北师大版数学九年级下册4.4 圆周角和圆心角的关系 （第1课时）教学课件（共24张ppt）
文档属性
| 名称 | 北师大版数学九年级下册4.4 圆周角和圆心角的关系 （第1课时）教学课件（共24张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-18 13:06:33 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第 1 课时
学习目标
1．经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.
2．理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论.
3．体会分类、归纳等数学思想方法.
情境导入
在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系呢？
探究新知
想一想 观察图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，你能发现它们有什么共同特征吗？
答：发现：
（1）它们的顶点都在圆上；
（2）两边分别与圆有另一个交点．
归纳 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
探究新知
做一做 如图，∠AOB=80°．
（1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．
探究新知
答：（1）能画出无数个，如下图所示．
通过度量可以发现：∠ADB，∠ACB，∠AEB这几个圆周角相等．
探究新知
（2）通过度量可以发现：这些圆周角都等于圆心角∠AOB的一半．
证明：如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交 于点M．
∵OB=OC，∴∠1=∠2．
又∵OA=OC，∴∠4=∠5．
探究新知
又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，
∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，
∠AOB=2∠ACB．
∴∠ACB= ∠AOB= ×80°=40°．
结论：这样的圆周角有许多个，只要在 上任取一点且与点A，B分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB的一半．
探究新知
议一议 在下图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？
答：改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立．
证明过程如下：
探究新知
已知：如图，∠C是 所对的圆周角，∠AOB是 所对的圆心角．求证：∠C= ∠AOB．
分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：
探究新知
（1）圆心O在∠C的一条边上，如下图（1）；
（2）圆心O在∠C的内部，如下图（2）；
（3）圆心O在∠C的外部，如下图（3）．
探究新知
证明：（1）圆心O在∠C的一条边上，如图（1）．
∵∠AOB是△AOC的外角，
∴∠AOB=∠A+∠C．
∵OA=OC，∴∠A=∠C．
∴∠AOB=2∠C，
即∠C= ∠AOB．
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
探究新知
证明：（2）如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交 于点M．
∵OB=OC，∴∠1=∠2．
又∵OA=OC，∴∠4=∠5．
探究新知
又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，
∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即
∠AOB=2∠ACB．
∴∠ACB= ∠AOB．
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
探究新知
证明：(3) 过点C做直径CD,由（1）可得：
∠AOD=2∠ACD，
∠BOD=2∠BCD,
∴∠AOB= 2∠ACB．
∴∠ACB= ∠AOB
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
D
探究新知
想一想 在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
探究新知
答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因为∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同弧（ ）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于 所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等．
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等
典例精析
例 如图，⊙O的直径AB=8 cm，∠CBD=30°，求弦DC的长
解：如图，连接OC，OD，
则OC=OD=4 cm，
∠COD=2∠CBD=60°．
故△COD是等边三角形．
所以CD=4 cm．
课堂练习
1．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数为（ ）．
A．15° B．20°
C．25° D．30°
2．如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点P在劣弧CD上，是不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）．
A．45° B．60°
C．75° D．90°
D
A
课堂练习
3．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是优弧AB上一点，D，E是 上不同的两点（不与A，B两点重合），则∠D+∠E的度数为（ ）．
A．m B．180°-
C．90°+ D．
4．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BD于点D，若∠B=55°，则∠BOC的度数是__________．
B
70°
课堂练习
5．如图，在⊙O中，∠O=50°，
∠A= ．
6．如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？
25°
答：∠BDC=∠BAC；
还能找到∠ABD=∠ACD，∠CAD=∠CBD，∠ADB=∠ACB．
课堂练习
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数．
解：∵∠C=100°，
∴ 所对的圆心角=2∠C=200°．
∴∠BOD=360°-200°=160°．
又∵∠A= ∠BOD，
∴∠A= ×160°=80°．
课堂小结
1．圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
3．圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等．
再见
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第 1 课时
学习目标
1．经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.
2．理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论.
3．体会分类、归纳等数学思想方法.
情境导入
在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系呢？
探究新知
想一想 观察图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，你能发现它们有什么共同特征吗？
答：发现：
（1）它们的顶点都在圆上；
（2）两边分别与圆有另一个交点．
归纳 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
探究新知
做一做 如图，∠AOB=80°．
（1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．
探究新知
答：（1）能画出无数个，如下图所示．
通过度量可以发现：∠ADB，∠ACB，∠AEB这几个圆周角相等．
探究新知
（2）通过度量可以发现：这些圆周角都等于圆心角∠AOB的一半．
证明：如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交 于点M．
∵OB=OC，∴∠1=∠2．
又∵OA=OC，∴∠4=∠5．
探究新知
又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，
∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，
∠AOB=2∠ACB．
∴∠ACB= ∠AOB= ×80°=40°．
结论：这样的圆周角有许多个，只要在 上任取一点且与点A，B分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB的一半．
探究新知
议一议 在下图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？
答：改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立．
证明过程如下：
探究新知
已知：如图，∠C是 所对的圆周角，∠AOB是 所对的圆心角．求证：∠C= ∠AOB．
分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：
探究新知
（1）圆心O在∠C的一条边上，如下图（1）；
（2）圆心O在∠C的内部，如下图（2）；
（3）圆心O在∠C的外部，如下图（3）．
探究新知
证明：（1）圆心O在∠C的一条边上，如图（1）．
∵∠AOB是△AOC的外角，
∴∠AOB=∠A+∠C．
∵OA=OC，∴∠A=∠C．
∴∠AOB=2∠C，
即∠C= ∠AOB．
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
探究新知
证明：（2）如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交 于点M．
∵OB=OC，∴∠1=∠2．
又∵OA=OC，∴∠4=∠5．
探究新知
又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，
∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即
∠AOB=2∠ACB．
∴∠ACB= ∠AOB．
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
探究新知
证明：(3) 过点C做直径CD,由（1）可得：
∠AOD=2∠ACD，
∠BOD=2∠BCD,
∴∠AOB= 2∠ACB．
∴∠ACB= ∠AOB
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
D
探究新知
想一想 在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
探究新知
答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因为∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同弧（ ）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于 所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等．
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等
典例精析
例 如图，⊙O的直径AB=8 cm，∠CBD=30°，求弦DC的长
解：如图，连接OC，OD，
则OC=OD=4 cm，
∠COD=2∠CBD=60°．
故△COD是等边三角形．
所以CD=4 cm．
课堂练习
1．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数为（ ）．
A．15° B．20°
C．25° D．30°
2．如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点P在劣弧CD上，是不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）．
A．45° B．60°
C．75° D．90°
D
A
课堂练习
3．如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是优弧AB上一点，D，E是 上不同的两点（不与A，B两点重合），则∠D+∠E的度数为（ ）．
A．m B．180°-
C．90°+ D．
4．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BD于点D，若∠B=55°，则∠BOC的度数是__________．
B
70°
课堂练习
5．如图，在⊙O中，∠O=50°，
∠A= ．
6．如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？
25°
答：∠BDC=∠BAC；
还能找到∠ABD=∠ACD，∠CAD=∠CBD，∠ADB=∠ACB．
课堂练习
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数．
解：∵∠C=100°，
∴ 所对的圆心角=2∠C=200°．
∴∠BOD=360°-200°=160°．
又∵∠A= ∠BOD，
∴∠A= ×160°=80°．
课堂小结
1．圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
3．圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等．
再见