2022-2023学年上海市闵行区重点中学高二（下）6月联考数学试卷（Word含解析）

2022-2023学年上海市闵行区重点中学高二（下）6月联考数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的二项展开式中，二项式系数最大的项是第项．( )
A. B. C. 和 D. 和
2. 将名新老师安排到，，三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是( )
A. B. C. D.
3. 已知，则被除所得的余数为( )
A. B. C. D.
4. 已知，，为整数，集合中的数从小到大排列，组成数列，如，，( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 小张同学计划从本历史类读本、本军事类读本和本哲学类读本中任选本阅读，则不同的选法共有______种．
6. 五名旅客在三家旅店投宿的方法有______ 种
7. 计算： ______ ．
8. 在名男生和名女生中选出人，至少有一名男生的选法有______ 种填写数值
9. 若，则 ______ ．
10. 用数字、、、、、组成没有重复数字的五位数，其中能被整除的数共有______个．
11. 在的展开式中，含项的系数为______用数字作答
12. 今有个红球、个黄球、个白球，同色球不加以区分，将这个球排成一列有_________种不同的方法用数字作答．
13. 将序号分别为，，，，的张参观券全部分给人，每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号，那么不同的分法种数是______．
14. “赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的名队员中有人只会划左桨，人只会划右桨，人既会划左桨又会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有______种．
15. 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种______ ．
16. 定义域为集合上的函数满足：；；、、成等比数列；这样的不同函数的个数为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程；
．
18. 本小题分
晚会上有个不同的歌唱节目和个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：
个舞蹈节目排在一起；
个舞蹈节目彼此分开；
个舞蹈节目先后顺序一定；
前个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．
19. 本小题分
已知的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大，求的值；
求展开式所有的有理项；
求展开式中系数最大的项．
20. 本小题分
设函数，其中．
当时，求函数在处的切线方程；
讨论的单调性；
若的图象与轴没有公共点，求的取值范围．
21. 本小题分
我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，，，，，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为．
求和的值；
求的值；
当为偶数时，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：展开式中共有项，
据展开式中中间项的二项式系数最大，
故第项的二项式系数最大，
故选：．
直接根据展开式中间项的二项式系数最大得出第项的二项式系数最大．
本题考查二项式系数的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：将名新教师安排到，，三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：，，，学校有两名新老师：；学校有两名新老师：；学校有两名新老师：，
所以共有种情况．
故选：．
分类讨论，，分别有两名新教师的情况，进而计算出名新教师安排到，，三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况．
本题主要考查组合及简单计数问题，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
又因为，
又因为都是的倍数，
所以被除所得的余数为．
故选：．
根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：当时，只能取，只能取，故符合条件的项有项；
当时，和从，，中取两个，故符合条件的项有项；
同理，当时，符合条件的项有项；
以此类推可知，因为；
是当时，，，所组成的最小的项，即，；
；
故选：．
根据条件，通过限定的取值，先判断符合条件的项有多少，将数列问题转化为排列组合问题；再推断项所在的位置，进而求得的值．
本题考查了数列的概念，排列组合，跨知识点，有一定的综合性，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据分类加法计数原理可知，小张同学计划从本历史类读本、本军事类读本和本哲学类读本中任选本阅读，共有种不同的选法．
根据分类加法计数原理可解决此题．
本题考查分类加法计数原理应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：完成这件事，可分成五个步骤：
第一步安排一名旅客，有种投宿方法，
同理第二步，第三步，第四步，第五步依次安排一名旅客，都各自有种方法，
根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有种；
故答案为：．
根据题意，分析可得：完成这件事，可分成五个步骤：每一步依次安排一名旅客，都各自有种方法，由分步计数原理，计算可得答案．
本题考查分步计数原理的运用，解题时首先要分析题意，明确题目中的关系，是分步问题还是分类问题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，
当时，令，即可得．
故答案为：．
由二项式定理性质可知所有二项式系数和为，即可得出结果．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知：在名男生和名女生中选出人，至少有一名男生的选法有种，
故答案为：．
由排列组合知识得：至少有一名男生的选法有种，得解．
本题考查了排列组合知识，属简单题．
9.【答案】
【解析】解：，令，可得，
再令，可得，
，
故答案为：．
由题意利用二项展开式的通项公式，求得的值，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若个位数是，则有，
若个位数是，则有，
则共有个，
故答案为：．
分别讨论个位数是和，进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：表示个因式的乘积，故其中有个因式取，
个因式取，剩下的个因式取，可得含项，
故含项的系数为，
故答案为：．
根据乘方意义，应用排列组合的知识，求出含项的系数．
本题主要考查乘方意义，排列组合的知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题．
先在个位置中选个位置排白球，有种排法，再从剩余的个位置中选个位置排红球，有种排法，
剩余的三个位置排黄球有种排法，
所以共有．
答案：．
先在个位置中选个位置排白球，有种排法，再从剩余的个位置中选个位置排红球，有种排法，剩余的三个位置排黄球有种排法，由乘法原理可得答案．
本题考查排列组合的基本知识．分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简，达到求解的目的．
13.【答案】
【解析】解：张参观券全部分给人，分给同一人的张参观券连号，方法数为：和，和，和，和，四种连号，其它号码各为一组，分给人，共有种．
故答案为：．
求出张参观券全部分给人，每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号的组数，然后分给人排列即可．
本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
14.【答案】
【解析】解：按所选的人中所含会划左右桨的人数分类：
人中有人会划左右桨，则只有种方法；
人中有人会划左右桨，则有种方法；
人中有人会划左右桨，则有种方法；
故共有种方法．
故答案为：．
按照人中含能划左右桨的人数分类，然后利用计数原理结合排列组合数公式求解即可．
本题考查排列组合问题的综合应用，同时考查学生的逻辑推理能力，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，设取出红球个，白球个，有，，且、，
则有，
解可得，或，
则不同的取法有；
故答案为
根据题意，设取出红球个，白球个，可得关于、的不等式组，解可得、的值，进而由组合数公式计算每种情况的取法数目，并结合加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，关键在于分析题意，列出关于、的不等式，得到取出红球、白球的数目情况．
16.【答案】
【解析】解：经分析，的取值的最大值为，最小值为，并且成以为公差的等差数列，
故的取值为，，，，，．
的取值为，，，，，，，，，，，，
所以能使中的、、成等比数列时，、、的取值只有两种情况：
、、；、、．
，，或者，即得到后项时，把前项加或者把前项减．
当、、时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从变化到，第二步：从变化的．
从变化到时有次变化，函数值从变化到，故应从次中选择步加，剩余的两次减对应的方法数为种．
从变化到时有次变化，函数值从变化到，故应从次变化中选择次增加，剩余两次减少，对应的方法数为种．
根据分步乘法原理，共有种方法．
当、、时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从变化到，第二步：从变化的．
从变化到时有次变化，函数值从变化到，故应从次中选择步加，剩余的次减对应的方法数为种．
从变化到时有次变化，函数值从变化到，故应从次变化中选择次增加，对应的方法数为种．
根据分步乘法原理，共有种方法．
综上，满足条件的共有：种．
故填：．
分析出的所有可能的取值，得到使中、、成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数的个数即可．
解决本题的难点在于发现的取值规律，并找到使、、成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．
17.【答案】解：，
则或，解得或；
，即，
化简得到：，解得或舍去．
【解析】根据得到或，计算得到答案；
根据排列公式计算得到答案．
本题主要考查排列数、组合数的公式，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，个舞蹈节目要排在一起，可以把三个舞蹈节目看做一个元素，三个舞蹈节目本身有种顺序，
再和另外个元素进行全排列，
则有不同的节目单．
个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，
先把个唱歌节目排列，形成个位置，选三个把舞蹈节目排列，
有不同的节目单．
个节目全排列有种方法，其中三个舞蹈节目本身有种顺序，
若个舞蹈节目先后顺序一定，
则有种不同排法．
个节目全排列有种方法，
若前个节目中“既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目”的否定是前四个节目全是唱歌有，
前个节目中要有舞蹈有不同的节目单．
【解析】本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，属于中档题．
要把个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．
个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把个唱歌节目排列，形成个位置，选三个把舞蹈节目排列．
使用倍分法分析：先求出个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案，
先不考虑限制条件，个节目全排列有种方法，前个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．
19.【答案】解：令可得，展开式中各项系数之和为，
而展开式中的二项式系数之和为，，，
；
当为整数时，为有理项，则或
所以展开式所有的有理项为：，；
设第项最大，且为偶数
则，解得：，
所以展开式中系数最大的项为：．
【解析】先求各项系数和，再求二项式系数和计算求解即可；
先写出展开式的通项公式，按照有理项求解即可；
根据通项公式求出系数，计算系数最大可得，再应用通项公式求解即得．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：．
由题意，的定义域为，
，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
故函数在上单调递减，在上单调递增．
由知函数的最小值为，
又，且的图象与轴没有公共点，
只需的最小值恒大于，即恒成立，
故，得，
所以的取值范围为．
【解析】利用导数求出切线的斜率，得切线方程；
求出函数导数，解关于导函数的不等式即可得出单调区间；
根据函数有最小值，只需满足最小值大于即可得解．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数单调性，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，
它们的范数依次为，，，，
，；
当为奇数时，在向量的个坐标中，
要使得范数为奇数，则的个数一定是偶数，可按照含个数为，，，，进行讨论：的个坐标中含个，其余坐标为或，
共有个，每个的范数为；的个坐标中含个，其余坐标为或，
共有个，每个的范数为；的个坐标中含个，其余坐标为或，
共有个，每个的范数为；，，，
两式相加除以得：，
；
证明：当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，则的个数一定是奇数，
所以可按照含个数为：，，，进行讨论：的个坐标中含个，其余坐标为或，共有个，
每个的范数为；的个坐标中含个，其余坐标为或，共有个，
每个的范数为；的个坐标中含个，其余坐标为或，共有个，
每个的范数为；所以，，
因为 ，，
得，，
所以，
因为，
所以．
【解析】根据新定义计算即可；
类比，结合排列组合的知识，二项式定理，求解即可；
类比的考虑方法，可得，，由二项式定理可得，根据组合数的运算性质化简得解．
本题主要考查了新定义问题，考查了排列组合知识和二项式定理的应用，属于难题．
第1页，共1页