平行线与相交线[下学期]

第三章 平行线与相交线
一、基础知识梳理
（一）主要概念
1．互为余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．
2．互为补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为平角．
3．对顶角：如图，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
4．同位角、内错角、同旁内角：如图，直线AB、CD被直线EF所截，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角．∠3与∠4也是同位角；具有∠7与∠2这样位置关系的角称为内错角，∠5与∠4也是内错角；具有∠5与∠2这样位置关系的角称为同旁内角．∠7与∠4也是同旁内角．
图中还有∠5与∠6，∠7与∠8也是同位角．
（二）主要性质
1．同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．
2．对顶角相等．
3．两直线平行的条件
4．平行线的特征
二、考点与命题趋向分析
（一）能力
1．了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等，对顶角相等．
2．知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质．
（二）命题趋向分析
1．本章内容非常重要，但一般不单独出题，在大题中经常会用到本章内容．
2．在近几年的中考试题中，几何图形的操作与变换成为考查的重点之一．主要考查对图形的观察能力，对图形运动变化的分析能力，对图形操作动手能力和逻辑思维能力．主要以选择、解答题为主．
【例1】（2003年福建）如图所示，已知点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，∠D=∠ECA，EC=FD．试说明AE=BF．
【分析】根据点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，且∠D=∠ECA，EC=FD，可知三形AEC向右平移CD长便可得到三角形BFD，所以对应线段AE=BF．
【解】∵点A、B、C、D在同一条直线上且AB=CD．
∵AC向右平移CD长重合于FD．
∴△AEC向右平移CD长重合于△BFD．
∵AE和BF是对应线段．
∴AE=BF．
三、解题方法与技巧
方法1：方程思想
【例1】一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．
【分析】可列方程求解．
【解】设这个角为x°，则它的余角为（90-x）°它的补角为（180-x）°，根据题意得．
90-x=（180-x）-20）
x=75
答：这个角是75°．
【规律总结】可用代数方法解决几何问题．关键是利用余角、补角的概念，根据等量关系列方程．
方法2：数形结合思想
【例2】如图，由点O引出六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB=90°，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF=170°，求∠COD的度数．
【分析】∠EOF=∠FOC+∠COD+∠DOE，∠COF=∠BOC，∠EOD=∠AOD．
【解】设∠COD=x°，∠BOC+∠AOD=y°，
则
解得
∴∠COD=70°
【规律总结】本题通过观察图形，根据各角之间的关系，建立方程组，求出∠COD的度数．
方法3：分类讨论思想
【例1】 已知∠AOC=90°，∠AOC：∠AOB=3：2，求∠BOC的度数．
（1） (2)
【分析】∠AOB可能在∠AOC外部，也可能在∠AOC内部，须分类讨论．
【解】如图（1）、（2）
∵∠AOC=90°，∠AOC：∠AOB=3：2
∴∠AOB=60°
当∠AOB在∠AOC内部时，
∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°
当∠ABO在∠AOC外部时，
∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+60°=150°
∴∠BOC的度数为30°或150°．
方法4：转化思想
【例4】如图所示，从A地到B地要经过一条小河（两岸平行），今在河上建一座桥，应如何选择桥的位置才能使从A到B的路程最短？
【分析】桥必须与河岸垂直，所以，不论桥建在何处，桥长这段路程是固定不变的，只需使A到河北岸与B到河南岸这两段路程的和最短即可，所以可以想象取消河宽，即将南岸连同点B一起向北平移一个河宽（南岸与北岸重合，B平移到B′），连接AB′交北岸于点C，则C即B′C为建桥位置．
【解】将点B沿垂直于河岸的方向向河岸平移一个河宽至点B′，连接AB′，交河对岸于C，则点C即为建桥位置，CD即为所建的桥．
根据平移的特征可知，BD∥B′C，BD=B′C．
∴A，B两地路程为CD+AC+BD=CD+AC+B′C=CD+AB′．
若桥建在C′处，则A，B两地路程为AC′+C′D′+BD′=CD+AC′+B′C′（因为CD=C′D′，BD′=B′C′）．
在△AB′C′中，AB′∴CD+AB′所以桥的位置选在C点处A，B两地路程最短．
方法5：分析法与综合法
【例5】如图所示，两条直线AB、CD被EF、MN所截，∠1=∠2．
求证：∠3=∠4.
证法一（分析法）
∵∠4=∠5，欲证∠3=∠4，只需证∠3=∠5．
∵∠3与∠5是一对同位角，
∴只需证AB∥CD，
由已知∠1=∠2可证AB∥CD．故∠3=∠4．
证法二（综合法）
∵∠1=∠2（已知）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠3=∠5（两直线平行，同位角相等）
∵∠4=∠5（对顶角相等）
∴∠3=∠4（等量代换）
【规律总结】分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”，一般用分析法找解题思路，用综合法写解题过程．有时比较困难的问题在分析时常常要逆推和顺推同时使用，称为“两头凑”．
四、中考试题归类解析
（一）余角、补角
【例1】（2003，北京海淀）若∠α=30°，则∠α的补角为（ ）．
A．30° B．60° C．120° D．150°
【思路分析】按一个角的补角的定义与求法计算即可．
【解】∠α的补角＝180°－∠α＝180°－30°＝150°
故应选：D
【规律总结】这类求角的问题在中考试题中都出现在选择题与填空题中．
【例2】（2004，河北）已知∠α=68°，则∠α的余角等于___________．
【思路分析】按互为余角定义解此题．
【解】∠α的余角＝90°－∠α＝90°－68°＝22°
（二）平行线
【例1】（2004，龙岸）如图所示，a∥b，c与a、b相交，若∠1=50°，则∠2=_____．
【思路分析】本题主要考查平行线的性质，由a∥b可知∠1+∠2=180°
可得∠2=130°
【解】答案：130°
【规律总结】虽然这类题比较简单，但中考题中出现的比较多因此平行线的性质还是要记牢的．
【例2】（2004，宜昌）如图所示，AB∥CD，那么∠A+∠C+∠AEC=（ ）
A．360° B．270° C．200° D．180°
【思路分析】本题主要考查平行线的性质，过E作EF∥AB，可知EF∥CD
所以∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°
所以∠A+∠C+∠AEC=360°
【解】答案：A
【规律总结】要掌握本类题引辅助线的方法．
（三）作图
【例1】（2003，长沙）如图，已知线段AB，在图中作线段AB的垂直平分线CD（不写作法，保留作图痕迹）
【思路分析】此题比较简单按作线段垂直平分线方法就可作出．
作法：如图所示
所以直线CD就是所求．
【例2】（2004，镇江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°．
（1）作AB边的垂直平分线DE交AC于点D，AB于点E，连结BD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，若BC=1，则AC=_______，tanA=_______．
【解】（1）作法：如图所示直线DE就是所求，线段BD就是所要连结的．
（2）∵DE垂直并平分AB
∴AD=DB ∠A=∠ABD
∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°
又∵∠BDC=30° BC=1
∴BD=2
∴AD=2
DC= = =
∴AC=AD+DC=2+
∴tanA===2-
【规律总结】线段的垂直平分线的性质对计算，证明问题有时作用是很大的，所以它的画法与性质都需要我们记住．
五、中考试题集萃
一、填空题
1．（2004，徐州）已知∠α=63°，那么它的余角等于_________．
2．（2004，云南）如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FH平分∠EFD，若∠1=110°，则∠2=________．
(1) (2) (3)
3．（2004，吉林）如图2，∠A的补角等于120°，∠B等于40°，则∠C的度数是________．
4．（2004，无锡）如图3，已知a∥b，∠2=140°，∠1________．
5．（2004，厦门）已知：∠A=30°，则∠A的补角是______度．
6．（2004，广州）如图4，直线AB∥CD，∠1=75°，则∠2的大小为______．
(4) (5) (6) (7)
二、选择题
1．（2004，南通）已知等腰三角形的一个底角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．150° B．120° C．75° D．30°
2．（2004，海南省）如图5，直线a、b被直线c所截，且a∥b，若∠1=40°，则下列各式中，错误的是（ ）
A．∠2=40° B．∠3=40° C．∠4=40° D．∠5=50°
3．（2004，烟台）如图6，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．（2004，陕西）如图7，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
三、解答题
1．（2003，湘潭）如图，107国道OA和320国道OB在我市相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等，且使PC=PD，用尺规作出货站P的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
2．（2003，南京市）只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：
（1）在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴．
①量出底边BC的长度，将线段CD二等分，即画出BC的中点D；
②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．
（2）在图2中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．
答案
一、填空题：
1．27 2．35° 3．80° 4．40° 5．150 6．105
二、选择题：1．B 2．D 3．D 4．B
三、解答题
1．找角平分线与线段垂直平分线交点就是P点．
2．（1）略；（2）画图略．
画图方法：①利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC、OD，使CO=OD；
②连结CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E；
③画直线OE，直线OE即为∠AOB的对称轴．
- 1 -