定定理和性质定理.
三、教学难点?
合理选用平行四边形的判定定理、性质定理进行解题.
四、教学方法?
自主探索、互动交流.
五、教学过程?
(一)回顾旧知识，导入新知识?
1.平行四边形的概念，全等三角形的判定方法.?
2.平行四边形的判定方法.(当一个学生回答不完整时，可几个学生交流后补充)?
师：引导学生按边的关系，角的关系及对角线的关系分类.?
(1)按边的关系：?
判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.?
判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.?
(2)按角的关系：?
判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.?
(3)按对角线的关系：?
判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形.?
这四个判定定理都可以用逻辑推理的方法来证明它们的正确性.下面我们证明判定定理1.
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.?
求证：ABCD是平行四边形.?
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，目前只能用平行四边形的定义来证明，即设想只要证明另一组对边平行就可，因此，可以连结其中一条对角线，利用全等三角形对应角相等得出内错角相等，就能证到另一组对边平行.?
证明：连结AC.?
(以下学生自己完成)?
判定定理2、判定定理3、判定定理4可请学生口述证明方法.注意引导学生根据已知条件的特点，正确合理地使用全等三角形证明，或用四边形的内角和与两对角分别相等直接得出同旁内角互补两直线平行(判定定理3).?
注意：今后有些问题如果可用平行四边形的知识来证明，那么不一定再退回到用三角形全等来证明.?
(二)平行四边形的性质?
师：引导学生按边的关系、角的关系以及对角线的关系分类.?
(1)按边的关系：?
平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等.?
(2)按角的关系：?
平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等.?
(3)按对角线的关系：?
平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分.?
这三个性质定理都可以用逻辑推理的方法证明.下面证明性质定理1.?
已知：如图，平行四边形ABCD.?
求证：AB=CD，BC=DA.?
分析：连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，易证两个三角形全等，然后利用全等三角形对应边相等得出结论.?
证明过程由学生自主完成.其余两个也可用全等三角形证出.可让学生回述证明.?
注意引导学生根据已知条件的特点，正确合理地使用判定定理和性质定理，可以用平行四边形知识的证明题，不要再退回到用三角形全等的知识来证，请看下面例题.?
(三)例题讲授?
例1 如图，ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF.求证：BF∥DE.?
分析：要证BF∥DE，可证四边形EBFD是平行四边形，而已知中有AE=CF，利用ABCD是平行四边形易证
EB∥DF且EB=DF.?
证明：因为ABCD是平行四边形(已知)，
所以 AB∥CD (平行四边形对边平行)，
AB=CD (平行四边形对边相等).?
又因为 AE=CF (已知).
所以 AB-AE=CD-CF (等式性质)，
即 BE=DF.?
又 BE∥DF，
所以EBFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
所以 BF∥DE.?
(四)课堂练习?
教材第48页练习第1、2、3题.?
(五)小结?
引导学生回忆平行四边形的判定定理和性质定理.?
(六)作业?
教材第57页习题27.3第1、2题，同步练习册第25～26页第1～5题.
§27.3 用推理方法研究四边形(2)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握矩形、菱形的判定定理、性质定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.?
(二)能力目标?
1.培养学生观察、分析、合理选用判定定理、性质定理的能力.?
2.培养学生的逻辑推理能力.?
(三)情感目标?
1.让学生感受矩形、菱形的几何对称美.提高学生对数学学习的兴趣.?
2.培养学生的辩证唯物主义思想及勇于探索的精神.
二、教学重点?
矩形、菱形的判定定理、性质定理.
三、教学难点?
合理选择矩形、菱形的判定定理、性质定理进行解题.
四、教学手段?
倡导学生主动参与、合作交流，共同探索.
五、教具?
一个可变动边长和角的平行四边形.(一般学校都有，条件好的学校可用多媒体教学)
六、教学过程?
(一)回顾旧知识、导入新知识?
师：同学们回忆矩形、菱形的概念，平行四边形的判定与性质.?
生：……?
师：我们知道矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此在平行四边形基础上增加一定的条件就可得到它们.?
(二)新课?
1.矩形的判定定理.?
师：用教具展示，学生注意观察.?
生：有一个角是90°的平行四边形是矩形.?
师：如果一个四边形有三个角是直角，那么这个四边形是矩形吗 ?
学生互助、交流后得出结果.?
师：这就是我们判定矩形的方法.?
2.菱形的判定定理.?
师：用教具展示.(学生认真观察后总结，注意与矩形判定的类比)?
?
生：邻边相等的平行四边形是菱形.?
师：如果一个四边形四边相等，那么它是菱形吗 ?
生：是.?
师：这就是我们判定菱形的方法.?
3.矩形的性质定理.?
师：我们知道矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此它们都具有平行四边形的性质.而且还具有一些特殊的性质，都有哪些特殊性质呢 先看矩形.(注意引导学生观察)?
(1)按边观察：无特殊性质.?
(2)按角观察：四个角都是直角(由定义得出).?
(3)按对角线观察：对角线相等.?
师：我们现在证明为什么矩形的对角线相等.?
已知：如图，ABCD是矩形.?
求证：AC=BD.?
分析：易证△ABC≌△DCB(S.A.S)，得出AC=BD.?
请同学们自己完成.?
4.直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.?
师：由矩形性质得 AC=BD.?
由平行四边形得 OA=OC,OB=OD.?
所以BO是直角三角形ABC斜边上的中线.?
因为 BO=BD，
所以 BO=AC.?
5.菱形的性质定理.(注意与矩形类比)?
(1)按边观察：四边相等(由定义得出).?
(2)按角观察：对角相等(平行四边形性质得出).?
(3)对角线观察：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.已知：如图，ABCD是菱形.?
求证：AC⊥BD，AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA.? 分析：要证AC⊥BD，AC平分∠DAC，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD.?
证明：设对角线AC、BD交于O.因为ABCD是菱形，所以
AB=AD(菱形四边相等)，
即△ABD是等腰三角形.?
又 BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)，
所以AC⊥BD，AC平分∠DAB(等腰三角形的三线合一).?
同理可证，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA.?
(三)探索创新?
师生互动、探究.?
师：根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形或菱形呢 (用教具展示，学生观察)?
?
通过学生观察对角线变化对图形产生的影响，从而加深记忆与理解.?
(四)课堂练习?
教材第50页第1、2、3题.?
(五)小结?
学生自己小结矩形、菱形的判定和性质.?
(六)作业?
教材第57页习题27.3第3、4、5题.
§27.3 用推理方法研究四边形(3)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握正方形的判定定理、性质定理.?
(二)能力目标?
培养学生观察能力、逻辑推理能力.?
(三)德育目标?
1.感受四边形中最完美的正方形的图形美.?
2.培养学生的辩证唯物主义思想，勇于探索的精神.
二、教学重点?
正方形的判定定理、性质定理.
三、教学难点?
合理选用正方形的判定定理，证明一个四边形是正方形.?
四、教学方法?
自主探索、合作交流.
五、教具?
一个可变动边长和角的平行四边形.
六、教学过程?
(一)回顾旧知识，引入新知识?
1.平行四边形、矩形、菱形的判定定理、性质定理.?
2.正方形的概念(既是矩形又是菱形).?
师：下面我们学习正方形的有关知识.?
(二)新课?
1.正方形的判定定理.?
师：用教具展示，学生认真观察后总结.?
(1)?
(2)?
(3)探索：对角线_________、________、________的四边形是正方形.?
2.正方形的性质定理.?
师：因为正方形既是矩形，又是菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质.(引导学生观察).?
(1)按边观察：四边相等.?
(2)按角观察：四个角都是90°.?
(3)按对角线观察：相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.?
(三)例题讲解?
例2 已知：如图，ABCD是正方形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.?
求证：四边形EFGH是正方形.?
分析：要证四边形EFGH是正方形，可先证四边形EFGH是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可先证EFGH为菱形，然后再证有一个角是直角.?
师：同学们用第二种方法证明.?
证明：因为ABCD是正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD中点.则
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AE=EB=BF=FC=CG=DG=DH=AH，
所以 △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
HE=EF=FG=HG，
所以EFGH是菱形.?
又△AEH、△BFE是等腰直角三角形，则
∠AEH=∠BEF=45°，
所以 ∠HEF=90°，
所以EFGH是正方形.?
(四)巩固练习?
已知：如图，ABCD是正方形，AC、BD交于O点，E是OB上任一点，连结AE，过D作DF⊥AE，垂足为F，DF交OA于H.?
求证：DH=AE.?
分析：要证DH=AE，只需证△DOH≌△AOE.?
(先让学生自主完成证明，抽学生在黑板上完成，最后老师点评)?
证明：因为ABCD是正方形，AC、BD交于O，则
∠AOD=∠AOE=90°，
OD=OA，
所以 ∠2=90°-∠3.?
又因为 DF⊥AE，
所以 ∠1=90°-∠3，
∠1=∠2，
所以 △DHO≌△AEO(A.A.S)，
所以 DH=AE.?
(五)课堂练习?
教材第51页第1、2题.?
(六)小结?
通过这节课的学习，你是否对正方形有了更深的认识 你知道正方形的性质和判定吗 ?
(七)作业?
同步练习册.第29～30页第1～6题.
§27.3 用推理方法研究四边形(4)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握等腰梯形的判定定理、性质定理.?
(二)能力目标?
1.培养学生的转化能力.?
2.培养学生的逻辑推理能力.?
(三)德育目标?
1.让学生感受等腰梯形的对称美.?
2.培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，培养合作的意识及严谨的治学精神.
二、教学重点?
等腰梯形的性质定理、判定定理.
三、教学难点?
通过平移腰或对角线，将等腰梯形分解成平行四边形和等腰三角形的转化思想.
四、教学过程?
(一)回顾旧知识、导入新知识?
1.平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质.?
2.等腰梯形的概念.?
(二)新课?
1.等腰梯形的性质定理.?
(1)师：请同学们认真观察左图，等腰梯形的同一底上的两个内角有什么关系 ?
生：相等.?
师：为什么会相等呢 ?
生：可沿对称轴对折后重合，所以相等.?
师：对，下面我们用逻辑推理来证明它.?
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC.?
求证：∠ABC=∠DCB,∠BAD=∠CDA.?
分析：可通过平移腰将等腰梯形转化为平行四边形和等腰三角形，再来证得结论.
证明：过D作DE∥AB，交BC于E，因为
AD∥BC，
所以ABED是平行四边形.?
所以 AB=DE.?
又因为 AB=DC，
则 DE=DC,
所以△DEC是等腰三角形,可得?
∠DEC=∠C.?
因为 DE∥AB，
所以 ∠ABC=∠DEC(两直线平行同位角相等)，
所以 ∠ABC=∠DCB.?
同理可证：∠BAD=∠CDA.?
(2)师：我们再来探究等腰梯形的两条对角线的大小关系是怎样的 ?
生：相等.?
师：我们用逻辑推理来证明.?
已知：如图，ABCD是等腰梯形.?
求证：AC=BD.?
分析：可通过平移对角线将等腰梯形转化成平行四边形和等腰梯形，再利用有关知识证得结论.?
证明：过D作DE∥AC，交BC延长线于E.(以下学生自己完成)?
2.等腰梯形的判定定理.?
(1)师生共同探索得出：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.?
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C.?
求证：ABCD是等腰梯形.?
证明：过D作DE∥AB，交BC于E，则
∠B=∠DEC.?
因为 ∠B=∠C，
所以 ∠DEC=∠C.?
所以 DE=DC.?
又因为 AD∥BC，DE∥AB.
所以ABED是平行四边形，有
AB=DE，
故 AB=DC.
即ABCD是等腰梯形.?
(2)探索对角线相等的梯形是等腰梯形.?
已知：如图，在梯形ABCD中.AC=BD.?
求证：ABCD是等腰梯形.?
证明：过D作DE∥AC，交BC延长线于E.(由学生完成证明)?
(三)课堂练习?
教材第53页练习第1、2、3题.?
(四)小结?
由学生小结本节内容.?
(五)作业?
同步练习册第31页第1、4、5题.
§27.3 用推理方法研究四边形(5)
一、教学目标?
(一)知识目标?
通过学习掌握三角形中位线定理和梯形中位线定理.?
(二)能力目标?
培养学生的逻辑推理能力.?
(三)德育目标?
培养学生的探索精神和逻辑推理能力.
二、教学重点?
三角形中位线定理和梯形中位线定理内容.
三、教学难点?
三角形中位线定理和梯形中位线定理的证明过程.
四、教学方法?
启发式，讨论式，探究式.
五、教学过程?
(一)复习旧知识?
师：谁能说出平行四边形的性质、判定定理 ?
生：……?
师：全等三角形的判定方法有哪些 ?
(二)新课?
1.三角形中位线的概念.?
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.?
2.三角形中位线定理.?
探索：同学们任画一个三角形ABC取两边中点D、E，连结DE.判断DE与BC的位置关系，猜想DE与BC的大小关系.?
师：(归纳得出)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.?
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC.?
求证：DE∥BC，DE=12BC，可延长DE到F，使EF=DE，于是本题就转化为证明DF=BC,DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形.?
证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF.因为
AE=CE，
∠AED=∠CEF，
ED=EF，
所以 △ADE≌△CEF(S.A.S).
所以 AD=CF(全等三角形的对应边相等)，
∠ADE=∠F(全等三角形的对应角相等)，
所以 AD∥CF(内错角相等，两直线平行).?
因为 AD=DB，
所以 CF=DB，
所以BCFD是平行四边形，有
DF∥BC，
DF=BC.
即 DE∥BC，DE=BC.?
3.梯形中位线的概念.?
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.?
4.梯形中位线的性质定理.?
探索：同学们先画一个梯形，取两腰中点连结，观察中位线与上、下底的位置关系，猜想中位线与上、下底的大小关系.?
师：(归纳总结)梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半.?
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AE=BE，DF=CF.??求证：EF∥BC，EF=(AD+BC).?
分析：由于本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，由△ADF≌△GCF得AF=FG.再利用EF是△ABG的中位线就能得证.?
证明过程同学们自己完成.?
5.例题讲解.?
例3 已知：如图，在△ABC中，AD=DB,BE=EC,AF=FC.?
求证：AE、DF互相平分.?
分析：只需证到ADEF是平行四边形就可.?
证明：连结DE、EF，因为
AD=DB，BE=EC，
所以 DE∥AC(三角形中位线定理).?
同理可证：EF∥AB.?
所以ADEF是平行四边形，AE、DF互相平分.?
(三)课堂练习?
教材第55页练习第1、2题，第56页第3题.?
(四)小结?
两个中位线定理的内容是……?
(五)作业?
同步练习册第32～33页第1、3、4、6题.
§27.3 用推理方法研究四边形(6)
一、教学目标?
(一)知识目标?
让学生体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的步骤.?
(二)能力目标?
让学生明确“反证法”是间接证明的一种重要的证明方法.?
(三)情感价值观?
通过学习培养学生的辩证唯物主义思想和严谨的科学态度.
二、教学重点?
让学生体会反证法的思维形式，了解反证法的证明步骤.
三、教学难点?
找出命题的反面及否定反面的条件.
四、教学方法?
启发式教学.
五、教学过程?
(一)新课?
1.为什么要学习反证法 ?
我们知道，命题“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a+b=c”是真命题，试问命题“在△ABC中，如果AB=c，BC=a,CA=b，且∠C≠90°，那么a+b≠c”是真命题吗 想从已知条件∠C≠90°出发，经过推理，得出结论a+b≠c是很困难的，几乎可以说办不到.这时我们就可以使用间接证明方法的一种反证法来证明上述命题是真命题.?
2.什么是反证法 ?
通过否定命题结论的反面得到命题结论的正面正确的方法叫做反证法.?
对前面的问题，我们可以假设a+b=c，根据勾股定理的逆定理，一定有∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾，因此，假设a+b=c是错误的，即是不可能的，于是a+b≠c.这就说明命题“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a+b≠c”是真命题.?
3.用反证法证明一般有哪几步骤 ?
(1)先假设结论的反面是正确的.?
(2)通过逻辑推理，推出与公理、已知的定理、定义或已知条件相矛盾.?
(3)得出假设不成立，从而得到原结论正确.?
4.例题讲解?
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.?
已知：△ABC.?
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.?
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或者等于60°，即
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，
则 ∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°，
这与三角形内角和等于180°矛盾.?
所以假设不成立.?
故△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.?
(二)课堂练习?
教材第57页练习第1、2题，习题27.3第7题.?
(三)小结?
通过这节课的学习，你体会到反证法的思维形式吗 反证法的步骤是什么 (四)作业?
同步练习册第32页第2题，第33页第5题.
第二十八章 数据分析与决策
【本章学习要点】
1．能根据具体问题的需要借助媒体查找有关资料或亲自调查获得数据信息．
2．对日常生活中的某些数据，能对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的质疑、发表自己的看法．
3．在具体情景中理解并会计算加权平均数；能根据具体问题选择合适的权重进行决策．
4．进一步掌握设计调查方案以及整理分析调查数据的方法，能根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流．
5．经历提出问题、搜集数据、整理数据、分析数据、作出决策的全过程，认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题．
28.1借助媒体作决策（1）——查询数据作决策
【本课学习要点】
了解媒体是获取信息的一个重要渠道，学会从媒体上获取数据信息，包括上网、看电视、读报、听广播等，并通过对这些数据的分析进行决策．
【新课导入】
某集团公司为提升企业文化品位，本周六准备举行运动会，但考虑到现阶段是多雨季节，为了能保障运动会的顺利进行，请你帮助公司领导作出决策：运动会是否要改期进行？你的决策需要哪些数据信息？你能通过哪些方式获取相关信息？
此类问题的决策需要我们通过各种途径去获取信息——了解本周六的天气情况，而借助媒体则是一种获取数据信息的重要渠道．在这个问题中，我们可以通过听广播、看电视等途径了解天气变化情况，也可通过上网查询、电话查询等方式了解本周六的天气情况，当然还可以向一些有经验的老人请教……
【实践与探索】
例1．小张老师是个足球迷，2004年暑假期间恰逢第13届亚洲杯足球赛在中国举办，于是比赛期间他又成了电视迷……请问：小张老师可以靠什么渠道来选择自己要看的电视节目？
解：小张老师可以通过以下方式了解电视节目：看电视节目报、看电视本身的节目预告、上网查询等．
例2．小明家准备五月一日到外地旅游，通过上网调查，小明发现：旅游目的地的气温与海拔高度之间存在着密切关系．某日，该地日平均气温情况如下表所示：
海拔（单位：km） 0.5 1 1.2 1.5 2 2.4 2.6 3
气温（单位：℃） 18 15.1 13.8 12.1 9 6.6 5.3 3
若小明家有一旅游目标景点处于该地海拔4650米处，问按气温与海拔高度之间的变化规律，当日该景点处的日平均气温应该约为多少摄氏度？
分析：如图28.1.1所示，在平面直角坐标系内描点，可以看出这些点基本上处于一直线上，也就是说，气温y（℃）可以看作是海拔高度x（km）的一次函数．通过计算，我们可以求得气温y（℃）与海拔高度x（km）之间的近似函数关系式为．
当（km）时，
．
因此，我们可以估计当日该景点处的日平均气温应该约为℃．
回顾：由例2求得的函数关系式可以看出：海拔每升高1km，气温将下降6℃．
探索：某校准备在今年暑假组织全体初三教师去新、马、泰（新加坡、马来西亚、泰国）旅游，由1名校长带队．是学校组织团队前往还是联系旅行社出行呢？如果联系旅行社是首先考虑服务质量还是首先考虑旅行费用呢？最后通过本市有关报纸的介绍了解了全市几十家旅行社的服务质量，决定在服务质量最好的甲、乙两家旅行社中选择一家价格便宜的旅行社．该校校长通过上网查询得知两家旅行社的报价都是每人2800元，后通过电话查询了解到这两家旅行社暑期对于教师都可给予优惠，但优惠方案不同．具体优惠措施如下：甲旅行社可给予每位教师（包括一名带队校长）八五折优惠；乙旅行社可免去一名带队校长的费用，其余教师九折优惠．
（1）请你帮助校长作出选择：选择两家旅行社中的哪一家，使学校支付的旅游总费用最少．
（2）若初三教师共有21人（不包括带队校长），问应选哪家旅行社？这时应支付旅游总费用多少元？
分析：外出旅游既要价钱便宜又要舒适方便，从而真正体现“休闲”，玩得舒心．为了避免旅途中在交通、食宿安排等方面分配过多的精力，团队外出旅游一般都联系旅行社．至于选择哪家旅行社，我们可以通过丰富的媒体去调查了解服务质量，在服务质量保证的前提下，我们还可借助媒体了解价钱，综合运用我们所学的数学知识，帮助我们作出决策……
解：（1）设该校有x名初三教师在1名校长带领下去新、马、泰旅游，选择甲、乙旅行社的费用分别为、， 则由题意得： ， ．
①若，则，解得；
②若，则，解得；
③若，则，解得．
（2）由于21>18，所以选择甲旅行社，此时（元）．
答：（1）若初三教师为18人（不包括带队校长），则在甲、乙两家旅行社中任选一家；若初三教师人数少于18人，则选择乙旅行社；若初三教师人数超过18人，则选择甲旅行社．
（2）由于该校初三教师共有21人（不包括带队校长），超过18人，故选择甲旅行社较为便宜，这时应支付旅游总费用为52360元．
回顾与反思：
（1）有时作出一个决策需要许多信息，象上面的实际问题中，我们需要许多信息，如全市各家旅行社的服务质量、各旅行社的价钱比较等等，而借助媒体得到相关数据则是一种便捷的获取丰富、实时的信息的有效渠道与方式．
（2）从媒体上得到相关数据后，还必须结合实际情况加以分析，才能作出决策．如上面问题中，必须对该校初三教师的人数进行分类讨论，才能作出相应的决策．而这则需要我们具有“分类”的数学思想与“函数”的意识与方法．
【当堂课内练习】
1． 证券投资者可以通过哪些渠道了解股市行情，进行股票买卖决策？
2．2001年中国人民银行统计司就城镇居民对物价水平满意程度进行了抽样调查，结果如图所示．据此，可估计2001年城镇居民中对物价水平表示认可的约占_______%．
3．如果你的家庭计划在今年在五一长假期间外出旅游，那么你准备提供哪些方面的信息给家长以决定你们的旅游目的地？你将从哪些渠道查询相关数据以便作出决策？把你的决策过程写出来与同学们交流，看看你考虑得是否全面．
【本课课外作业】
A组
1．你能通过哪些渠道了解2004年在雅典举行的第28届夏季奥运会各国运动员所获金牌情况？
2．在某市人才网上“人才招聘”栏目中有A、B两家工作环境相仿的公司登出了招聘条件基本相同的信息，但工资待遇有些差异：A公司，年薪12000元，从第二年起每年在上次年薪基础上提高20%；B公司，半年薪6000元，从第二年起每半年在上次半年薪基础上提高10%．如果你的情况恰好与这两家公司的招聘条件相符，单纯从经济角度考虑，你会选择哪家公司？
B组
3．某市晚报上刊登了这样一则新闻，标题为“本市电动自行车合格率为82%”．
（1）这则新闻是否说明该市所有品牌的电动自行车的合格率均为82%？
（2）你认为这则消息中的数据是来源于普查，还是抽样调查？为什么？
（3）如果已知在这次质量监督检查中共查出不合格电动自行车36辆，你能算出共有多少辆电动自行车接受检查了吗？
（4）如果在该市一家商场检查了2辆电动自行车发现有1辆不合格，即合格率为50%，是否可以由此断定该晚报上的那则新闻是虚假新闻？为什么？
【本课学习体会】
28.1借助媒体作决策（2）——全面分析媒体信息
【本课学习要点】
1．学会对来自媒体的数据信息进行合理的质疑，大胆发表自己的观点．
2．通过对来自媒体的数据的分析与交流，在全面分析信息、提高分析辨别能力的同时，增强合作学习的意识与能力．
【新课导入】
2003年5月，由于“非典”影响，北京海淀区教育网开通了网上教学．该区某校初三某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断全国初三年级学生每天上网学习时间，这样的推断是否合理？为什么？
显然，这样的推断是不合理的．同学们，请思考一下：作为样本，该具有哪些特征呢？
【实践与探索】
例1．以下是一些来自媒体的信息，谈谈你读了之后有什么想法．
（1）某报社记者于2004年8月7日晚在2004年亚洲杯决赛现场北京工人体育场调查了2000名观众，调查数据显示：91%的中国人爱看中超联赛．
（2）某医院自办的小报刊载：由于98%的人认为目前医药费用比较合理，因此目前医院各项收费总体而言是合理的．（数据来源于对该市所有医院的医务人员的一项问卷调查）
分析：来自媒体的信息需要我们读者进行全面的分析，辨别真伪，作出自己的判断．
解：（1）91%这一数据明显偏高．因为调查对象缺乏代表性：由于是在足球比赛现场调查人们对足球的喜爱程度，相当于在“足球迷”中调查统计“足球爱好者”的比例，因此难以得到一个真实、恰当的数据．
（2）“目前医院各项收费总体而言是合理的”这一结论不可信．因为调查选取的对象都是医务人员，对于整个社会群体尤其是就医者群体来说明显缺乏代表性．因此得出的相关结论很不可信．
例2．我国是一个多民族国家．在我国西部有一个人口总数为370万（2000年全国人口普查统计）的多民族城市——贵阳市，图28.1.2（1）和图28.1.2（2）是2000年该市各民族人口统计图．
根据上面的人口统计图提供的信息可知：
2000年贵阳市总人口中布依族占的百分比为___________，苗族人口数为_______________．
分析：直方图与扇形统计图两者要结合起来看，才能把问题求解，得到正确答案．
解：（1）15%×30%=4.5%；（2）370×15%×40%=22.2（万人）．
探索：为吸引更多更好的初中毕业生报考，某校在招生广告上大力宣传该校近年来的办学成就，并制作了近五年该校高中毕业生升入大学的人数统计图（图28.1.3）．
你认为该校制作的统计图是否存在误导的成分？实际情况是否如广告所言？另外，升入大学的人数与升入大学的比例这两个统计量中哪个更能说明问题？作为一名初中应届毕业生，如果你打算报考该校，那么你认为还需了解哪些信息以便你作出正确的决策？
简析：①纵轴视觉上的比例存在误导的陷阱；②选用“升入大学的学生数占当年学校毕业生数的比例”这一统计量显然比“升入大学的人数”更合理；③还需了解每年同期其它学校升入大学的学生数占当年学校毕业生数的比例、近几年大学是否存在“大规模扩招”等现象；④还可了解该校每届毕业生当年入学时的总体成绩情况以便与毕业时高考成绩作比较……总之，面对媒体数据，我们应全面分析，以便作出决策．
回顾与反思：从以上实际问题中可以看出，媒体虽然能给我们传递大量的信息、数据，帮助我们决策，但有些时候媒体也可能误导我们．因此，一方面，面对媒体信息，我们必须全面分析，不能成为媒体信息的“奴隶”；另一方面，我们认为，比较规范的统计报告应该说明调查的细节，如调查了多少对象，是怎样抽取调查对象的，等等．例如，为了调查市场上酱油的质量，如果我们进入市工商局旁的一家大型超市选取其中一种家喻户晓的品牌的酱油并抽样其中的一瓶检测质量，那么这样的调查显然毫无意义．
【当堂课内练习】
1．一则广告称，“本药品对各种癌症的治愈率达80%，研制成功10年来，已使几万名癌症患者得以康复”．对此，你有什么看法？
2．互联网上有这样一份调查报告：中国青少年研究中心和北京师范大学教育系于1998年10月对10个省市3737名中小学生进行了一次关于学生学以致用情况的调查，其中有这样一个问题：“我喜欢把学习到的知识用来解决或解释生活上遇到的问题”．调查结果如下：
完全符合 比较符合 不太符合 完全不符合
小学生 51.6% 32.2% 11.6% 4.6%
初中生 47.7% 36.9% 13.0% 2.4%
高中生 29.9% 49.2% 18.9% 2.0%
请你对互联网上这份调查报告中的有关数据发表自己的观点．
【本课课外作业】
A组
1．一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场进行调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%．由此，该电脑生产厂家在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销量占40%．请你根据自己所学的统计知识，分析判断该广告中的数据是否可靠，并说出你的理由．
2．如图是某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护的电话最多，有90个．请根据题中给出的统计图回答下列问题：
（1）本周内“百姓热线”共接到热线电话多少个？（2）本周内“百姓热线”接到有关道路交通的电话有多少个？
B组
3．某晚报刊载：某师范院校大学生利用暑假对500户家庭进行了问卷调查，98%家长对“您爱自己的子女吗？”这一问题回答“是”．而这500户家庭的子女在面对“您体会到家长对您的爱吗？”这一问题时回答“体会到”的仅占21%．请你对此谈谈自己的看法．
【本课学习体会】
28.2亲自调查作决策（1）——调查方案的设计
【本课学习要点】
进一步掌握设计调查方案的方法，并学会通过亲自调查去搜集数据．
【新课导入】
学校准备举办六一庆祝活动，为了使得活动内容更受同学们的喜爱，学校在全校征求意见、建议．作为学校的主人，同学们怎样用自己的行动为学校献计献策呢？显然，通过亲自调查获取相关信息（如调查同学们最喜爱的节目，等等）提供给学校相关部门作参考就不失为一种很好的“参政议政”方式．
【实践与探索】
例．某品牌的洗衣机生产厂家为了了解顾客对该品牌洗衣机的满意程度，在洗衣机的使用说明手册中附上了一份意见表．表上有这样一段文字：
如果您对本产品不满意，请在下表中填上“不满意”，然后将此表寄回本厂服务部．本厂通讯地址为：××省××市×××路××号，邮编：××××××．
该厂服务部根据回信统计出对产品不满意的顾客数，再从厂家销售部获知该品牌洗衣机的销售量，利用公式“”计算出该品牌洗衣机的顾客满意率．
请分析该厂设计的调查统计方案是否恰当．如果你认为不恰当，请在评价之后对该方案作出你认为比较恰当的调整方案（只要能比原方案更合理一点即可），以便能得到更真实的数据——满意率，从而为厂家对“是否需要加快对产品进行升级换代”作出决策提供依据．
分析：按照厂方的调查方案去调查统计，同学们可以想象一下：最后计算得到的满意率与实际满意率相比较会有多大的区别．很明显，这样统计出来的满意率不合实际，明显偏高．其原因有：①夹在使用手册中的调查表不一定会引起顾客的注意；②一般说来，顾客洗衣机刚买时不会有多大意见，但当感到不满意时，就不一定会找到那张表了；③即使顾客注意到了调查表并保存了那张表，但要求顾客填表、买信封、邮票、填写通讯地址、邮编等，有些顾客会嫌麻烦，就算不满意也不一定愿意去与厂家计较了；而且当顾客感到不满意时，应该比较气愤，在那种心情状态下还要他（她）另外花钱买邮票、信封，可能许多顾客采取的方式更多可能性是“自认倒霉”，而不会去继续“劳命伤财”了……以上种种原因都将决定“该厂服务部根据回信统计出的对产品不满意的顾客数”远远小于实际“不满意顾客数”，因此厂家设计的调查方案很不恰当，难以得到较为准确的顾客满意率．
解：该厂设计的调查统计方案不恰当．
调查方案调整如下：将调查表更换为明信片（厂家通讯地址、邮编印刷好，邮票贴足），顾客感到对产品不满意时只需在明信片上“对本产品不太满意”或“对本产品很不满意”上打上“√”，然后写上顾客的联系方式寄出即可（对于提出意见、建议者厂家承诺回赠一份小礼品）．另外，在产品使用手册上再印上一个意见反馈电话号码（免费电话），顾客可以在打电话、寄明信片中任选一种方式反馈信息．这样的方案既体现了“顾客至上”的理念，又比原方案更科学、合理．
探索：在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：
日期 15日 16日 17日 18日 19日 20日 21日 22日
天然气表显示读数（单位：m3） 220 229 241 249 259 270 279 290
小强的妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？
分析：本题取材于生活实际，主要考查同学们是否真正掌握了统计的知识和用样本估算总体的统计思想方法，能否自觉地用统计的知识和方法解决身边的实际问题．表中的数据反映了7天使用天然气的数量（而不是8天）．计算这一周平均每天使用天然气的数量时用即可，然后用样本去估算总体，则可以得到“够用”的结论．
解：（略）
回顾与反思：
（1）调查首先应制订合适的调查方案，而这需要我们去精心设计．方案的设计可谓“失之毫厘，差之千里”．
（2）调查时究竟是采用“普查”还是“抽样调查”方式进行需要根据实际情况而定，而用样本估算总体的统计思想方法则是一种较简便、实用的统计方法．希望同学们通过实践操作逐步提高这方面的能力．
【当堂课内练习】
1．教育局为了了解本区域内学生对教师的满意程度，进行了一项民意测验．调查问题为：你对学校教师的教学情况感觉如何？A．非常满意； B．很不满意．
你觉得这项调查问题设计得怎样？
2．请你设计一个调查表，了解全班同学对华东师大版数学新课标教材的态度，将所收集到的数据用你喜欢的统计图表示出来，并用简单的文字说明从中可以获得哪些信息．
【本课课外作业】
A组
1．某班班主任为了了解本班现任班干部的群众满意度，准备由班长组织一次班干部满意率测评．班长是这样调查的：班长在上面报某位班干部的姓名，对这位班干部的工作满意的同学举手，副班长统计人次……请你谈谈班长设计的这个调查方案的看法．
2．为了丰富同学们的课外活动，班委会准备利用周日组织全班同学去观看一场球类比赛，为吸引更多的同学参与，事先做了“你最喜爱的球类运动”问卷调查，获得的信息如图所示．假设你是这个班的体育委员，你会组织观看的比赛是________________．
B组
3．请你对第1题中的问题设计一个你认为比较合理的调查方案．
【本课学习体会】
28.2亲自调查作决策（2）——怎样整理数据好
【本课学习要点】
1．学会亲自调查搜集数据、整理数据、进行决策．
2．能从不同角度出发看待所搜集到的数据，得出比较全面、客观、合理的结论．
【新课导入】
某家电商场经销南京产的熊猫彩电21英寸、25英寸、29英寸、34英寸四种型号，商场柜台经理经统计得一周内共销售出熊猫彩电64台，其中上述型号分别售出5台、21台、32台、6台，在研究电视机出售情况时，该家电商场柜台经理关心的是21英寸、25英寸、29英寸、34英寸和5台、21台、32台、6台这两组数据的平均数吗？如果不是，那么他会关心什么？
显然，在这个例子中计算平均数没有多大意义．迄今为止，我们已了解了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等统计量，如果你是该商场负责销售熊猫彩电的柜台经理，那么你会关心哪个统计量呢？
【实践与探索】
例1．尽管长江三峡工程的发电机组陆续投入使用，为缓解我国电力紧张的局面作出了许多贡献，但由于近年来我国经济发展迅猛，2004年许多大中城市电力仍然非常紧缺．因此，许多家庭在实际生活中积极响应、落实政府的“节约用电”号召．小芳同学在暑假末亲自统计了她所在的小区中24户家庭2004年7~8月用电情况及2003年同期用电情况，所得数据如下表所示（表中用电量单位：千瓦·时）：
用户时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2003年7~8月 325 252 186 405 78 381 362 334 198 284 408 562
2004年7~8月 273 225 192 316 70 326 320 285 168 235 356 402
用户时间 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
2003年7~8月 196 385 342 368 191 69 541 369 341 293 318 350
2004年7~8月 154 332 276 324 228 96 348 298 286 258 278 322
（1）请计算这24户家庭2004年7~8月平均每户家庭的用电量．
（2）根据小芳同学调查所得数据分析：该小区有没有真正落实“节约用电”的号召？
（3）如果小芳同学所在小区共有288户家庭，而且小芳所调查的24户家庭具有代表性，试估算该小区2004年7~8月与2003年同期相比共节约用电多少？
分析：用电紧张是当前经济发展迅猛的产物，一方面我们国家要继续加强电力建设；另一方面，我们应树立“节约用电”的意识，从而用实际行动为支持国家建设作出自己的贡献．面对小芳同学调查到的数据，我们会运用所学到的统计知识去分析、解释吗？
解：（1）这24户家庭2004年7~8月平均用电量为：
（千瓦·时）
（2）小芳所统计的这24户家庭中2004年7~8月与2003年同期相比用电减少的有21户，占所统计的24户家庭的87.5%．由此可见，“节约用电”的号召在小区内已深入人心，成效显著．
（3）这24户家庭2004年7~8月用电总量为（千瓦·时），
而这24户家庭2003年同期用电总量为（千瓦·时），
所以，这24户家庭平均每户节约用电（千瓦·时）．
由于小芳所调查的24户家庭具有代表性，因此由题意可以估计该小区288户家庭2004年7~8月与2003年同期相比共节约用电（千瓦·时）．
答：（略）
例2．某园林的门票每张10元（一次使用），考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除了保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购票日起，可共持票者使用一年）．年票分A、B、C三大类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需再购门票，每次3元．
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票最合算．
分析：由题意可知，一共有四种购票方式．我们要作出决策，关键看一年所花门票费用与进入该园林的次数这两个量．
（1）只需对照每种购票方式，分别计算花80元能进入该园林的次数；
（2）显然，当进入该园林的次数较多时，选择购买A类年票较合算．那么“多”的标准究竟是多少呢？我们只需要分别计算出根据另三种方式花120元能进入该园林的最多次数即可．
解：（略）
探索：某超市信息中心采集了一些供求信息，其中对该超市中西红柿的市场需求量和供给量进行调查后得到下表数据：
西红柿市场供需量信息表
日供给量（吨） 4.4 4 3.9 3.75 3.2 2.8
每千克价格（元） 2 2.5 2.6 2.8 3.5 4
日需求量（吨） 5.6 4.6 4.4 4 2.6 1.6
（1）为了使市场供需平衡，问此时市场需求量是多少？此时西红柿价格为每千克多少元？
（2）在超市保证供应的前提下，由于最终的日销售量由需求方决定，若超市的西红柿进货价为每千克1.6元，问超市将销售价定为每千克多少元时，每日销售西红柿的总利润最大？最大利润为多少元？
分析：（1）供需平衡点即供给量与需求量相等的情形．若设每千克西红柿的价格x（元）为自变量，则我们可分别求出供给量、需求量与价格x（元）之间的近似函数解析式．而这两个函数的图象（如图28.2.1）的交点即为第（1）小题的解．
（2）在第（1）小题中我们可求出日需求量（保证供应时即为日销售量，同时也是日进货量即供给量）与销售价格x（元）之间的函数关系式，而每千克西红柿的利润为（）元，将每吨西红柿的利润乘以日销售量即为每日销售西红柿的总利润．
（3）动笔计算一下，看看该超市每日销售西红柿的总利润与销售价格x（元）之间的函数关系式如何？是否存在最大值？
解：（略）
回顾与反思：学以致用是我们学习知识的真正目标，只要同学们带着数学的眼光去看待生活周围的事与物，就可以发现许多现象中存在着数学方面的道理．愿同学们做个有心人，在实践中不断体验数学、享受数学．
【当堂课内练习】
1．某校初三学生在一次数学测验中，甲、乙两班学生的成绩统计如下：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲班 1 6 12 11 15 5
乙班 3 5 15 3 13 11
请根据表格提供的信息回答下列问题：
（1）甲班学生成绩的众数为_________分，乙班学生成绩的众数为_________分．从众数看成绩较好的是__________班；
（2）甲班学生成绩的中位数为_________分，乙班学生成绩的中位数为_________分，甲班中成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_________%，乙班中成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_________%．从中位数看成绩较好的是__________班；
（3）若成绩在85分以上的为优秀，则甲班的优秀率为_______%，乙班的优秀率为______%，从优秀率看成绩较好的是__________班．
（4）请你根据题目给出的信息及以上的计算，对甲、乙两班的成绩作出你的综合评价．
2．某地区筹备召开中学生运动会，指定某校初二年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求身高一致．现随机抽取10名该校初二某班女生体检表（各班女生人数均超过20人），得身高如下（单位：cm）：162，160，157，160，153，161，160，160，168，159．
（1）求这10名女生的平均身高；
（2）问该校能否按要求组成花束队，试说明理由．
【本课课外作业】
A组
1．光明中学环保小组对学校所在区的8个餐厅一天的快餐饭盒使用个数作调查，结果如下：125，115，140，270，110，120，100，140．
（1）这八个餐厅平均每个餐厅一天使用快餐饭盒__________个；
（2）根据样本平均数估计，若该区共有餐厅62个，则一天共使用饭盒__________个．
2．空调大世界商场3月份、4月份出售同一品牌各种规格的空调台数如下表：
规格月份 1匹 1.2匹 1.5匹 2匹
3月 22台 30台 18台 14台
4月 26台 40台 24台 18台
根据表中数据回答：
（1）商场3月份、4月份平均每月销售空调_________台；
（2）这两个月该商场出售的该品牌的各种规格的空调中，众数是_________匹；
（3）在研究5月份进货时，商场经理决定________匹的空调要多进，_______匹的空调要少进．
3．某校初三（1）、初三（2）班举行电脑汉字输入速度比赛，每班各选10人经过一周培训后进入比赛．各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个数 132 133 134 135 136 137
初三（1）人数 1 0 1 5 2 1
初三（2）人数 0 1 4 1 2 2
（1）请你根据条件完成下表：
统计量 众数 中位数 平均数 方差
初三（1）
初三（2）
（2）试从不同方面评价该校初三（1）、初三（2）班学生的比赛成绩（至少从两方面进行评价）．
B组
4．为合理利用水资源，某省某地经过认真调查，提出以下水价调整方案：居民生活用水价格由原来的1.20元/m3调整为1.80元/m3，其中包含污水处理价格0.35元/m3调整为0.50元/m3；工业用水价格由1.60元/m3调整为2.50元/m3，行政事业用水价格由1.45元/m3调整为2.30元/m3，经营服务业用水价格由1.90元/m3调整为3.00元/m3，此三项中所包含的污水处理价格都由原来的0.35元/m3调整为0.60元/m3．
（1）根据以上提供的相关数据填写以下表格：
表一：用水价格表
用水类型 调整前价格（元/m3） 调整后价格（元/m3） 增加幅度（元/m3）
居民生活
工 业
行政事业
经营服务业
表二：污水处理价格表
污水处理类 别 调整前价格（元/m3） 调整后价格（元/m3） 增加幅度（元/m3）
居民生活
工 业
行政事业
经营服务业
（2）求出上面四类用水调价后的用水平均价格及污水处理的平均价格；
（3）试判断：该地自来水公司收费后计算所得的实际用水平均价格及污水处理的平均价格是否一定与上面你所计算得到的数据相符？并简单说明道理．
【本课学习体会】
阅读材料1 对一则关于学生学习方式的调查的思考
目前，从我国学校教育的实际看，仍然是以老师讲、学生听、课后练（主要是书面练习）为主．这样的方式得到了社会和家长们的广泛认可．这样的教学方式是否受同学们的欢迎？是否有效呢？1998年10月由中国青少年研究中心、北京师范大学教育系和北京出版社等单位的专家组成的“中国中小学生学习与发展课题组”在全国10所城市对10~18岁的中小学生进行了大型调查．其中有一个问题是这样设计的：
在下列11种学习方式中，即“背诵、实验、考试、参观、听讲、看电视、作业练习、去图书馆、读课外书、用电脑、与朋友聊天”中，你最喜欢及你认为最有效的学习方式分别是什么？
课题组共回收学生问卷3737份，其中有效问卷3371份，有效率达90.2%．课题组对有效问卷整理结果如下：
最喜欢的学习方式（%） 认为最有效的学习方式（%）
小学生 初中生 高中生 总计 小学生 初中生 高中生 总计
实验 19.4 31.5 24.2 25.9 11.0 18.5 18.5 17.0
用电脑 23.9 21.1 20.1 21.2 19.6 12.2 8.9 12.1
读课外书 14.6 11.3 12.1 12.3 10.8 7.0 4.4 6.6
听讲 9.5 6.9 8.7 8.3 14.0 21.3 25.7 21.9
聊天 3.6 7.6 10.7 8.2 2.2 2.5 4.0 3.1
去图书馆 8.3 5.8 5.8 6.3 8.3 4.7 3.3 4.7
看电视 4.9 5.2 6.2 5.6 0.8 1.4 1.1 1.1
作业练习 6.7 3.6 5.4 5.0 13.8 17.7 21.1 18.5
参观 3.8 2.4 4.3 3.5 2.0 0.8 0.6 0.9
考试 3.0 2.8 1.0 2.1 11.5 9.4 6.1 8.3
背诵 2.3 1.8 1.4 1.7 6.0 4.7 6.4 5.7
从表中数据可以看出：同学们最喜欢的学习方式，排在前3位的是实验（25.9%）、用电脑（21.2%）、读课外书（12.3%）；认为最有效的学习方式依次是听讲（21.9%）、作业练习（18.5%）、实验（17.0%）．
显然，同学们最喜欢的学习方式与认为最有效的学习方式之间有明显的差别，为数众多的同学还不能利用自己喜欢的学习方式来提高学习效率．差别比较大的项目主要包括听讲、作业练习、考试等．学生中表示喜欢这些学习方式的人很少，然而认为这些方式有效的人却较多．
同学们，对于上面问卷中的问题，你们会怎样回答呢？不妨面向全班同学作一次实际调查、整理、分析，并将你们调查的结果与“中国中小学生学习与发展课题组”调查的结果作出比较．
最后请思考这样一个问题：为什么同学们最喜欢的学习方式与认为最有效的学习方式不一样？
28.3在理论指导下决策（1）——考虑不同的权重
【本课学习要点】
在具体情景中理解并会计算加权平均数，并在问题情景中体会权重的意义．
【新课导入】
某校期末考试初二6个班级的数学平均成绩分别为82分、83分、67分、75分、71分、63分，在计算年级平均分时，李利民同学是这样计算的：（分）．
请问：一般情况下，李利民同学的计算方法对不对？要计算出年级平均数，你认为还需要哪些数据？在什么情况下，李利民同学的计算结果会正确呢？
【实践与探索】
例1．某小组14名同学一次英语口语测试的成绩为：1人100分，3人90分，4人80分，3人70分，2人60分，1人50分，求这个小组这次英语口语测试的平均成绩．（精确到0.1分）
分析：这14人的平均成绩应该用这14人的总成绩除以14．
解法1：（分）
答：这个小组这次英语口语测试的平均成绩为76.4分．
解法2：（分）
答：这个小组这次英语口语测试的平均成绩为76.4分．
例2．某食品公司准备招聘一名营销人员，对最后进入复试圈的甲、乙、丙三名候选人进行了综合素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩
甲 乙 丙
创 新 85 92 73
语 言 89 60 90
综合知识 72 94 89
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，该公司认为创新、语言和综合知识三个方面的重要性之比为5∶3∶2较为恰当，此时谁将被录用？
解：（1）甲三项测试的平均成绩为（分）；
乙三项测试的平均成绩为（分）；
丙三项测试的平均成绩为（分）．
因此，如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么丙将被录用．
（2）由题意知创新、语言和综合知识三个方面的权重分别是50%、30%和20%，由此可得甲、乙、丙三人的测试成绩如下：
甲的测试成绩为（分）；
乙的测试成绩为（分）；
丙的测试成绩为（分）．
因此，如果创新、语言和综合知识三个方面的重要性之比为5∶3∶2，那么甲将被录用．
回顾与反思：
（1）如果该公司将创新、语言和综合知识三项测试得分按3∶2∶5的比例确定各人的测试成绩，那么这三方面的权重是多少？这时哪一位候选人被录用呢？
（2）为什么甲、乙、丙三人三项测试得分确定后，最后的测试成绩会有不同的答案？从上面的问题及其解答中，你理解“权重”的重要了吗？
【当堂课内练习】
1．某车间一周里加工某种零件的日产量是：有2天是36件，有2天是37件，有3天是40件，问这周该车间平均日产量是多少件？
2．小明射击训练的结果如图所示，他利用所学的统计知识对自己的射击成绩进行评价，其中错误的是（ ）
A．平均数为环
B．众数为8环，打8环的频率为40%
C．中位数为8环，比平均数高0.7环
D．此题中众数、中位数与平均数都不相等
【本课课外作业】
A组
1．一名射击运动员连续射靶20次，其中5次射中10环，6次射中9环，8次射中8环，1次射中6环，则这名射击运动员平均每次射中的环数为___________．（保留1位小数）
2．小华同学统计了该班学雷锋小组的8名同学一个月内做好事分别为5件、6件、8件、15件、20件、26件、30件、34件，问：这个小组平均每人每月做好事多少件？
3．某校规定学生的体育学期成绩由三部分组成：课外活动表现占20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%，王征同学本学期这三项成绩依次是96分、86分、92分，则体育老师这学期将给王征同学体育成绩打多少分？
B组
4．某校欲招聘一名教师，对小张、小陈、小韩三名候选人进行了三项素质测试．他们的各项测试成绩如下表：
测试项目 测试成绩
小张 小陈 小韩
语言 82 70 75
计算机 70 90 80
专业知识 85 78 88
根据实际需要，学校将语言、计算机、专业知识三项测试成绩的权重定为3∶2∶4，这三人谁将被录用？
【本课学习体会】
28.3在理论指导下决策（2）——平均要买几个才能得奖
【本课学习要点】
1．会采用随机抽样的方法做实验或进行模拟实验，记录数据，求出加权平均数评判平均要买几个才能得奖．
2．会运用相关知识计算简单的中奖概率或游戏获胜的概率．
【新课导入】
同学们，你们可曾接触过体育彩票？体育彩票的返奖率为55%．换句话说，平均每销售100元，将会有55元作为奖金奖励给购买体育彩票者中的幸运者（即中奖者），而另外的45元则用于支援国家或地方的体育事业的发展及销售体育彩票的成本费用．
对于55%的返奖率这一数据，能否理解为购买平均100张体育彩票就有55张中奖呢？从你接触到的人群中了解到的信息，中奖面有这么大吗？那么，到底平均要买几张才能得奖呢？理论数据与实际数据相符吗？
如果返奖率确实为55%，而中奖面远远小于55%．请同学们讨论一下，究竟是什么原因造成的这一差异？
【实践与探索】
例1．某啤酒厂推出一种有奖销售方案：该厂在出厂的所有啤酒的瓶盖内分别印上“再”、“来”、“一”、“瓶”、“啤”、“酒”六个字中的一个（文字颜色与啤酒颜色相近，从瓶外无法看清文字），集齐分别印有这六个不同文字的六个啤酒瓶盖就可换取一瓶该品牌的啤酒．假如印有这六个文字的瓶盖个数一样多，而且每瓶啤酒的瓶盖上印有哪个文字也完全是随机的，那么，平均要买多少瓶啤酒才能中奖（奖1瓶啤酒）呢？试通过模拟实验来解决这一问题．
分析：如果幸运的话，买6瓶啤酒也许就能中奖；但也许购买50瓶、100瓶都无法中奖．那么，平均要买多少瓶啤酒才能中奖呢？请你估计一个答案，写在纸上（最后与模拟实验得到的答案作个比较，看看你的估计能力如何）．下面我们利用计算器进行模拟实验：让计算器在1~6的范围内每次产生一个随机整数，作为购买到的那瓶啤酒的瓶盖上的文字的代号（1代表“再”、2代表“来”、3代表“一”、4代表“瓶”、5代表“啤”、6代表“酒”），若“中奖”，则一次实验结束，然后进行下一次实验．记录下每次实验得到的相关数据，整理如下：
实验序列 产生的1~6范围内的随机数
第1次实验 3 4 1 5 4 4 6 5 5 4 5 3 5 3 1 2
第2次实验 3 2 3 4 1 2 5 6
第3次实验 6 1 3 6 4 1 6 4 4 4 4 5 1 4 6 5
3 3 3 2
第4次实验 6 3 6 5 6 1 1 6 4 3 3 5 6 3 2
第5次实验 4 1 6 4 5 6 4 1 2 3
第6次实验 6 4 3 4 3 1 3 3 2 3 4 4 2 6 3 5
第7次实验 1 2 3 5 4 1 2 6
第8次实验 1 2 2 4 1 6 3 4 3 2 1 5
第9次实验 1 1 6 4 5 6 2 5 5 1 4 1 4 4 1 5
1 5 4 2 4 1 2 5 6 2 2 5 4 1 3
第10次实验 2 6 2 2 2 5 3 3 1 4 1 4
因为，
所以我们可以估计大约平均要购买15瓶啤酒才能中奖．
回顾：
（1）此题如果要通过纯计算求出“平均要购买几瓶啤酒才能中奖”非常困难，同时我们也不太可能为了解出此题真的去购买啤酒，而利用计算器、通过模拟实验则相对“简单”地求出了答案．
（2）模拟实验前你估计的答案是什么？与现在求得的“大约15瓶”误差大不大？
（3）本题的解法是通过实验去估计答案，因此要注意两点：①不同的人得到的答案不一定相同，即使同一个人再进行相同次数的实验答案也不一定相同；②要想答案尽可能准确，我们可以将实验次数尽可能地增加（但也要考虑到有无必要及可能性）．因为实验次数充分大时，这个“平均数”将趋于稳定．
探索：上面的问题中若问“平均要购买几瓶啤酒才能中两次奖（即集齐2套瓶盖换2瓶啤酒）”，那么是不是简单地将“15”去乘以2从而得到30呢？答案是否定的．你估计是大于30还是小于30呢？亲自进行模拟实验试试看！也许答案会出乎你的意料．
例2．甲、乙、丙、丁四位小朋友一起做游戏：他们抛掷3枚硬币，若全部正面朝上，则甲胜；若全部反面朝上，则乙胜；若两枚正面朝上一枚反面朝上，则丙胜；若两枚反面朝上一枚正面朝上，则丁胜．将他们的获胜次数记录、统计如下表：
游戏次数 10 20 30 40 50 80 100
甲 1 3 4 5 7 11 14
乙 2 4 5 5 6 10 13
丙 4 6 10 15 18 31 38
丁 3 7 11 15 19 28 35
当比赛进行到100次时，甲、乙两人连喊“运气不好”，至此游戏结束．
（1）分别计算游戏进行到30次、50次、100次时，甲、乙、丙、丁四位小朋友的获胜率；
（2）甲、乙两人真的是运气不好吗？请你运用所学知识帮助分析他们两人获胜率低的原因．
分析：表面上看，抛掷3枚硬币，观察出现正面朝上的枚数共有四种情形，即这个游戏共有四个不同结果，好象比较“公平”．但事实上，这四个结果是“等可能”的吗？
解：（1）游戏进行到30次、50次、100次时，甲、乙、丙、丁四位小朋友的获胜率如下表所示：
游戏次数 30 50 100
甲 13.3% 14% 14%
乙 16.7% 12% 13%
丙 33.3% 36% 38%
丁 36.7% 38% 35%
（2）甲、乙两人并不真的是运气不好，而是因为这个游戏规则本身制订得并不公平．画出抛掷硬币的树状图（如图28.3.1）：
从树状图中可以看出：P（全部正面朝上）= P（全部反面朝上）=；
而P（两枚正面朝上一枚反面朝上）= P（两枚反面朝上一枚正面朝上）=．
因此，按照原来的游戏规则，甲、乙获胜的概率只有丙、丁获胜的概率的，故游戏不公平．
探索：针对上面的游戏，能否适当调整一下游戏规则，使得游戏对于四位小朋友来说做到公平？试给出两种不同的调整方案．
分析：调整方案关键在于将原规则中的不公平（获胜机会不均等）处去除，从而使得游戏公平．例如以下两种方案：
①实行积分制．甲获胜1次积3分，乙获胜1次积3分，丙获胜1次积1分，丁获胜1次积1分．这样到比赛结束看积分高低定胜负．
②甲与丙合作，乙与丁合作，即4位小朋友分成两个小组进行对抗比赛．按照原先的游戏规则比赛也能保证游戏公平．
回顾与反思：
（1）游戏是否公平有时存在一定的隐蔽性，需要我们运用相关数学知识去分析、评判．而画树状图的关键则在于列出所有等可能出现的事件，从而确定各种结果出现的机会．
（2）有了以上的知识储备，现在，你对街头小巷的一些所谓的“公平游戏”会作如何评价？
【当堂课内练习】
某商场春节期间进行有奖销售，规定每购买满50元商品可得刮刮卡一张，每张刮刮卡上印有“萬”、“事”、“如”、“意”四个字中的一个字，集齐分别印有“萬”、“事”、“如”、“意”四个字的四张刮刮卡即中奖——换取一张价值20元的购物券或领取一份价值20元的礼品包．假如印有“萬”、“事”、“如”、“意”的刮刮卡的张数一样多，而且每张刮刮卡上印有哪个字也完全是随机的，那么，平均要买满多少元商品才能中奖呢？试通过模拟实验来解决这一问题．
【本课课外作业】
A组
1．某电视台综艺节目接到参与节目的热线电话及短信共3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，王蕾同学发了一条短信，那么她成为“幸运观众”的概率为__________．
2．将一副中国象棋的全部棋子装入一纸箱中，将纸箱封好后在其一个面上挖一方形孔，让此孔刚好能通过一枚棋子．小孔朝下，摇动纸箱，使从小孔中掉出一枚棋子．
（1）掉出的棋子是红“车”的概率是______________；
（2）掉出的棋子是“马”的概率是______________；
（3）掉出的棋子是“兵”或“卒”的概率是______________；
（4）掉出的棋子不是“车”、“马”、“炮”的概率是____________；
（5）请通过具体实验操作得出上述事件发生的可能性有多大，然后与你上面所填的概率结果作出比较，如果不相同，是不是“计算”与“实验”中一定有一项存在问题？
B组
3．有一种体育彩票，开奖号码为0000000~9999999之间的七位随机数（注：首位可以是0）．若你购买到的号码恰好为开奖号码，则中特等奖；若你购买到的号码中连续6位与开奖号码对应相同（而且必须是相同数位，以下要求相同），则中一等奖；连续5位与开奖号码对应相同，则中二等奖；连续4位与开奖号码对应相同，则中三等奖；连续3位与开奖号码对应相同，则中四等奖；连续2位与开奖号码对应相同，则中五等奖．例如：若开奖号码为6579004，而你购买的号码为0079014，由于第3、4、5位号码相同，即连续3位与开奖号码对应相同，因此你中了四等奖．
（1）购买一张体育彩票中奖（等次不限）的机会大约有多大？
（2）试通过模拟实验求出平均要买多少张体育彩票才能中奖？
【本课学习体会】
28.3在理论指导下决策（3）——考试分数说明了什么
【本课学习要点】
1．通过对考试分数的分析，学会正确看待考试成绩，并初步了解如何评价试题的难度．
2．通过解决实际生活中的问题，培养学生对知识的应用意识和应用能力，进一步感受频数、频率、抽样、统计图表、平均数、标准差等统计与概率的知识是来源于实践并应用于实践的．
【新课导入】
张伟同学期中考试数学得了91分，语文得了84分．能不能由此得出这样的结论：张伟同学的数学成绩比语文成绩要好？显然，这个结论不一定正确．你能说出其原因吗？
成绩的高低与试卷的难易程度关联很大．因此，我们面对自己的考试分数应作横向比较，这样才能得出较准确的结论．例如，在上面的例子中，若期中考试班级数学平均分为92分，而语文平均分为75分，则相比之下张伟同学语文成绩比数学成绩要好．
【实践与探索】
例1．无锡市教研中心为了统计2004年初三学生参加江苏省初中数学竞赛的成绩．从所有参赛学生中随机抽取了一部分学生的竞赛成绩（均为整数），并将所有抽取到的数据整理后分成五组，绘制出频数分布直方图，如图28.3.2所示．已知统计图中从左到右第一组和第五组的频率分别是0.1和0.05，第三个小长方形的高是第四个小长方形的高的2倍，第四个小长方形的高是第五个小长方形的高的3倍，第二组的频数是40．
请根据要求填空：
（1）第二组的频率为__________；
（2）抽取的学生数为__________；
（3）所抽取的学生的成绩的众数一定落在第二组内吗？为什么？
（4）若这次数学竞赛得奖率（含一、二、三等奖）为10%，则你估计评奖时所确定的最低分数线落在哪个分数段内？
分析：由于所抽取的所有数据都在49.5~69.5，69.5~89.5，89.5~109.5，109.5~129.5，129.5~149.5这五组内，因此这五组的频率之和为1．
解：（1）由题意知：第一、三、四、五组的频率分别为0.1、0.3、0.15、0.05，因此第二组的频率为；
（2）（人）；
（3）尽管第二组的频率最大，但所抽取的学生的成绩的众数却不一定落在第二组内．因为频数40表示的是处于69.5~89.5的各分数的人数之和，并不是得某一个分数的人数．
（4）抽样数据显示：130分以上（含130分）占5%，110分以上（含110分）占20%，而获奖率为10%，因此由样本可估计总体情况为：评奖时所确定的最低分数线落在109.5~129.5内．
探索：
（1）例1中所抽取的100名学生的竞赛成绩的中位数一定为89.5分吗？同学们，讨论一下，看看谁说得有理．
（2）从该统计图上所反映的成绩情况看，请你估计：109.5~119.5和119.5~129.5这两个分数段中哪个分数段的人数多？
例2．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，全班50名同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 答辩情况得分表 表2 民主测评票数统计表
A B C D E “好”票数 “较好”票数 “一般”票数
甲 90 92 94 95 88 甲 40 7 3
乙 89 86 87 94 91 乙 42 4 4
规定：
演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分=“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分；
综合得分=演讲答辩得分×（1－a）＋民主测评得分×a （其中0.5≤a≤0.8）．
（1）当时，甲的综合得分是多少？
（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？
分析：这是一个很常见的应用问题．评委打分经常采用“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法；而综合得分的计算公式中0.5≤a≤0.8则充分体现了“以生为本”的思想，真正体现了民主，让学生选出自己信得过的班长．
解：（1）甲的演讲得分＝＝92（分），
甲的民主测评得分＝40×2＋7×1 +3×0＝87（分），
当时，甲的综合得分＝92×（1－0.6）＋87×0.6＝89（分）．
（2）∵ 乙的演讲得分＝＝89（分），
乙的民主测评得分＝42×2＋4×1 +4×0＝88（分）
∴ 甲的综合得分＝，
乙的综合得分＝．
当时，，
当时，，
又∵ 0.5≤a≤0.8
∴ 当0.5≤a<0.75时，甲的综合得分高；当0.75说明：从例2可以看出，权重直接影响着最后的综合得分．因此，在具体操作时，一定要先确定权重，即相关规定应制订在竞选之前，这样才真正体现公正、公平、公开．
探索：某车间为了改善管理松散情况，准备采用每天任务定额、超产有奖的措施，以提高工作效率．下面是该车间15名工人过去一天中各自装配机器的数量（单位：台）：
6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，13，15，15，16
你认为管理者应从众数、中位数、平均数中选取哪个量确定为每人标准日产量最好？（注意：既要考虑到能促进工作效率的提高，又要不挫伤工人工作积极性．）
分析：上面15个数据中，众数为8，平均数为10.07，中位数为9．管理者如规定众数8为标准日产量，则绝大多数工人不需努力就可完成任务，不利于促进生产；如果规定平均数为标准日产量，
一、教学目标?
(一)知识目标?
1.进一步了解证明的含义，理解证明的必要性.?
2.掌握证明的书写格式.?
(二)能力目标?
培养学生的观察能力、理解能力、抽象思维能力以及应用所学公理、定理、定义进行逻辑推理的能力，提高演绎推理的能力.?
(三)情感目标?
培养学生体会数学图形的美感，进而提高学生学习几何的兴趣；培养学生勇于探索创新的精神；培养学生的辩证唯物主义思想.
二、教学重点?
1.逻辑推理的原始依据.?
2.“三角形内角和等于180°”的证明过程.
三、教学难点?
证明的逻辑推理书写格式；逻辑推理的严密性.
四、教学方法?
启发式，自主探究，合作研讨.
五、教学过程?
(一)知识回顾?
师：在以前我们学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，我们采用了哪些研讨方法 ?
生：……(尽可能多让几个同学回答)?
师：(归纳总结)我们采用了看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜等方法.这些方法都是直观感知、操作说理，通过师生共同探索，得出各种图形的一些属性，然后探索得到这些图形的属性，利用这些属性作为依据进行了一两步的说理.?
(二)交流与争鸣?
师：以前这些认识图形性质的方法是否具有严密性 ?
生：……(各自发表自己的看法).?
师：从这一章开始我们就要学习用严格的逻辑推理的方法去探索几何图形所具有的性质.?
(三)新课学习(逻辑推理方法)?
1.问题情境.?
如图，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF,连结CE和AF，试说明AFCE是平行四边形.?
师：谁能说明AFCE是平行四边形 (尽可能用多种方法).?
生：……(众说纷纭，有的说可得AE∥CF且AE=CF，也有的说可得AE∥CF?，AF∥CE，还有的说AE=CF,AF=CE等)?
师：很好.现在我们选取一种方法来说明.?
解：因为已知ABCD是平行四边形，所以
AD∥CB (平行四边形对边平行)，
即 AE∥CF. ?
又因为 AE=CF (已知)，
所以AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)?
这个题的说明中就运用了逻辑推理，逻辑推理方法是研究几何性质的另一种很重要的方法.请同学们再举一些用逻辑推理方法探索图形的性质.?
生：……(如：内错角相等两直线平行等等)?
2.逻辑推理的依据(最原始的依据).?
逻辑推理需要依据，我们学过的作为逻辑推理最原始的依据有如下公理：?
(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等.?
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.? (3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别对应相等，那么这两个三角形全等.?
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.?
事实上我们还将等式的性质、不等式的性质以及等量代换作为推理的依据.另外也将“经过两点有且只有一条直线”以及“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”作为推理的依据.今后我们就利用这些公理作为依据，用逻辑推理的方法去证明图形的有关命题，用推理方法得到的性质才是严密的.?
3.怎样进行逻辑推理 ?
师：你是怎样知道三角形的内角和是180°的呢 ?
生：(1)任意画一个三角形，量出它的三个内角，然后计算出三个内角的和为180°；(2)用拼图的方法.
师：用测量的方法能保证每次画出的三角形三个内角正好等于180°吗 用观察拼图的方法能保证三个内角拼成的一定是平角吗 (仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性)下面我们用逻辑推理的方法来证明这个命题.?
已知：△ABC.?
求证：∠A+∠B+∠C=180°.?
分析：我们知道一个平角是180°，那么三角形三个内角是否可以转化到一个平角上呢 若能，问题就得到解决.?
证明：如图，延长AB到D，过B作BE∥AC.?
因为 BE∥AC (画图)，
所以 ∠A=∠1 (两直线平行，同位角相等)，
∠C=∠2 (两直线平行，内错角相等).?
又因为 ∠1+∠2+∠ABC=180° (平角的定义)，
所以 ∠A+∠ABC+∠C=180° (等量代换).?
师：请同学们探索，还能用其他证明方法吗 ?
生：可过任一顶点作对边的平行线.?
4.n边形的内角和公式(n-2)×180°.?
师：同学们回忆以前是怎样证明的呢 ?
生：(合作讨论)通过连结n边形一个顶点的所有对角线，将n边形分成(n-2)个三角形，再利用三角形的内角和为180°，就可得出n边形的内角和为(n-2)×180°.?
(四)例题讲解?
求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.?
已知：∠CBD是△ABC的一个外角.?
求证：∠CBD=∠A+∠C.?
证明：(见教材第33页)?
(五)课堂练习?
教材第33页练习第1、2、3题，同步练习册第16页第1、2、3、4题.?
(六)课堂小结?
让学生小结本节课的主要内容?
(七)课外作业?
教材第33页习题27.1第1、2、3、4题.
§27.2 用推理方法研究三角形(1)
一、教学目标?
(一)知识目标?
1.用逻辑推理的方法进一步认识等腰三角形的判定定理、性质定理以及“等腰三角形三线合一”.?
2.掌握直角三角形全等特有的判定方法(H.L.)?
(二)能力目标?
培养学生进行逻辑推理、提高演绎推理能力、抽象思维能力.?
(三)情感目标?
1.培养学生体会等腰三角形的对称美感.?
2.培养学生的辩证唯物主义思想及勇于自主探索的精神.
二、教学重点?
1.等腰三角形的判定定理、性质定理以及“等腰三角形三线合一”.?
2.直角三角形全等特有的判定方法(H.L.)的证明.
三、教学难点?
1.等腰三角形判定定理的证明过程.?
2.(H.L.)定理的证明过程以及运用.
四、学法引导?
1.让学生动手操作，直观感知，自主探索等腰三角形的判定定理、性质定理、“三线合一”.?
2.通过猜想、验证、讨论、交流，用逻辑推理证明直角三角形的(H.L.)定理.
五、教具?
多媒体.
六、教学过程?
(一)复习旧知、创设问题情境?
师：什么样的三角形叫等腰三角形 ?
生：有两条边相等的三角形叫等腰三角形.?
师：怎样去识别一个三角形是不是等腰三角形 ?
生：两条边相等或两个角相等.?
师：为什么两个角相等也可以识别这个三角形是等腰三角形的呢 我们一起探究一下.?
(二)操作、探索?
1.证明等腰三角形的判定方法.?
引导学生画一个有两个角相等的三角形.看是否有两条边相等，采用什么方法来判断 组织学生讨论交流，多媒体动态展示重合过程.引导学生归纳得出：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边” ).?
师：为什么对折后能重合呢 下面我们用逻辑推理的方法来证明它?.?
已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.?
求证：AB=AC.?
分析：要证明AB=AC.我们知道全等三角形是证明边相等的重要手段，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到画∠BAC的平分线AD.?
证明：画∠BAC的平分线AD.?
(以下让学生们自己完成证明)?
师：(1)若将辅助线(顶角的平分线)换成底边上的高，可以证明两个三角形全等吗 (能)?
(2)若将辅助线换成底边上的中线，可以证明两个三角形全等吗 (不能)?
(让学生合作交流、共同探索后作答)?
2.证明等腰三角形的性质定理.?
师：同学们回忆一下等腰三角形的底角如何 怎样证明呢 ?
生：相等，根据“等边对等角”.?
师生共同探究证明方法.?
已知：如图，△ABC中，AB=AC.?
求证：∠B=∠C.?
分析：可添加顶角的角平分线或底边中线证明两个三角形全等.?
(让学生自己完成证明)?
师：添加高能证明全等吗 (不能，这时没学(H.L.)判别法)?
3.什么是等腰三角形的“三线合一” ?
师：通过多媒体展示让学生得出：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(简称“等腰三角形三线合一”)?
(三)巩固练习?
1.若△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC是怎样的三角形 为什么 ?
2.如图，∠DAC=80°，∠B=40°.证明△ABC是等腰三角形.?
3.如图，△ABC是等腰三角形，BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BE、CD交于O.求证：△OBC是等腰三角形.?
(四)探索(H.L.)定理的证明方法?
师：对一般三角形能用(S.S.A)判定两个三角形全等吗 为什么
生：不能.如图示的两个三角形不全等.?
师：在两个直角三角形中，我们曾经通过画图、比较，发现：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.怎样用逻辑推理来证明这个定理呢 ?
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.?
求证：△ABC≌△A′B′C′.?
分析：通过运动(用多媒体展示)把△ABC和△A′B′C′拼在一起，使学生找到证明的途径，在解答几何问题时，通过图形的运动往往找得到证明的突破口.? 证明：把△ABC和△A′B′C′拼在一起.?
因为 ∠A′C′B′=∠ACB=90° (已知)，
所以 ∠A′C′B′=180° (等式的性质)，
即点B′、C′、B在同一条直线上.?
在△A′B′B中，因为
A′B′=AB (已知)，
所以 ∠B=∠B′ (等边对等角).?
在△ABC和△A′B′C′中，因为
∠ACB=∠A′C′B′ (已知)，
∠B=∠B′ (已证)，
AB=A′B′ (已知)，
所以 △ABC≌△A′B′C′ (A.A.S).?
师：谁能归纳直角三角形全等的所有证法 ?
(五)课堂练习?
1.有两条边分别对应相等的两个直角三角形一定全等吗 ?
（不一定.如：不全等）?
2.如图，若AB=AC,AD⊥BC，则BD=_______，∠BAC=_______.?
3.教材第37页练习第1、2题.?
(六)课堂小结?
通过以上学习，你学到了什么 ?
(七)作业?
教材第44页习题27.2第1、2题，练习册第17～18页第3、4、5题.
§27.2 用推理方法研究三角形(2)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”以及定理“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.?
(二)能力目标?
培养学生的逻辑思维及推理能力.?
(三)情感价值观?
1.让学生体验几何图形的美.?
2.渗透数学源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点.
二、教学重点?
两个定理的证明过程.
三、教学难点?
1.对“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”这个定理的理解. 2.运用定理解决实际问题.
四、教学方法?
改变接受学习，倡导学生主动参与，提高学生的实践能力与合作交流能力.五、教学过程?
(一)知识回顾?
1.角平分线的概念是什么 ?
2.全等三角形的判定方法有哪些 ?
3.什么是斜边、直角边定理 ?
(二)新知探索?
1.探索角平分线性质定理的证明方法.?
师：请同学们都在半透明纸上任意画一个角∠AOB,并找出它的对称轴.?
生：(体验几何图形的美感)?
师：在角平分线上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，沿角平分线对折，在半透明的纸上观察，PD与PE怎样 ?
生：重合，长度一样.?
师：对，我们怎样用逻辑推理的方法来证明他们相等呢 ?
生：用三角形全等.?
师：对.现在我们一起来探究怎样用三角形全等来证明PD=PE ?
已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC上任意一点PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E分别为垂足.?
求证：PD=PE.?
分析：图中两个直角三角形(△POD和△POE)有什么关系
师：请两位同学在黑板上写出证明过程，其余学生自己完成，最后老师点评.? 归纳：(让学生自己归纳)?
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.?
2.上面定理反过来成立吗
如图，如果PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，那么P在什么位置呢 ?
学生自主探索，合作交流，归纳得出P点在这个角的平分线上.?
师：怎样通过逻辑推理来证明它呢 ?
分析：要证明P点在∠AOB的平分线上，可以画射线OP，利用(H.L.)定理证明Rt△POD≌Rt△POE，从而得到
∠AOP=∠BOP.?
证明过程同学们自己写出来.?
师：于是就有：?
定理 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.?
3.三角形的内心.?
师：请同学们自主探索三角形的三条角平分线是否交于一点 为什么 ?
如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，AD、BE交于O.?
求证：O在∠ACB的平分线上.?
证明：过O作OG⊥BC，OH⊥AC，OI⊥AB.?
因为BE平分∠ABC，所以
OG=OI.?
同理可证 OI=OH.
所以 OG=OH，
所以O点在∠ACB的平分线上，即△ABC的三条角平分线交于一点O(这点叫内心).
(三)课堂练习?
1.如图，已知四边形ABCD，求作一点P，使得P点到AB、AD、DC的距离相等.?
2.教材第39页练习第1、2题.?
(四)小结?
由学生自己来归纳这节课的内容.?
(五)作业?
教材第44～45页习题27.2第3、5题，同步练习册第19～20页第3、4、5题.
§27.2 用推理方法研究三角形(3)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握定理“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”以及定理“到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”.? (二)能力目标?
培养学生的逻辑推理能力，运用所学知识解决实际问题的能力.?
(三)德育目标?
1.让学生感受几何图形的美.?
2.渗透辩证唯物主义思想，培养学生勇于探索的思想.
二、教学重点?
关于线段垂直平分线的两个定理及其证明.
三、教学难点?
1.定理“到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的证明.?
2.运用定理解决实际问题.
四、教学理念?
1.学生是学习的主体，教师只是引导者、合作者.?
2.在实践过程中培养学生的观察能力，逻辑推理能力.
五、教学过程?
(一)知识回顾?
1.线段垂直平分线的概念.?
2.全等三角形的判定方法：(S.A.S.)，(A.S.A.)，(A.A.S.)，(S.S.S.)，(H.L.).? 3.等腰三角形的有关定理：等边对等角，等角对等边.?
(二)探索并证明新知?
师：请每个同学取教材第95页的方格纸，画线段AB并找出它的对称轴.?
生：(自主探索)?
师：通过实际操作，我们知道线段的垂直平分线是线段的一条对称轴.那么在线段垂直平分线上任取一点M，连结MA与MB，它们相等吗 ?
生：因为对折后MA与MB重合，所以相等.?
师：请用语言描述MA=MB这个结论.?
经过学生的合作交流来完成.?
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.?
师：下面我们用逻辑推理的方法来证明它.?
已知：CD⊥AB，垂足是N，AN=BN,M是直线CD上任意一点.?
求证：AM=BM.?
分析：易证△AMN≌△BMN(S.A.S.).得到AM=BM.证明过程由学生自己完成.? 师：如果将上面定理反过来能成立吗 ?
学生自主探索.?
师：(归纳学生结论)到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.下面我们来证明它.?
已知：如图，QA=QB.?
求证：Q在线段AB的垂直平分线上.?
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q画线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为C，连结QC，然后证明QC垂直于线段AB.学生们可任选一种方法证明.?
生：……?
师：注意我们前面学的两个定理的不同.?
(三)三角形的外心?
师：请同学们任画一个三角形，并作出三条边的垂直平分线，你有什么发现 ? 生：交于一点.?
师：为什么呢 请你们证明.?
分析：如图，要证明三条垂直平分线交于O点，只需证明其中两条如m和l相交于O，再证明O在第三条垂直平分线n上.(让学生自己证)?
(四)课堂练习?
教材第41页第1、2、3题.?
(五)小结?
本节课后你有何收获和体会 还有何疑问 若有学生提问，则可鼓励其他学生解决或老师解决.?
(六)作业?
教材第44页习题27.2第4题，练习册第21～22页第1、2、3、4、5题.
§27.2 用推理方法研究三角形(4)
一、教学目标?
(一)知识目标?
通过学习让学生理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.理解勾股定理与它的逆定理.?
(二)能力目标?
培养学生观察、类比、归纳能力.?
(三)德育目标?
培养学生的辩证唯物主义思想及勇于探索的精神.
二、教学重点?
1.逆命题、逆定理的概念，判断逆命题的真假.?
2.勾股定理的逆定理及应用.
三、教学难点?
1.写出一个命题的逆命题.?
2.勾股定理的逆定理的证明方法(构造法).
四、教学过程?
(一)知识回顾?
什么是命题 什么是命题的题设和结论 什么是真命题、假命题 勾股定理的内容是什么 ?
(二)旧知迁移、导入新知?
师：看下列各对命题，它们有何不同 有何联系 (注意让学生观察题设与结论的变化)?
(1)“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”.?
(2)“线段垂直平分线上的点，到这条线段的两个端点的距离相等”和“到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上” .
(3)“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”和“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.?
生：(互动交流、自主探索，观察类比)?
归纳得出逆命题的概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.?
(三)巩固练习?
命题：“两直线平行，内错角相等”.?
题设为_________________________________________.?
结论为_________________________________________.?
它的逆命题为___________________________________.?
师：是否每一个命题都有逆命题 你掌握了得出逆命题的方法了吗 ?
生：有，只要将原命题的题设部分改为结论，并将原命题结论部分改为题设，便可得到逆命题.?
师：原命题和逆命题都是真命题吗 举例说明.(尽可能让学生多举几个例子)? 生：自主实践探索得到结果.?
师：(归纳)如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.?
(四)课堂练习?
教材第43页练习1、2题.?
(五)勾股定理?
师：回忆勾股定理的内容并写出它的逆命题.?
生：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.逆命题：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.?
师：现在我们证明这个逆命题的正确性.?
已知：△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,且a+b=c.?
求证：△ABC是直角三角形.?
分析：如图，首先构造一个直角三角形A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=a,C′A′=b，根据勾股定理得A′B′==c.那么△ABC≌△A′B′C′(S.S.S.).从而得到△ABC是直角三角形.证明过程由学生自己完成.这个定理叫勾股定理的逆定理.
(六)课堂练习?
1.教材第43页中的做一做.?
2.教材第44页练习第3、4、5题，第45页习题27.2第6题.?
(七)小结?
学生小结逆命题、逆定理的概念，勾股定理、勾股定理的逆定理.利用勾股定理的逆定理可以判定符合条件的三边能构成直角三角形，并得出哪个角是直角.? (八)作业?
同步练习册第23～24页第1～6题.
§27.3 用推理方法研究四边形(1)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握平行四边形的判定定理和性质定理.?
(二)能力目标?
1.培养学生的观察、分析、合理选用判定定理、性质定理的能力.?
2.培养学生的逻辑推理能力.?
(三)情感价值观?
1.让学生体验平行四边形的中心对称美.?
2.培养学生的辩证唯物主义思想及勇于探索的精神.
二、教学重点?
平行四边形的判定定理和性质定理.
三、教学难点?
合理选用平行四边形的判定定理、性质定理进行解题.
四、教学方法?
自主探索、互动交流.
五、教学过程?
(一)回顾旧知识，导入新知识?
1.平行四边形的概念，全等三角形的判定方法.?
2.平行四边形的判定方法.(当一个学生回答不完整时，可几个学生交流后补充)?
师：引导学生按边的关系，角的关系及对角线的关系分类.?
(1)按边的关系：?
判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.?
判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.?
(2)按角的关系：?
判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.?
(3)按对角线的关系：?
判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形.?
这四个判定定理都可以用逻辑推理的方法来证明它们的正确性.下面我们证明判定定理1.
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.?
求证：ABCD是平行四边形.?
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，目前只能用平行四边形的定义来证明，即设想只要证明另一组对边平行就可，因此，可以连结其中一条对角线，利用全等三角形对应角相等得出内错角相等，就能证到另一组对边平行.?
证明：连结AC.?
(以下学生自己完成)?
判定定理2、判定定理3、判定定理4可请学生口述证明方法.注意引导学生根据已知条件的特点，正确合理地使用全等三角形证明，或用四边形的内角和与两对角分别相等直接得出同旁内角互补两直线平行(判定定理3).?
注意：今后有些问题如果可用平行四边形的知识来证明，那么不一定再退回到用三角形全等来证明.?
(二)平行四边形的性质?
师：引导学生按边的关系、角的关系以及对角线的关系分类.?
(1)按边的关系：?
平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等.?
(2)按角的关系：?
平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等.?
(3)按对角线的关系：?
平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分.?
这三个性质定理都可以用逻辑推理的方法证明.下面证明性质定理1.?
已知：如图，平行四边形ABCD.?
求证：AB=CD，BC=DA.?
分析：连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，易证两个三角形全等，然后利用全等三角形对应边相等得出结论.?
证明过程由学生自主完成.其余两个也可用全等三角形证出.可让学生回述证明.?
注意引导学生根据已知条件的特点，正确合理地使用判定定理和性质定理，可以用平行四边形知识的证明题，不要再退回到用三角形全等的知识来证，请看下面例题.?
(三)例题讲授?
例1 如图，ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF.求证：BF∥DE.?
分析：要证BF∥DE，可证四边形EBFD是平行四边形，而已知中有AE=CF，利用ABCD是平行四边形易证
EB∥DF且EB=DF.?
证明：因为ABCD是平行四边形(已知)，
所以 AB∥CD (平行四边形对边平行)，
AB=CD (平行四边形对边相等).?
又因为 AE=CF (已知).
所以 AB-AE=CD-CF (等式性质)，
即 BE=DF.?
又 BE∥DF，
所以EBFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
所以 BF∥DE.?
(四)课堂练习?
教材第48页练习第1、2、3题.?
(五)小结?
引导学生回忆平行四边形的判定定理和性质定理.?
(六)作业?
教材第57页习题27.3第1、2题，同步练习册第25～26页第1～5题.
§27.3 用推理方法研究四边形(2)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握矩形、菱形的判定定理、性质定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.?
(二)能力目标?
1.培养学生观察、分析、合理选用判定定理、性质定理的能力.?
2.培养学生的逻辑推理能力.?
(三)情感目标?
1.让学生感受矩形、菱形的几何对称美.提高学生对数学学习的兴趣.?
2.培养学生的辩证唯物主义思想及勇于探索的精神.
二、教学重点?
矩形、菱形的判定定理、性质定理.
三、教学难点?
合理选择矩形、菱形的判定定理、性质定理进行解题.
四、教学手段?
倡导学生主动参与、合作交流，共同探索.
五、教具?
一个可变动边长和角的平行四边形.(一般学校都有，条件好的学校可用多媒体教学)
六、教学过程?
(一)回顾旧知识、导入新知识?
师：同学们回忆矩形、菱形的概念，平行四边形的判定与性质.?
生：……?
师：我们知道矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此在平行四边形基础上增加一定的条件就可得到它们.?
(二)新课?
1.矩形的判定定理.?
师：用教具展示，学生注意观察.?
生：有一个角是90°的平行四边形是矩形.?
师：如果一个四边形有三个角是直角，那么这个四边形是矩形吗 ?
学生互助、交流后得出结果.?
师：这就是我们判定矩形的方法.?
2.菱形的判定定理.?
师：用教具展示.(学生认真观察后总结，注意与矩形判定的类比)?
?
生：邻边相等的平行四边形是菱形.?
师：如果一个四边形四边相等，那么它是菱形吗 ?
生：是.?
师：这就是我们判定菱形的方法.?
3.矩形的性质定理.?
师：我们知道矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此它们都具有平行四边形的性质.而且还具有一些特殊的性质，都有哪些特殊性质呢 先看矩形.(注意引导学生观察)?
(1)按边观察：无特殊性质.?
(2)按角观察：四个角都是直角(由定义得出).?
(3)按对角线观察：对角线相等.?
师：我们现在证明为什么矩形的对角线相等.?
已知：如图，ABCD是矩形.?
求证：AC=BD.?
分析：易证△ABC≌△DCB(S.A.S)，得出AC=BD.?
请同学们自己完成.?
4.直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.?
师：由矩形性质得 AC=BD.?
由平行四边形得 OA=OC,OB=OD.?
所以BO是直角三角形ABC斜边上的中线.?
因为 BO=BD，
所以 BO=AC.?
5.菱形的性质定理.(注意与矩形类比)?
(1)按边观察：四边相等(由定义得出).?
(2)按角观察：对角相等(平行四边形性质得出).?
(3)对角线观察：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.已知：如图，ABCD是菱形.?
求证：AC⊥BD，AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA.? 分析：要证AC⊥BD，AC平分∠DAC，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD.?
证明：设对角线AC、BD交于O.因为ABCD是菱形，所以
AB=AD(菱形四边相等)，
即△ABD是等腰三角形.?
又 BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)，
所以AC⊥BD，AC平分∠DAB(等腰三角形的三线合一).?
同理可证，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA.?
(三)探索创新?
师生互动、探究.?
师：根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形或菱形呢 (用教具展示，学生观察)?
?
通过学生观察对角线变化对图形产生的影响，从而加深记忆与理解.?
(四)课堂练习?
教材第50页第1、2、3题.?
(五)小结?
学生自己小结矩形、菱形的判定和性质.?
(六)作业?
教材第57页习题27.3第3、4、5题.
§27.3 用推理方法研究四边形(3)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握正方形的判定定理、性质定理.?
(二)能力目标?
培养学生观察能力、逻辑推理能力.?
(三)德育目标?
1.感受四边形中最完美的正方形的图形美.?
2.培养学生的辩证唯物主义思想，勇于探索的精神.
二、教学重点?
正方形的判定定理、性质定理.
三、教学难点?
合理选用正方形的判定定理，证明一个四边形是正方形.?
四、教学方法?
自主探索、合作交流.
五、教具?
一个可变动边长和角的平行四边形.
六、教学过程?
(一)回顾旧知识，引入新知识?
1.平行四边形、矩形、菱形的判定定理、性质定理.?
2.正方形的概念(既是矩形又是菱形).?
师：下面我们学习正方形的有关知识.?
(二)新课?
1.正方形的判定定理.?
师：用教具展示，学生认真观察后总结.?
(1)?
(2)?
(3)探索：对角线_________、________、________的四边形是正方形.?
2.正方形的性质定理.?
师：因为正方形既是矩形，又是菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质.(引导学生观察).?
(1)按边观察：四边相等.?
(2)按角观察：四个角都是90°.?
(3)按对角线观察：相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.?
(三)例题讲解?
例2 已知：如图，ABCD是正方形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.?
求证：四边形EFGH是正方形.?
分析：要证四边形EFGH是正方形，可先证四边形EFGH是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可先证EFGH为菱形，然后再证有一个角是直角.?
师：同学们用第二种方法证明.?
证明：因为ABCD是正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD中点.则
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AE=EB=BF=FC=CG=DG=DH=AH，
所以 △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
HE=EF=FG=HG，
所以EFGH是菱形.?
又△AEH、△BFE是等腰直角三角形，则
∠AEH=∠BEF=45°，
所以 ∠HEF=90°，
所以EFGH是正方形.?
(四)巩固练习?
已知：如图，ABCD是正方形，AC、BD交于O点，E是OB上任一点，连结AE，过D作DF⊥AE，垂足为F，DF交OA于H.?
求证：DH=AE.?
分析：要证DH=AE，只需证△DOH≌△AOE.?
(先让学生自主完成证明，抽学生在黑板上完成，最后老师点评)?
证明：因为ABCD是正方形，AC、BD交于O，则
∠AOD=∠AOE=90°，
OD=OA，
所以 ∠2=90°-∠3.?
又因为 DF⊥AE，
所以 ∠1=90°-∠3，
∠1=∠2，
所以 △DHO≌△AEO(A.A.S)，
所以 DH=AE.?
(五)课堂练习?
教材第51页第1、2题.?
(六)小结?
通过这节课的学习，你是否对正方形有了更深的认识 你知道正方形的性质和判定吗 ?
(七)作业?
同步练习册.第29～30页第1～6题.
§27.3 用推理方法研究四边形(4)
一、教学目标?
(一)知识目标?
掌握等腰梯形的判定定理、性质定理.?
(二)能力目标?
1.培养学生的转化能力.?
2.培养学生的逻辑推理能力.?
(三)德育目标?
1.让学生感受等腰梯形的对称美.?
2.培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，培养合作的意识及严谨的治学精神.
二、教学重点?
等腰梯形的性质定理、判定定理.
三、教学难点?
通过平移腰或对角线，将等腰梯形分解成平行四边形和等腰三角形的转化思想.
四、教学过程?
(一)回顾旧知识、导入新知识?
1.平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质.?
2.等腰梯形的概念.?
(二)新课?
1.等腰梯形的性质定理.?
(1)师：请同学们认真观察左图，等腰梯形的同一底上的两个内角有什么关系 ?
生：相等.?
师：为什么会相等呢 ?
生：可沿对称轴对折后重合，所以相等.?
师：对，下面我们用逻辑推理来证明它.?
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC.?
求证：∠ABC=∠DCB,∠BAD=∠CDA.?
分析：可通过平移腰将等腰梯形转化为平行四边形和等腰三角形，再来证得结论.
证明：过D作DE∥AB，交BC于E，因为
AD∥BC，
所以ABED是平行四边形.?
所以 AB=DE.?
又因为 AB=DC，
则 DE=DC,
所以△DEC是等腰三角形,可得?
∠DEC=∠C.?
因为 DE∥AB，
所以 ∠ABC=∠DEC(两直线平行同位角相等)，
所以 ∠ABC=∠DCB.?
同理可证：∠BAD=∠CDA.?
(2)师：我们再来探究等腰梯形的两条对角线的大小关系是怎样的 ?
生：相等.?
师：我们用逻辑推理来证明.?
已知：如图，ABCD是等腰梯形.?
求证：AC=BD.?
分析：可通过平移对角线将等腰梯形转化成平行四边形和等腰梯形，再利用有关知识证得结论.?
证明：过D作DE∥AC，交BC延长线于E.(以下学生自己完成)?
2.等腰梯形的判定定理.?
(1)师生共同探索得出：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.?
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C.?
求证：ABCD是等腰梯形.?
证明：过D作DE∥AB，交BC于E，则
∠B=∠DEC.?
因为 ∠B=∠C，
所以 ∠DEC=∠C.?
所以 DE=DC.?
又因为 AD∥BC，DE∥AB.
所以ABED是平行四边形，有
AB=DE，
故 AB=DC.
即ABCD是等腰梯形.?
(2)探索对角线相等的梯形是等腰梯形.?
已知：如图，在梯形ABCD中.AC=BD.?
求证：ABCD是等腰梯形.?
证明：过D作DE∥AC，交BC延长线于E.(由学生完成证明)?
(三)课堂练习?
教材第53页练习第1、2、3题.?
(四)小结?
由学生小结本节内容.?
(五)作业?
同步练习册第31页第1、4、5题.
§27.3 用推理方法研究四边形(5)
一、教学目标?
(一)知识目标?
通过学习掌握三角形中位线定理和梯形中位线定理.?
(二)能力目标?
培养学生的逻辑推理能力.?
(三)德育目标?
培养学生的探索精神和逻辑推理能力.
二、教学重点?
三角形中位线定理和梯形中位线定理内容.
三、教学难点?
三角形中位线定理和梯形中位线定理的证明过程.
四、教学方法?
启发式，讨论式，探究式.
五、教学过程?
(一)复习旧知识?
师：谁能说出平行四边形的性质、判定定理 ?
生：……?
师：全等三角形的判定方法有哪些 ?
(二)新课?
1.三角形中位线的概念.?
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.?
2.三角形中位线定理.?
探索：同学们任画一个三角形ABC取两边中点D、E，连结DE.判断DE与BC的位置关系，猜想DE与BC的大小关系.?
师：(归纳得出)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.?
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC.?
求证：DE∥BC，DE=12BC，可延长DE到F，使EF=DE，于是本题就转化为证明DF=BC,DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形.?
证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF.因为
AE=CE，
∠AED=∠CEF，
ED=EF，
所以 △ADE≌△CEF(S.A.S).
所以 AD=CF(全等三角形的对应边相等)，
∠ADE=∠F(全等三角形的对应角相等)，
所以 AD∥CF(内错角相等，两直线平行).?
因为 AD=DB，
所以 CF=DB，
所以BCFD是平行四边形，有
DF∥BC，
DF=BC.
即 DE∥BC，DE=BC.?
3.梯形中位线的概念.?
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.?
4.梯形中位线的性质定理.?
探索：同学们先画一个梯形，取两腰中点连结，观察中位线与上、下底的位置关系，猜想中位线与上、下底的大小关系.?
师：(归纳总结)梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半.?
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AE=BE，DF=CF.??求证：EF∥BC，EF=(AD+BC).?
分析：由于本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，由△ADF≌△GCF得AF=FG.再利用EF是△ABG的中位线就能得证.?
证明过程同学们自己完成.?
5.例题讲解.?
例3 已知：如图，在△ABC中，AD=DB,BE=EC,AF=FC.?
求证：AE、DF互相平分.?
分析：只需证到ADEF是平行四边形就可.?
证明：连结DE、EF，因为
AD=DB，BE=EC，
所以 DE∥AC(三角形中位线定理).?
同理可证：EF∥AB.?
所以ADEF是平行四边形，AE、DF互相平分.?
(三)课堂练习?
教材第55页练习第1、2题，第56页第3题.?
(四)小结?
两个中位线定理的内容是……?
(五)作业?
同步练习册第32～33页第1、3、4、6题.
§27.3 用推理方法研究四边形(6)
一、教学目标?
(一)知识目标?
让学生体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的步骤.?
(二)能力目标?
让学生明确“反证法”是间接证明的一种重要的证明方法.?
(三)情感价值观?
通过学习培养学生的辩证唯物主义思想和严谨的科学态度.
二、教学重点?
让学生体会反证法的思维形式，了解反证法的证明步骤.
三、教学难点?
找出命题的反面及否定反面的条件.
四、教学方法?
启发式教学.
五、教学过程?
(一)新课?
1.为什么要学习反证法 ?
我们知道，命题“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a+b=c”是真命题，试问命题“在△ABC中，如果AB=c，BC=a,CA=b，且∠C≠90°，那么a+b≠c”是真命题吗 想从已知条件∠C≠90°出发，经过推理，得出结论a+b≠c是很困难的，几乎可以说办不到.这时我们就可以使用间接证明方法的一种反证法来证明上述命题是真命题.?
2.什么是反证法 ?
通过否定命题结论的反面得到命题结论的正面正确的方法叫做反证法.?
对前面的问题，我们可以假设a+b=c，根据勾股定理的逆定理，一定有∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾，因此，假设a+b=c是错误的，即是不可能的，于是a+b≠c.这就说明命题“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a+b≠c”是真命题.?
3.用反证法证明一般有哪几步骤 ?
(1)先假设结论的反面是正确的.?
(2)通过逻辑推理，推出与公理、已知的定理、定义或已知条件相矛盾.?
(3)得出假设不成立，从而得到原结论正确.?
4.例题讲解?
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.?
已知：△ABC.?
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.?
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或者等于60°，即
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，
则 ∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°，
这与三角形内角和等于180°矛盾.?
所以假设不成立.?
故△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.?
(二)课堂练习?
教材第57页练习第1、2题，习题27.3第7题.?
(三)小结?
通过这节课的学习，你体会到反证法的思维形式吗 反证法的步骤是什么 (四)作业?
同步练习册第32页第2题，第33页第5题.
第二十八章 数据分析与决策
【本章学习要点】
1．能根据具体问题的需要借助媒体查找有关资料或亲自调查获得数据信息．
2．对日常生活中的某些数据，能对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的质疑、发表自己的看法．
3．在具体情景中理解并会计算加权平均数；能根据具体问题选择合适的权重进行决策．
4．进一步掌握设计调查方案以及整理分析调查数据的方法，能根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流．
5．经历提出问题、搜集数据、整理数据、分析数据、作出决策的全过程，认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题．
28.1借助媒体作决策（1）——查询数据作决策
【本课学习要点】
了解媒体是获取信息的一个重要渠道，学会从媒体上获取数据信息，包括上网、看电视、读报、听广播等，并通过对这些数据的分析进行决策．
【新课导入】
某集团公司为提升企业文化品位，本周六准备举行运动会，但考虑到现阶段是多雨季节，为了能保障运动会的顺利进行，请你帮助公司领导作出决策：运动会是否要改期进行？你的决策需要哪些数据信息？你能通过哪些方式获取相关信息？
此类问题的决策需要我们通过各种途径去获取信息——了解本周六的天气情况，而借助媒体则是一种获取数据信息的重要渠道．在这个问题中，我们可以通过听广播、看电视等途径了解天气变化情况，也可通过上网查询、电话查询等方式了解本周六的天气情况，当然还可以向一些有经验的老人请教……
【实践与探索】
例1．小张老师是个足球迷，2004年暑假期间恰逢第13届亚洲杯足球赛在中国举办，于是比赛期间他又成了电视迷……请问：小张老师可以靠什么渠道来选择自己要看的电视节目？
解：小张老师可以通过以下方式了解电视节目：看电视节目报、看电视本身的节目预告、上网查询等．
例2．小明家准备五月一日到外地旅游，通过上网调查，小明发现：旅游目的地的气温与海拔高度之间存在着密切关系．某日，该地日平均气温情况如下表所示：
海拔（单位：km） 0.5 1 1.2 1.5 2 2.4 2.6 3
气温（单位：℃） 18 15.1 13.8 12.1 9 6.6 5.3 3
若小明家有一旅游目标景点处于该地海拔4650米处，问按气温与海拔高度之间的变化规律，当日该景点处的日平均气温应该约为多少摄氏度？
分析：如图28.1.1所示，在平面直角坐标系内描点，可以看出这些点基本上处于一直线上，也就是说，气温y（℃）可以看作是海拔高度x（km）的一次函数．通过计算，我们可以求得气温y（℃）与海拔高度x（km）之间的近似函数关系式为．
当（km）时，
．
因此，我们可以估计当日该景点处的日平均气温应该约为℃．
回顾：由例2求得的函数关系式可以看出：海拔每升高1km，气温将下降6℃．
探索：某校准备在今年暑假组织全体初三教师去新、马、泰（新加坡、马来西亚、泰国）旅游，由1名校长带队．是学校组织团队前往还是联系旅行社出行呢？如果联系旅行社是首先考虑服务质量还是首先考虑旅行费用呢？最后通过本市有关报纸的介绍了解了全市几十家旅行社的服务质量，决定在服务质量最好的甲、乙两家旅行社中选择一家价格便宜的旅行社．该校校长通过上网查询得知两家旅行社的报价都是每人2800元，后通过电话查询了解到这两家旅行社暑期对于教师都可给予优惠，但优惠方案不同．具体优惠措施如下：甲旅行社可给予每位教师（包括一名带队校长）八五折优惠；乙旅行社可免去一名带队校长的费用，其余教师九折优惠．
（1）请你帮助校长作出选择：选择两家旅行社中的哪一家，使学校支付的旅游总费用最少．
（2）若初三教师共有21人（不包括带队校长），问应选哪家旅行社？这时应支付旅游总费用多少元？
分析：外出旅游既要价钱便宜又要舒适方便，从而真正体现“休闲”，玩得舒心．为了避免旅途中在交通、食宿安排等方面分配过多的精力，团队外出旅游一般都联系旅行社．至于选择哪家旅行社，我们可以通过丰富的媒体去调查了解服务质量，在服务质量保证的前提下，我们还可借助媒体了解价钱，综合运用我们所学的数学知识，帮助我们作出决策……
解：（1）设该校有x名初三教师在1名校长带领下去新、马、泰旅游，选择甲、乙旅行社的费用分别为、， 则由题意得： ， ．
①若，则，解得；
②若，则，解得；
③若，则，解得．
（2）由于21>18，所以选择甲旅行社，此时（元）．
答：（1）若初三教师为18人（不包括带队校长），则在甲、乙两家旅行社中任选一家；若初三教师人数少于18人，则选择乙旅行社；若初三教师人数超过18人，则选择甲旅行社．
（2）由于该校初三教师共有21人（不包括带队校长），超过18人，故选择甲旅行社较为便宜，这时应支付旅游总费用为52360元．
回顾与反思：
（1）有时作出一个决策需要许多信息，象上面的实际问题中，我们需要许多信息，如全市各家旅行社的服务质量、各旅行社的价钱比较等等，而借助媒体得到相关数据则是一种便捷的获取丰富、实时的信息的有效渠道与方式．
（2）从媒体上得到相关数据后，还必须结合实际情况加以分析，才能作出决策．如上面问题中，必须对该校初三教师的人数进行分类讨论，才能作出相应的决策．而这则需要我们具有“分类”的数学思想与“函数”的意识与方法．
【当堂课内练习】
1． 证券投资者可以通过哪些渠道了解股市行情，进行股票买卖决策？
2．2001年中国人民银行统计司就城镇居民对物价水平满意程度进行了抽样调查，结果如图所示．据此，可估计2001年城镇居民中对物价水平表示认可的约占_______%．
3．如果你的家庭计划在今年在五一长假期间外出旅游，那么你准备提供哪些方面的信息给家长以决定你们的旅游目的地？你将从哪些渠道查询相关数据以便作出决策？把你的决策过程写出来与同学们交流，看看你考虑得是否全面．
【本课课外作业】
A组
1．你能通过哪些渠道了解2004年在雅典举行的第28届夏季奥运会各国运动员所获金牌情况？
2．在某市人才网上“人才招聘”栏目中有A、B两家工作环境相仿的公司登出了招聘条件基本相同的信息，但工资待遇有些差异：A公司，年薪12000元，从第二年起每年在上次年薪基础上提高20%；B公司，半年薪6000元，从第二年起每半年在上次半年薪基础上提高10%．如果你的情况恰好与这两家公司的招聘条件相符，单纯从经济角度考虑，你会选择哪家公司？
B组
3．某市晚报上刊登了这样一则新闻，标题为“本市电动自行车合格率为82%”．
（1）这则新闻是否说明该市所有品牌的电动自行车的合格率均为82%？
（2）你认为这则消息中的数据是来源于普查，还是抽样调查？为什么？
（3）如果已知在这次质量监督检查中共查出不合格电动自行车36辆，你能算出共有多少辆电动自行车接受检查了吗？
（4）如果在该市一家商场检查了2辆电动自行车发现有1辆不合格，即合格率为50%，是否可以由此断定该晚报上的那则新闻是虚假新闻？为什么？
【本课学习体会】
28.1借助媒体作决策（2）——全面分析媒体信息
【本课学习要点】
1．学会对来自媒体的数据信息进行合理的质疑，大胆发表自己的观点．
2．通过对来自媒体的数据的分析与交流，在全面分析信息、提高分析辨别能力的同时，增强合作学习的意识与能力．
【新课导入】
2003年5月，由于“非典”影响，北京海淀区教育网开通了网上教学．该区某校初三某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断全国初三年级学生每天上网学习时间，这样的推断是否合理？为什么？
显然，这样的推断是不合理的．同学们，请思考一下：作为样本，该具有哪些特征呢？
【实践与探索】
例1．以下是一些来自媒体的信息，谈谈你读了之后有什么想法．
（1）某报社记者于2004年8月7日晚在2004年亚洲杯决赛现场北京工人体育场调查了2000名观众，调查数据显示：91%的中国人爱看中超联赛．
（2）某医院自办的小报刊载：由于98%的人认为目前医药费用比较合理，因此目前医院各项收费总体而言是合理的．（数据来源于对该市所有医院的医务人员的一项问卷调查）
分析：来自媒体的信息需要我们读者进行全面的分析，辨别真伪，作出自己的判断．
解：（1）91%这一数据明显偏高．因为调查对象缺乏代表性：由于是在足球比赛现场调查人们对足球的喜爱程度，相当于在“足球迷”中调查统计“足球爱好者”的比例，因此难以得到一个真实、恰当的数据．
（2）“目前医院各项收费总体而言是合理的”这一结论不可信．因为调查选取的对象都是医务人员，对于整个社会群体尤其是就医者群体来说明显缺乏代表性．因此得出的相关结论很不可信．
例2．我国是一个多民族国家．在我国西部有一个人口总数为370万（2000年全国人口普查统计）的多民族城市——贵阳市，图28.1.2（1）和图28.1.2（2）是2000年该市各民族人口统计图．
根据上面的人口统计图提供的信息可知：
2000年贵阳市总人口中布依族占的百分比为___________，苗族人口数为_______________．
分析：直方图与扇形统计图两者要结合起来看，才能把问题求解，得到正确答案．
解：（1）15%×30%=4.5%；（2）370×15%×40%=22.2（万人）．
探索：为吸引更多更好的初中毕业生报考，某校在招生广告上大力宣传该校近年来的办学成就，并制作了近五年该校高中毕业生升入大学的人数统计图（图28.1.3）．
你认为该校制作的统计图是否存在误导的成分？实际情况是否如广告所言？另外，升入大学的人数与升入大学的比例这两个统计量中哪个更能说明问题？作为一名初中应届毕业生，如果你打算报考该校，那么你认为还需了解哪些信息以便你作出正确的决策？
简析：①纵轴视觉上的比例存在误导的陷阱；②选用“升入大学的学生数占当年学校毕业生数的比例”这一统计量显然比“升入大学的人数”更合理；③还需了解每年同期其它学校升入大学的学生数占当年学校毕业生数的比例、近几年大学是否存在“大规模扩招”等现象；④还可了解该校每届毕业生当年入学时的总体成绩情况以便与毕业时高考成绩作比较……总之，面对媒体数据，我们应全面分析，以便作出决策．
回顾与反思：从以上实际问题中可以看出，媒体虽然能给我们传递大量的信息、数据，帮助我们决策，但有些时候媒体也可能误导我们．因此，一方面，面对媒体信息，我们必须全面分析，不能成为媒体信息的“奴隶”；另一方面，我们认为，比较规范的统计报告应该说明调查的细节，如调查了多少对象，是怎样抽取调查对象的，等等．例如，为了调查市场上酱油的质量，如果我们进入市工商局旁的一家大型超市选取其中一种家喻户晓的品牌的酱油并抽样其中的一瓶检测质量，那么这样的调查显然毫无意义．
【当堂课内练习】
1．一则广告称，“本药品对各种癌症的治愈率达80%，研制成功10年来，已使几万名癌症患者得以康复”．对此，你有什么看法？
2．互联网上有这样一份调查报告：中国青少年研究中心和北京师范大学教育系于1998年10月对10个省市3737名中小学生进行了一次关于学生学以致用情况的调查，其中有这样一个问题：“我喜欢把学习到的知识用来解决或解释生活上遇到的问题”．调查结果如下：
完全符合 比较符合 不太符合 完全不符合
小学生 51.6% 32.2% 11.6% 4.6%
初中生 47.7% 36.9% 13.0% 2.4%
高中生 29.9% 49.2% 18.9% 2.0%
请你对互联网上这份调查报告中的有关数据发表自己的观点．
【本课课外作业】
A组
1．一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场进行调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%．由此，该电脑生产厂家在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销量占40%．请你根据自己所学的统计知识，分析判断该广告中的数据是否可靠，并说出你的理由．
2．如图是某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护的电话最多，有90个．请根据题中给出的统计图回答下列问题：
（1）本周内“百姓热线”共接到热线电话多少个？（2）本周内“百姓热线”接到有关道路交通的电话有多少个？
B组
3．某晚报刊载：某师范院校大学生利用暑假对500户家庭进行了问卷调查，98%家长对“您爱自己的子女吗？”这一问题回答“是”．而这500户家庭的子女在面对“您体会到家长对您的爱吗？”这一问题时回答“体会到”的仅占21%．请你对此谈谈自己的看法．
【本课学习体会】
28.2亲自调查作决策（1）——调查方案的设计
【本课学习要点】
进一步掌握设计调查方案的方法，并学会通过亲自调查去搜集数据．
【新课导入】
学校准备举办六一庆祝活动，为了使得活动内容更受同学们的喜爱，学校在全校征求意见、建议．作为学校的主人，同学们怎样用自己的行动为学校献计献策呢？显然，通过亲自调查获取相关信息（如调查同学们最喜爱的节目，等等）提供给学校相关部门作参考就不失为一种很好的“参政议政”方式．
【实践与探索】
例．某品牌的洗衣机生产厂家为了了解顾客对该品牌洗衣机的满意程度，在洗衣机的使用说明手册中附上了一份意见表．表上有这样一段文字：
如果您对本产品不满意，请在下表中填上“不满意”，然后将此表寄回本厂服务部．本厂通讯地址为：××省××市×××路××号，邮编：××××××．
该厂服务部根据回信统计出对产品不满意的顾客数，再从厂家销售部获知该品牌洗衣机的销售量，利用公式“”计算出该品牌洗衣机的顾客满意率．
请分析该厂设计的调查统计方案是否恰当．如果你认为不恰当，请在评价之后对该方案作出你认为比较恰当的调整方案（只要能比原方案更合理一点即可），以便能得到更真实的数据——满意率，从而为厂家对“是否需要加快对产品进行升级换代”作出决策提供依据．
分析：按照厂方的调查方案去调查统计，同学们可以想象一下：最后计算得到的满意率与实际满意率相比较会有多大的区别．很明显，这样统计出来的满意率不合实际，明显偏高．其原因有：①夹在使用手册中的调查表不一定会引起顾客的注意；②一般说来，顾客洗衣机刚买时不会有多大意见，但当感到不满意时，就不一定会找到那张表了；③即使顾客注意到了调查表并保存了那张表，但要求顾客填表、买信封、邮票、填写通讯地址、邮编等，有些顾客会嫌麻烦，就算不满意也不一定愿意去与厂家计较了；而且当顾客感到不满意时，应该比较气愤，在那种心情状态下还要他（她）另外花钱买邮票、信封，可能许多顾客采取的方式更多可能性是“自认倒霉”，而不会去继续“劳命伤财”了……以上种种原因都将决定“该厂服务部根据回信统计出的对产品不满意的顾客数”远远小于实际“不满意顾客数”，因此厂家设计的调查方案很不恰当，难以得到较为准确的顾客满意率．
解：该厂设计的调查统计方案不恰当．
调查方案调整如下：将调查表更换为明信片（厂家通讯地址、邮编印刷好，邮票贴足），顾客感到对产品不满意时只需在明信片上“对本产品不太满意”或“对本产品很不满意”上打上“√”，然后写上顾客的联系方式寄出即可（对于提出意见、建议者厂家承诺回赠一份小礼品）．另外，在产品使用手册上再印上一个意见反馈电话号码（免费电话），顾客可以在打电话、寄明信片中任选一种方式反馈信息．这样的方案既体现了“顾客至上”的理念，又比原方案更科学、合理．
探索：在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：
日期 15日 16日 17日 18日 19日 20日 21日 22日
天然气表显示读数（单位：m3） 220 229 241 249 259 270 279 290
小强的妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？
分析：本题取材于生活实际，主要考查同学们是否真正掌握了统计的知识和用样本估算总体的统计思想方法，能否自觉地用统计的知识和方法解决身边的实际问题．表中的数据反映了7天使用天然气的数量（而不是8天）．计算这一周平均每天使用天然气的数量时用即可，然后用样本去估算总体，则可以得到“够用”的结论．
解：（略）
回顾与反思：
（1）调查首先应制订合适的调查方案，而这需要我们去精心设计．方案的设计可谓“失之毫厘，差之千里”．
（2）调查时究竟是采用“普查”还是“抽样调查”方式进行需要根据实际情况而定，而用样本估算总体的统计思想方法则是一种较简便、实用的统计方法．希望同学们通过实践操作逐步提高这方面的能力．
【当堂课内练习】
1．教育局为了了解本区域内学生对教师的满意程度，进行了一项民意测验．调查问题为：你对学校教师的教学情况感觉如何？A．非常满意； B．很不满意．
你觉得这项调查问题设计得怎样？
2．请你设计一个调查表，了解全班同学对华东师大版数学新课标教材的态度，将所收集到的数据用你喜欢的统计图表示出来，并用简单的文字说明从中可以获得哪些信息．
【本课课外作业】
A组
1．某班班主任为了了解本班现任班干部的群众满意度，准备由班长组织一次班干部满意率测评．班长是这样调查的：班长在上面报某位班干部的姓名，对这位班干部的工作满意的同学举手，副班长统计人次……请你谈谈班长设计的这个调查方案的看法．
2．为了丰富同学们的课外活动，班委会准备利用周日组织全班同学去观看一场球类比赛，为吸引更多的同学参与，事先做了“你最喜爱的球类运动”问卷调查，获得的信息如图所示．假设你是这个班的体育委员，你会组织观看的比赛是________________．
B组
3．请你对第1题中的问题设计一个你认为比较合理的调查方案．
【本课学习体会】
28.2亲自调查作决策（2）——怎样整理数据好
【本课学习要点】
1．学会亲自调查搜集数据、整理数据、进行决策．
2．能从不同角度出发看待所搜集到的数据，得出比较全面、客观、合理的结论．
【新课导入】
某家电商场经销南京产的熊猫彩电21英寸、25英寸、29英寸、34英寸四种型号，商场柜台经理经统计得一周内共销售出熊猫彩电64台，其中上述型号分别售出5台、21台、32台、6台，在研究电视机出售情况时，该家电商场柜台经理关心的是21英寸、25英寸、29英寸、34英寸和5台、21台、32台、6台这两组数据的平均数吗？如果不是，那么他会关心什么？
显然，在这个例子中计算平均数没有多大意义．迄今为止，我们已了解了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等统计量，如果你是该商场负责销售熊猫彩电的柜台经理，那么你会关心哪个统计量呢？
【实践与探索】
例1．尽管长江三峡工程的发电机组陆续投入使用，为缓解我国电力紧张的局面作出了许多贡献，但由于近年来我国经济发展迅猛，2004年许多大中城市电力仍然非常紧缺．因此，许多家庭在实际生活中积极响应、落实政府的“节约用电”号召．小芳同学在暑假末亲自统计了她所在的小区中24户家庭2004年7~8月用电情况及2003年同期用电情况，所得数据如下表所示（表中用电量单位：千瓦·时）：
用户时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2003年7~8月 325 252 186 405 78 381 362 334 198 284 408 562
2004年7~8月 273 225 192 316 70 326 320 285 168 235 356 402
用户时间 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
2003年7~8月 196 385 342 368 191 69 541 369 341 293 318 350
2004年7~8月 154 332 276 324 228 96 348 298 286 258 278 322
（1）请计算这24户家庭2004年7~8月平均每户家庭的用电量．
（2）根据小芳同学调查所得数据分析：该小区有没有真正落实“节约用电”的号召？
（3）如果小芳同学所在小区共有288户家庭，而且小芳所调查的24户家庭具有代表性，试估算该小区2004年7~8月与2003年同期相比共节约用电多少？
分析：用电紧张是当前经济发展迅猛的产物，一方面我们国家要继续加强电力建设；另一方面，我们应树立“节约用电”的意识，从而用实际行动为支持国家建设作出自己的贡献．面对小芳同学调查到的数据，我们会运用所学到的统计知识去分析、解释吗？
解：（1）这24户家庭2004年7~8月平均用电量为：
（千瓦·时）
（2）小芳所统计的这24户家庭中2004年7~8月与2003年同期相比用电减少的有21户，占所统计的24户家庭的87.5%．由此可见，“节约用电”的号召在小区内已深入人心，成效显著．
（3）这24户家庭2004年7~8月用电总量为（千瓦·时），
而这24户家庭2003年同期用电总量为（千瓦·时），
所以，这24户家庭平均每户节约用电（千瓦·时）．
由于小芳所调查的24户家庭具有代表性，因此由题意可以估计该小区288户家庭2004年7~8月与2003年同期相比共节约用电（千瓦·时）．
答：（略）
例2．某园林的门票每张10元（一次使用），考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除了保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购票日起，可共持票者使用一年）．年票分A、B、C三大类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需再购门票，每次3元．
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票最合算．
分析：由题意可知，一共有四种购票方式．我们要作出决策，关键看一年所花门票费用与进入该园林的次数这两个量．
（1）只需对照每种购票方式，分别计算花80元能进入该园林的次数；
（2）显然，当进入该园林的次数较多时，选择购买A类年票较合算．那么“多”的标准究竟是多少呢？我们只需要分别计算出根据另三种方式花120元能进入该园林的最多次数即可．
解：（略）
探索：某超市信息中心采集了一些供求信息，其中对该超市中西红柿的市场需求量和供给量进行调查后得到下表数据：
西红柿市场供需量信息表
日供给量（吨） 4.4 4 3.9 3.75 3.2 2.8
每千克价格（元） 2 2.5 2.6 2.8 3.5 4
日需求量（吨） 5.6 4.6 4.4 4 2.6 1.6
（1）为了使市场供需平衡，问此时市场需求量是多少？此时西红柿价格为每千克多少元？
（2）在超市保证供应的前提下，由于最终的日销售量由需求方决定，若超市的西红柿进货价为每千克1.6元，问超市将销售价定为每千克多少元时，每日销售西红柿的总利润最大？最大利润为多少元？
分析：（1）供需平衡点即供给量与需求量相等的情形．若设每千克西红柿的价格x（元）为自变量，则我们可分别求出供给量、需求量与价格x（元）之间的近似函数解析式．而这两个函数的图象（如图28.2.1）的交点即为第（1）小题的解．
（2）在第（1）小题中我们可求出日需求量（保证供应时即为日销售量，同时也是日进货量即供给量）与销售价格x（元）之间的函数关系式，而每千克西红柿的利润为（）元，将每吨西红柿的利润乘以日销售量即为每日销售西红柿的总利润．
（3）动笔计算一下，看看该超市每日销售西红柿的总利润与销售价格x（元）之间的函数关系式如何？是否存在最大值？
解：（略）
回顾与反思：学以致用是我们学习知识的真正目标，只要同学们带着数学的眼光去看待生活周围的事与物，就可以发现许多现象中存在着数学方面的道理．愿同学们做个有心人，在实践中不断体验数学、享受数学．
【当堂课内练习】
1．某校初三学生在一次数学测验中，甲、乙两班学生的成绩统计如下：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲班 1 6 12 11 15 5
乙班 3 5 15 3 13 11
请根据表格提供的信息回答下列问题：
（1）甲班学生成绩的众数为_________分，乙班学生成绩的众数为_________分．从众数看成绩较好的是__________班；
（2）甲班学生成绩的中位数为_________分，乙班学生成绩的中位数为_________分，甲班中成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_________%，乙班中成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_________%．从中位数看成绩较好的是__________班；
（3）若成绩在85分以上的为优秀，则甲班的优秀率为_______%，乙班的优秀率为______%，从优秀率看成绩较好的是__________班．
（4）请你根据题目给出的信息及以上的计算，对甲、乙两班的成绩作出你的综合评价．
2．某地区筹备召开中学生运动会，指定某校初二年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求身高一致．现随机抽取10名该校初二某班女生体检表（各班女生人数均超过20人），得身高如下（单位：cm）：162，160，157，160，153，161，160，160，168，159．
（1）求这10名女生的平均身高；
（2）问该校能否按要求组成花束队，试说明理由．
【本课课外作业】
A组
1．光明中学环保小组对学校所在区的8个餐厅一天的快餐饭盒使用个数作调查，结果如下：125，115，140，270，110，120，100，140．
（1）这八个餐厅平均每个餐厅一天使用快餐饭盒__________个；
（2）根据样本平均数估计，若该区共有餐厅62个，则一天共使用饭盒__________个．
2．空调大世界商场3月份、4月份出售同一品牌各种规格的空调台数如下表：
规格月份 1匹 1.2匹 1.5匹 2匹
3月 22台 30台 18台 14台
4月 26台 40台 24台 18台
根据表中数据回答：
（1）商场3月份、4月份平均每月销售空调_________台；
（2）这两个月该商场出售的该品牌的各种规格的空调中，众数是_________匹；
（3）在研究5月份进货时，商场经理决定________匹的空调要多进，_______匹的空调要少进．
3．某校初三（1）、初三（2）班举行电脑汉字输入速度比赛，每班各选10人经过一周培训后进入比赛．各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个数 132 133 134 135 136 137
初三（1）人数 1 0 1 5 2 1
初三（2）人数 0 1 4 1 2 2
（1）请你根据条件完成下表：
统计量 众数 中位数 平均数 方差
初三（1）
初三（2）
（2）试从不同方面评价该校初三（1）、初三（2）班学生的比赛成绩（至少从两方面进行评价）．
B组
4．为合理利用水资源，某省某地经过认真调查，提出以下水价调整方案：居民生活用水价格由原来的1.20元/m3调整为1.80元/m3，其中包含污水处理价格0.35元/m3调整为0.50元/m3；工业用水价格由1.60元/m3调整为2.50元/m3，行政事业用水价格由1.45元/m3调整为2.30元/m3，经营服务业用水价格由1.90元/m3调整为3.00元/m3，此三项中所包含的污水处理价格都由原来的0.35元/m3调整为0.60元/m3．
（1）根据以上提供的相关数据填写以下表格：
表一：用水价格表
用水类型 调整前价格（元/m3） 调整后价格（元/m3） 增加幅度（元/m3）
居民生活
工 业
行政事业
经营服务业
表二：污水处理价格表
污水处理类 别 调整前价格（元/m3） 调整后价格（元/m3） 增加幅度（元/m3）
居民生活
工 业
行政事业
经营服务业
（2）求出上面四类用水调价后的用水平均价格及污水处理的平均价格；
（3）试判断：该地自来水公司收费后计算所得的实际用水平均价格及污水处理的平均价格是否一定与上面你所计算得到的数据相符？并简单说明道理．
【本课学习体会】
阅读材料1 对一则关于学生学习方式的调查的思考
目前，从我国学校教育的实际看，仍然是以老师讲、学生听、课后练（主要是书面练习）为主．这样的方式得到了社会和家长们的广泛认可．这样的教学方式是否受同学们的欢迎？是否有效呢？1998年10月由中国青少年研究中心、北京师范大学教育系和北京出版社等单位的专家组成的“中国中小学生学习与发展课题组”在全国10所城市对10~18岁的中小学生进行了大型调查．其中有一个问题是这样设计的：
在下列11种学习方式中，即“背诵、实验、考试、参观、听讲、看电视、作业练习、去图书馆、读课外书、用电脑、与朋友聊天”中，你最喜欢及你认为最有效的学习方式分别是什么？
课题组共回收学生问卷3737份，其中有效问卷3371份，有效率达90.2%．课题组对有效问卷整理结果如下：
最喜欢的学习方式（%） 认为最有效的学习方式（%）
小学生 初中生 高中生 总计 小学生 初中生 高中生 总计
实验 19.4 31.5 24.2 25.9 11.0 18.5 18.5 17.0
用电脑 23.9 21.1 20.1 21.2 19.6 12.2 8.9 12.1
读课外书 14.6 11.3 12.1 12.3 10.8 7.0 4.4 6.6
听讲 9.5 6.9 8.7 8.3 14.0 21.3 25.7 21.9
聊天 3.6 7.6 10.7 8.2 2.2 2.5 4.0 3.1
去图书馆 8.3 5.8 5.8 6.3 8.3 4.7 3.3 4.7
看电视 4.9 5.2 6.2 5.6 0.8 1.4 1.1 1.1
作业练习 6.7 3.6 5.4 5.0 13.8 17.7 21.1 18.5
参观 3.8 2.4 4.3 3.5 2.0 0.8 0.6 0.9
考试 3.0 2.8 1.0 2.1 11.5 9.4 6.1 8.3
背诵 2.3 1.8 1.4 1.7 6.0 4.7 6.4 5.7
从表中数据可以看出：同学们最喜欢的学习方式，排在前3位的是实验（25.9%）、用电脑（21.2%）、读课外书（12.3%）；认为最有效的学习方式依次是听讲（21.9%）、作业练习（18.5%）、实验（17.0%）．
显然，同学们最喜欢的学习方式与认为最有效的学习方式之间有明显的差别，为数众多的同学还不能利用自己喜欢的学习方式来提高学习效率．差别比较大的项目主要包括听讲、作业练习、考试等．学生中表示喜欢这些学习方式的人很少，然而认为这些方式有效的人却较多．
同学们，对于上面问卷中的问题，你们会怎样回答呢？不妨面向全班同学作一次实际调查、整理、分析，并将你们调查的结果与“中国中小学生学习与发展课题组”调查的结果作出比较．
最后请思考这样一个问题：为什么同学们最喜欢的学习方式与认为最有效的学习方式不一样？
28.3在理论指导下决策（1）——考虑不同的权重
【本课学习要点】
在具体情景中理解并会计算加权平均数，并在问题情景中体会权重的意义．
【新课导入】
某校期末考试初二6个班级的数学平均成绩分别为82分、83分、67分、75分、71分、63分，在计算年级平均分时，李利民同学是这样计算的：（分）．
请问：一般情况下，李利民同学的计算方法对不对？要计算出年级平均数，你认为还需要哪些数据？在什么情况下，李利民同学的计算结果会正确呢？
【实践与探索】
例1．某小组14名同学一次英语口语测试的成绩为：1人100分，3人90分，4人80分，3人70分，2人60分，1人50分，求这个小组这次英语口语测试的平均成绩．（精确到0.1分）
分析：这14人的平均成绩应该用这14人的总成绩除以14．
解法1：（分）
答：这个小组这次英语口语测试的平均成绩为76.4分．
解法2：（分）
答：这个小组这次英语口语测试的平均成绩为76.4分．
例2．某食品公司准备招聘一名营销人员，对最后进入复试圈的甲、乙、丙三名候选人进行了综合素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩
甲 乙 丙
创 新 85 92 73
语 言 89 60 90
综合知识 72 94 89
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，该公司认为创新、语言和综合知识三个方面的重要性之比为5∶3∶2较为恰当，此时谁将被录用？
解：（1）甲三项测试的平均成绩为（分）；
乙三项测试的平均成绩为（分）；
丙三项测试的平均成绩为（分）．
因此，如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么丙将被录用．
（2）由题意知创新、语言和综合知识三个方面的权重分别是50%、30%和20%，由此可得甲、乙、丙三人的测试成绩如下：
甲的测试成绩为（分）；
乙的测试成绩为（分）；
丙的测试成绩为（分）．
因此，如果创新、语言和综合知识三个方面的重要性之比为5∶3∶2，那么甲将被录用．
回顾与反思：
（1）如果该公司将创新、语言和综合知识三项测试得分按3∶2∶5的比例确定各人的测试成绩，那么这三方面的权重是多少？这时哪一位候选人被录用呢？
（2）为什么甲、乙、丙三人三项测试得分确定后，最后的测试成绩会有不同的答案？从上面的问题及其解答中，你理解“权重”的重要了吗？
【当堂课内练习】
1．某车间一周里加工某种零件的日产量是：有2天是36件，有2天是37件，有3天是40件，问这周该车间平均日产量是多少件？
2．小明射击训练的结果如图所示，他利用所学的统计知识对自己的射击成绩进行评价，其中错误的是（ ）
A．平均数为环
B．众数为8环，打8环的频率为40%
C．中位数为8环，比平均数高0.7环
D．此题中众数、中位数与平均数都不相等
【本课课外作业】
A组
1．一名射击运动员连续射靶20次，其中5次射中10环，6次射中9环，8次射中8环，1次射中6环，则这名射击运动员平均每次射中的环数为___________．（保留1位小数）
2．小华同学统计了该班学雷锋小组的8名同学一个月内做好事分别为5件、6件、8件、15件、20件、26件、30件、34件，问：这个小组平均每人每月做好事多少件？
3．某校规定学生的体育学期成绩由三部分组成：课外活动表现占20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%，王征同学本学期这三项成绩依次是96分、86分、92分，则体育老师这学期将给王征同学体育成绩打多少分？
B组
4．某校欲招聘一名教师，对小张、小陈、小韩三名候选人进行了三项素质测试．他们的各项测试成绩如下表：
测试项目 测试成绩
小张 小陈 小韩
语言 82 70 75
计算机 70 90 80
专业知识 85 78 88
根据实际需要，学校将语言、计算机、专业知识三项测试成绩的权重定为3∶2∶4，这三人谁将被录用？
【本课学习体会】
28.3在理论指导下决策（2）——平均要买几个才能得奖
【本课学习要点】
1．会采用随机抽样的方法做实验或进行模拟实验，记录数据，求出加权平均数评判平均要买几个才能得奖．
2．会运用相关知识计算简单的中奖概率或游戏获胜的概率．
【新课导入】
同学们，你们可曾接触过体育彩票？体育彩票的返奖率为55%．换句话说，平均每销售100元，将会有55元作为奖金奖励给购买体育彩票者中的幸运者（即中奖者），而另外的45元则用于支援国家或地方的体育事业的发展及销售体育彩票的成本费用．
对于55%的返奖率这一数据，能否理解为购买平均100张体育彩票就有55张中奖呢？从你接触到的人群中了解到的信息，中奖面有这么大吗？那么，到底平均要买几张才能得奖呢？理论数据与实际数据相符吗？
如果返奖率确实为55%，而中奖面远远小于55%．请同学们讨论一下，究竟是什么原因造成的这一差异？
【实践与探索】
例1．某啤酒厂推出一种有奖销售方案：该厂在出厂的所有啤酒的瓶盖内分别印上“再”、“来”、“一”、“瓶”、“啤”、“酒”六个字中的一个（文字颜色与啤酒颜色相近，从瓶外无法看清文字），集齐分别印有这六个不同文字的六个啤酒瓶盖就可换取一瓶该品牌的啤酒．假如印有这六个文字的瓶盖个数一样多，而且每瓶啤酒的瓶盖上印有哪个文字也完全是随机的，那么，平均要买多少瓶啤酒才能中奖（奖1瓶啤酒）呢？试通过模拟实验来解决这一问题．
分析：如果幸运的话，买6瓶啤酒也许就能中奖；但也许购买50瓶、100瓶都无法中奖．那么，平均要买多少瓶啤酒才能中奖呢？请你估计一个答案，写在纸上（最后与模拟实验得到的答案作个比较，看看你的估计能力如何）．下面我们利用计算器进行模拟实验：让计算器在1~6的范围内每次产生一个随机整数，作为购买到的那瓶啤酒的瓶盖上的文字的代号（1代表“再”、2代表“来”、3代表“一”、4代表“瓶”、5代表“啤”、6代表“酒”），若“中奖”，则一次实验结束，然后进行下一次实验．记录下每次实验得到的相关数据，整理如下：
实验序列 产生的1~6范围内的随机数
第1次实验 3 4 1 5 4 4 6 5 5 4 5 3 5 3 1 2
第2次实验 3 2 3 4 1 2 5 6
第3次实验 6 1 3 6 4 1 6 4 4 4 4 5 1 4 6 5
3 3 3 2
第4次实验 6 3 6 5 6 1 1 6 4 3 3 5 6 3 2
第5次实验 4 1 6 4 5 6 4 1 2 3
第6次实验 6 4 3 4 3 1 3 3 2 3 4 4 2 6 3 5
第7次实验 1 2 3 5 4 1 2 6
第8次实验 1 2 2 4 1 6 3 4 3 2 1 5
第9次实验 1 1 6 4 5 6 2 5 5 1 4 1 4 4 1 5
1 5 4 2 4 1 2 5 6 2 2 5 4 1 3
第10次实验 2 6 2 2 2 5 3 3 1 4 1 4
因为，
所以我们可以估计大约平均要购买15瓶啤酒才能中奖．
回顾：
（1）此题如果要通过纯计算求出“平均要购买几瓶啤酒才能中奖”非常困难，同时我们也不太可能为了解出此题真的去购买啤酒，而利用计算器、通过模拟实验则相对“简单”地求出了答案．
（2）模拟实验前你估计的答案是什么？与现在求得的“大约15瓶”误差大不大？
（3）本题的解法是通过实验去估计答案，因此要注意两点：①不同的人得到的答案不一定相同，即使同一个人再进行相同次数的实验答案也不一定相同；②要想答案尽可能准确，我们可以将实验次数尽可能地增加（但也要考虑到有无必要及可能性）．因为实验次数充分大时，这个“平均数”将趋于稳定．
探索：上面的问题中若问“平均要购买几瓶啤酒才能中两次奖（即集齐2套瓶盖换2瓶啤酒）”，那么是不是简单地将“15”去乘以2从而得到30呢？答案是否定的．你估计是大于30还是小于30呢？亲自进行模拟实验试试看！也许答案会出乎你的意料．
例2．甲、乙、丙、丁四位小朋友一起做游戏：他们抛掷3枚硬币，若全部正面朝上，则甲胜；若全部反面朝上，则乙胜；若两枚正面朝上一枚反面朝上，则丙胜；若两枚反面朝上一枚正面朝上，则丁胜．将他们的获胜次数记录、统计如下表：
游戏次数 10 20 30 40 50 80 100
甲 1 3 4 5 7 11 14
乙 2 4 5 5 6 10 13
丙 4 6 10 15 18 31 38
丁 3 7 11 15 19 28 35
当比赛进行到100次时，甲、乙两人连喊“运气不好”，至此游戏结束．
（1）分别计算游戏进行到30次、50次、100次时，甲、乙、丙、丁四位小朋友的获胜率；
（2）甲、乙两人真的是运气不好吗？请你运用所学知识帮助分析他们两人获胜率低的原因．
分析：表面上看，抛掷3枚硬币，观察出现正面朝上的枚数共有四种情形，即这个游戏共有四个不同结果，好象比较“公平”．但事实上，这四个结果是“等可能”的吗？
解：（1）游戏进行到30次、50次、100次时，甲、乙、丙、丁四位小朋友的获胜率如下表所示：
游戏次数 30 50 100
甲 13.3% 14% 14%
乙 16.7% 12% 13%
丙 33.3% 36% 38%
丁 36.7% 38% 35%
（2）甲、乙两人并不真的是运气不好，而是因为这个游戏规则本身制订得并不公平．画出抛掷硬币的树状图（如图28.3.1）：
从树状图中可以看出：P（全部正面朝上）= P（全部反面朝上）=；
而P（两枚正面朝上一枚反面朝上）= P（两枚反面朝上一枚正面朝上）=．
因此，按照原来的游戏规则，甲、乙获胜的概率只有丙、丁获胜的概率的，故游戏不公平．
探索：针对上面的游戏，能否适当调整一下游戏规则，使得游戏对于四位小朋友来说做到公平？试给出两种不同的调整方案．
分析：调整方案关键在于将原规则中的不公平（获胜机会不均等）处去除，从而使得游戏公平．例如以下两种方案：
①实行积分制．甲获胜1次积3分，乙获胜1次积3分，丙获胜1次积1分，丁获胜1次积1分．这样到比赛结束看积分高低定胜负．
②甲与丙合作，乙与丁合作，即4位小朋友分成两个小组进行对抗比赛．按照原先的游戏规则比赛也能保证游戏公平．
回顾与反思：
（1）游戏是否公平有时存在一定的隐蔽性，需要我们运用相关数学知识去分析、评判．而画树状图的关键则在于列出所有等可能出现的事件，从而确定各种结果出现的机会．
（2）有了以上的知识储备，现在，你对街头小巷的一些所谓的“公平游戏”会作如何评价？
【当堂课内练习】
某商场春节期间进行有奖销售，规定每购买满50元商品可得刮刮卡一张，每张刮刮卡上印有“萬”、“事”、“如”、“意”四个字中的一个字，集齐分别印有“萬”、“事”、“如”、“意”四个字的四张刮刮卡即中奖——换取一张价值20元的购物券或领取一份价值20元的礼品包．假如印有“萬”、“事”、“如”、“意”的刮刮卡的张数一样多，而且每张刮刮卡上印有哪个字也完全是随机的，那么，平均要买满多少元商品才能中奖呢？试通过模拟实验来解决这一问题．
【本课课外作业】
A组
1．某电视台综艺节目接到参与节目的热线电话及短信共3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，王蕾同学发了一条短信，那么她成为“幸运观众”的概率为__________．
2．将一副中国象棋的全部棋子装入一纸箱中，将纸箱封好后在其一个面上挖一方形孔，让此孔刚好能通过一枚棋子．小孔朝下，摇动纸箱，使从小孔中掉出一枚棋子．
（1）掉出的棋子是红“车”的概率是______________；
（2）掉出的棋子是“马”的概率是______________；
（3）掉出的棋子是“兵”或“卒”的概率是______________；
（4）掉出的棋子不是“车”、“马”、“炮”的概率是____________；
（5）请通过具体实验操作得出上述事件发生的可能性有多大，然后与你上面所填的概率结果作出比较，如果不相同，是不是“计算”与“实验”中一定有一项存在问题？
B组
3．有一种体育彩票，开奖号码为0000000~9999999之间的七位随机数（注：首位可以是0）．若你购买到的号码恰好为开奖号码，则中特等奖；若你购买到的号码中连续6位与开奖号码对应相同（而且必须是相同数位，以下要求相同），则中一等奖；连续5位与开奖号码对应相同，则中二等奖；连续4位与开奖号码对应相同，则中三等奖；连续3位与开奖号码对应相同，则中四等奖；连续2位与开奖号码对应相同，则中五等奖．例如：若开奖号码为6579004，而你购买的号码为0079014，由于第3、4、5位号码相同，即连续3位与开奖号码对应相同，因此你中了四等奖．
（1）购买一张体育彩票中奖（等次不限）的机会大约有多大？
（2）试通过模拟实验求出平均要买多少张体育彩票才能中奖？
【本课学习体会】
28.3在理论指导下决策（3）——考试分数说明了什么
【本课学习要点】
1．通过对考试分数的分析，学会正确看待考试成绩，并初步了解如何评价试题的难度．
2．通过解决实际生活中的问题，培养学生对知识的应用意识和应用能力，进一步感受频数、频率、抽样、统计图表、平均数、标准差等统计与概率的知识是来源于实践并应用于实践的．
【新课导入】
张伟同学期中考试数学得了91分，语文得了84分．能不能由此得出这样的结论：张伟同学的数学成绩比语文成绩要好？显然，这个结论不一定正确．你能说出其原因吗？
成绩的高低与试卷的难易程度关联很大．因此，我们面对自己的考试分数应作横向比较，这样才能得出较准确的结论．例如，在上面的例子中，若期中考试班级数学平均分为92分，而语文平均分为75分，则相比之下张伟同学语文成绩比数学成绩要好．
【实践与探索】
例1．无锡市教研中心为了统计2004年初三学生参加江苏省初中数学竞赛的成绩．从所有参赛学生中随机抽取了一部分学生的竞赛成绩（均为整数），并将所有抽取到的数据整理后分成五组，绘制出频数分布直方图，如图28.3.2所示．已知统计图中从左到右第一组和第五组的频率分别是0.1和0.05，第三个小长方形的高是第四个小长方形的高的2倍，第四个小长方形的高是第五个小长方形的高的3倍，第二组的频数是40．
请根据要求填空：
（1）第二组的频率为__________；
（2）抽取的学生数为__________；
（3）所抽取的学生的成绩的众数一定落在第二组内吗？为什么？
（4）若这次数学竞赛得奖率（含一、二、三等奖）为10%，则你估计评奖时所确定的最低分数线落在哪个分数段内？
分析：由于所抽取的所有数据都在49.5~69.5，69.5~89.5，89.5~109.5，109.5~129.5，129.5~149.5这五组内，因此这五组的频率之和为1．
解：（1）由题意知：第一、三、四、五组的频率分别为0.1、0.3、0.15、0.05，因此第二组的频率为；
（2）（人）；
（3）尽管第二组的频率最大，但所抽取的学生的成绩的众数却不一定落在第二组内．因为频数40表示的是处于69.5~89.5的各分数的人数之和，并不是得某一个分数的人数．
（4）抽样数据显示：130分以上（含130分）占5%，110分以上（含110分）占20%，而获奖率为10%，因此由样本可估计总体情况为：评奖时所确定的最低分数线落在109.5~129.5内．
探索：
（1）例1中所抽取的100名学生的竞赛成绩的中位数一定为89.5分吗？同学们，讨论一下，看看谁说得有理．
（2）从该统计图上所反映的成绩情况看，请你估计：109.5~119.5和119.5~129.5这两个分数段中哪个分数段的人数多？
例2．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，全班50名同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 答辩情况得分表 表2 民主测评票数统计表
A B C D E “好”票数 “较好”票数 “一般”票数
甲 90 92 94 95 88 甲 40 7 3
乙 89 86 87 94 91 乙 42 4 4
规定：
演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分=“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分；
综合得分=演讲答辩得分×（1－a）＋民主测评得分×a （其中0.5≤a≤0.8）．
（1）当时，甲的综合得分是多少？
（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？
分析：这是一个很常见的应用问题．评委打分经常采用“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法；而综合得分的计算公式中0.5≤a≤0.8则充分体现了“以生为本”的思想，真正体现了民主，让学生选出自己信得过的班长．
解：（1）甲的演讲得分＝＝92（分），
甲的民主测评得分＝40×2＋7×1 +3×0＝87（分），
当时，甲的综合得分＝92×（1－0.6）＋87×0.6＝89（分）．
（2）∵ 乙的演讲得分＝＝89（分），
乙的民主测评得分＝42×2＋4×1 +4×0＝88（分）
∴ 甲的综合得分＝，
乙的综合得分＝．
当时，，
当时，，
又∵ 0.5≤a≤0.8
∴ 当0.5≤a<0.75时，甲的综合得分高；当0.75
探索：某车间为了改善管理松散情况，准备采用每天任务定额、超产有奖的措施，以提高工作效率．下面是该车间15名工人过去一天中各自装配机器的数量（单位：台）：
6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，13，15，15，16
你认为管理者应从众数、中位数、平均数中选取哪个量确定为每人标准日产量最好？（注意：既要考虑到能促进工作效率的提高，又要不挫伤工人工作积极性．）
分析：上面15个数据中，众数为8，平均数为10.07，中位数为9．管理者如规定众数8为标准日产量，则绝大多数工人不需努力就可完成任务，不利于促进生产；如果规定平均数为标准日产量，