2022-2023学年湖南省常德市七年级（下）期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年湖南省常德市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各方程组中，属于二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2. 如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如果，那么代数式的值是( )
A. B. C. D.
5. 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是( )
A. B.
C. D.
6. 已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
8. 某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：请借鉴该同学的经验，计算：( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. ．
10. 因式分解： ．
11. 方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
12. 计算： ______ ．
13. 若，则 ______ ．
14. 计算： ______ ．
15. 已知长方形的边长为和，周长为，面积为，则的值为______ ．
16. 如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形，若，则长方形的周长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
17. 先化简，再求值：，其中，．
四、解答题（本大题共8小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
解方程组
；
．
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
因式分解
；
21. 本小题分
已知方程组与有相同的解，求和值．
22. 本小题分
已知：，，求：
的值．
的值．
23. 本小题分
入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进，两种抗洪物资吨，共用去万元，种物资每吨万元，种物资每吨万元．
求，两种物资各购进了多少吨？
该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运吨种物资和吨种物资，每辆小货车可运吨种物资和吨种物资，问租用的大、小货车各多少辆？
24. 本小题分
如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图形状拼成一个正方形．
你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：，，
已知，，求的值．
25. 本小题分
阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
利用配方法分解因式：；
当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
已知正数，，满足，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、有三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
B、最高次数为，不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
C、是二元一次方程组，故该选项符合题意；
D、含有分式，不是二元一次方程组，故该选项不合题意．
故选：．
根据二元一次方程组的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的定义，有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个一次方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程得：
，
解得：，
故选：．
把代入方程得出，再求出即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：和不是同类项，不能相加，故原选项计算错误，不合题意；
B.，故原选项计算错误，不合题意；
C.，故原选项计算错误，不合题意；
D.，故原选项计算正确，符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识逐项判断即可求解．
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识，熟知相关计算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：
，
，
，
则原式，
故选：．
根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.等式两边不相等，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
把可以用完全平方公式进行因式分解的结果写出来，确定的取值．
本题考查了公式法分解因式，掌握能运用完全平方公式分解因式的条件：必须是三项式，其中有两项能写成两个数或式的平方和的形式，另一项是这两个数或式的积的倍是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：大正方形的面积小正方形的面积，
矩形的面积，
故，
故选：．
由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
在前面乘一个，然后再连续利用平方差公式计算．
本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先算同底数幂的乘法，再合并同类项即可．
本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式即可．
本题考查了分解因式，能熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键，分解因式的方法有提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
11.【答案】
【解析】解：方程是关于，的二元一次方程，
，，
，，
．
故答案为：．
根据二元一次方程的定义列出关于，的方程，求出，的值再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据积的乘方运算法则计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
利用多项式乘多项式的法则，计算出，根据两个多项式相等，对应项对应相等，进行求解即可．
本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据积的乘方的逆运算计算即可．
本题主要考查了积的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，掌握积的乘方的逆运算及有理数的乘方运算法则是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
所以
．
故答案为：．
根据题意得，，再将因式分解，再代入求解即可．
本题考查了因式分解的应用，掌握用代数式表示题目的有关数量是关键．
16.【答案】
【解析】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
，
长方形的周长为．
故答案为：．
设小长方形的长为，宽为，根据长方形的对边相等及大长方形的宽为，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.【答案】解：原式
当，时，
原式
．
【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简能力和计算能力，题目比较好，难度适中．
18.【答案】解：，
得：，
解得，
把代入得：，，
方程组的解为；
，
整理方程组得：，
得：，，
把代入得：，，
方程组的解为．
【解析】利用加减消元法或代入消元法解方程组；
先去分母，再利用加减消元或代入消元法解方程组．
本题考查解一元二次方程组，掌握解一元二次方程组的方法是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
先去括号，再合并同类项，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】直接提取公因式，进而分解因式即可；
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
21.【答案】解：由已知可得，
解得，
把代入剩下的两个方程组成的方程组，
得，
解得，．
【解析】两个方程组的解相同，也就是有一组、的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．
解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力．
22.【答案】解：原式．
原式．
【解析】逆用同底数幂的乘法运算即可；
逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，解题关键是牢记公式．
23.【答案】解：设种物资购进了吨，种物资购进了吨，
由题意得：，
解得：，
答：种物资购进了吨，种物资购进了吨；
设租用的大货车为辆，小货车为辆，
由题意得：，
解得：，
答：租用的大货车为辆，小货车为辆．
【解析】设种物资购进了吨，种物资购进了吨，由题意：集团及时为灾区购进，两种抗洪物资吨，共用去万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设租用的大货车为辆，小货车为辆，由题意：每辆大货车可运吨种物资和吨种物资，每辆小货车可运吨种物资和吨种物资，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24.【答案】解：分
分
分
【解析】观察图形很容易得出图中的阴影部分的正方形的边长等于；
观察图形可知大正方形的面积，减去阴影部分的正方形的面积等于四块小长方形的面积，即；
由很快可求出．
本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起．要学会观察．
25.【答案】解：
；
，
此时，即，
那么当时，多项式有最小值，最小值为；
，
则，
即，
，，，
，，，
．
【解析】根据材料配方后因式分解即可；
配方后利用偶次幂的非负性即可求得答案；
配方后利用偶次幂的非负性即可求得答案．
本题考查因式分解及其应用，中配方得，中配方得是解题的关键．
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