北师大版数学九年级上册 2.6 应用一元二次方程（2）教案

第2课时
整体设计
教学目标
【知识与技能】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　会分析实际问题中的等量关系,并能够用一元二次方程解决实际问题.
【过程与方法】
经历用方程解决实际问题的过程,知道解应用题的一般步骤和关键所在.
【情感态度与价值观】
通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻
画客观世界的有效模型,培养在生活中发现问题、解决问题的能力.
教学重难点
【重点】　列一元二次方程解实际问题.
【难点】　理解实际问题中变化的量,寻找正确的等量关系.
教学准备
【教师准备】　教材例2投影图片.
【学生准备】　复习列一元二次方程解决实际问题的步骤.
教学过程
新课导入　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导入一:
请同学们回忆并回答与利润相关的知识.
9折要乘90%或0.9或,那么x折呢
[设计意图]　通过回顾,使学生熟悉以利润为背景的实际问题中蕴含的数量关系.
导入二:
问题:某果园有100棵桃树,平均一棵桃树结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量,经试验发现,每多种一棵桃树,平均每棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树
分析:找出等量关系“现有桃树棵数×每棵桃树的现产量＝现在总产量”和“每棵桃树的现产量＝每棵桃树的原产量-2×多种的桃树棵数”,将未知数代入列出的代数式与方程即可.
[设计意图]　提出具体的问题,提高学生的探究欲望.
新知构建
例题讲解
　[过渡语]　同学们,下面我们用一元二次方程来解决生活中的实际问题.
(教材例2)新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现,当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
〔解析〕　找出等量关系“每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5000元”,如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价就是(2900-x)元,每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元,平均每天销售冰箱的数量为台.这样就可以列出一个方程,从而使问题得到解决.
解:设每台冰箱降价x元,由题意得:
(2900-x-2500)＝5000,
解方程得x1＝x2＝150,
经检验x＝150符合题意,是原方程的解,所以每台冰箱的定价是2900-150＝2750(元).
答:每台冰箱的定价应为2750元.
　　[过渡语]　同学们,解题思路不应拘泥于这一种,在利用上述方法解完此题后,谁有其他解题的思路和方法 要求定价为多少,直接设每台冰箱的定价应为x元,应如何解决
　　　某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销量就将减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少 这时应购进台灯多少个
〔解析〕　设这种台灯的售价应定为x元/个,已知这种台灯的售价每上涨1元,其月销售量就减少10个,为了实现平均每月10000元的销售利润,可列方程求解.
解:设这种台灯的售价应定为x元/个,
则(x-30)[600-10(x-40)]＝10000,
解得x1＝50,x2＝80(不合题意,舍去),
∴每月应购进台灯600-10(x-40)＝600-10×10＝500(个).
答:这种台灯的售价应定为50元/个,这时应购进台灯500个.
[设计意图]　通过这两个例题的讲解,进一步巩固列方程解决实际问题的方法.
[知识拓展]　一元二次方程与增长率问题:若原来的数量为a,平均每次增长或降低的百分率为x,经过第一次调整,就调整到a×(1±x),再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)＝a(1±x)2.
　(2014·大连中考)某工厂一种产品2013年的产量是100万件,计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率相同.
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率;
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件
〔解析〕　根据提高后的产量＝提高前的产量×(1＋增长率),设年平均增长率为x,则2014年的产量是100(1＋x),2015年的产量是100(1＋x)2,已知计划2015年产量达到121万件,列方程即可求得增长率,然后再求2014年该工厂的年产量.
解:(1)设2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率为x,
则100(1＋x)2＝121,
解得x1＝0.1＝10%,x2＝-2.1(舍去),
答:2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率为10%.
(2)2014年这种产品的产量为100(1＋0.1)＝110(万件).
答:2014年这种产品的产量应达到110万件.
课堂小结
1.用一元二次方程解决实际问题的一般步骤.
(1)审:审清题意,已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系;
(2)设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;
(3)列:列代数式,列方程;
(4)解:解所列的方程;
(5)验:是否是所列方程的根,是否符合题意;
(6)答:答案也必须是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
2.用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
所谓的列方程,其实质就是把要求的数用一个未知数(字母)表示,根据题目中提供的条件列出两个代数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有未知数),用等号把这两个代数式连接起来就得到了方程.
检测反馈
1.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.如果两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是 (　　)
A.100(1＋x)2＝81 B.100(1-x)2＝81
C.100(1-x%)2＝81 D.100x2＝81
解析:已知两次降价的百分率均是x,则第一次降价后价格为100(1-x)元,第二次降价后价格为100(1-x)(1-x)＝100(1-x)2元,根据题意找出等量关系:第二次降价后的价格＝81元,由此等量关系列出方程即可.故选B.
2.某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的年平均增长率应为多少
解:设原值为1,年平均增长率为x,
则根据题意得1×(1＋x)2＝2,
解这个方程得x1＝-1,x2＝--1.
因为x2＝--1不合题意,舍去,所以x＝-1≈41.4%.
答:这两年中财政净收入的年平均增长率约为41.4%.
3.为了绿化学校附近的荒山,某校初三年级学生连续三年春季上山植树,至今已成活了2000棵,已知这些学生在初一时种了400棵,若平均成活率为95%,求这个年级学生每年植树数的平均增长率.(精确到0.1%)
解:设这个年级学生每年植树数的平均增长率为x,
则第二年种了400(1＋x)棵,
第三年种了400(1＋x)2棵,
三年一共种了400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2棵,
三年一共成活了[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]×95%棵,
根据题意得[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]×95%＝2000,
解这个方程得x1≈0.624＝62.4%,x2≈-3.624＝-362.4%,
因为x2＝-362.4%不合题意,舍去,所以x＝62.4%.
答:这个年级学生每年植树数的平均增长率为62.4%.
4.学校去年年底的绿化面积为5000平方米,预计到明年年底增加到7200平方米,求这两年的年平均增长率.
解:设这两年的年平均增长率为x,
根据题意得5000(1＋x)2＝7200,
即(1＋x)2＝1.44,
开方得x＋1＝1.2或x＋1＝-1.2,
解得x＝0.2＝20%或x＝-2.2(舍去).
答:这两年的年平均增长率为20%.
板书设计
第2课时
1.复习导入
2.例题讲解
布置作业
【必做题】
教材第55页随堂练习.
【选做题】
教材第55页习题2.10的2,4题.