(共8张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
A
逐点突破
知识点1
求已知锐角的三角函数值
1.用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正
确的是
(A)
A.
o/10
sin
2
B.
o110
sin
2
C.SHIFT
o110
sin
D
sin
2
3
2.用计算器求
(1)sin23°13=
0.3942
(精确到0.0001)：
(2)c0s52°18=
0.6115
(精确到0.0001)；
(3)tan61°44'28′=1.86
(精确到0.01).
知识点2
由三角函数值求锐角
3.已知sinA=0.1782,则锐角A的度数大约为
(C)
A.8°
B.9°
C.10°
D.11°
4.(陕西师大附中期末)用科学计算器计算
w5-1
sin37.5°（比较大小）.
2
5.已知下列锐角α的各三角函数值，用计算器求
锐角α：（精确到1"）
(1)sina=0.6725;
(2)c0sa=0.8607;
(3)tana=100.
解：(1)a^≈42°1537"：
(2)a^≈303617'；
(3)a≈89°2537'.
3)
实践进取
6.如果∠A为锐角，且c0sM=子，那么∠A的取
值范围是
(C)
A.0°<∠A<30
B.30°<∠A<45
C.45°<∠A<60
D.60°<∠A<90
7.用计算器计算c0s10°，cos20°，c0s30°，…，
cos90°的值，总结规律，并用此规律比较当
0°<>cosB.
8.用计算器比较下列锐角α与B的大小：
(1)c0sa-￥amg-子：
解：a(2)sina=0.4567,c0s3=0.5678.
解：a素养提升
9.(1)判断下列两组数值的关系：
2sin30°·cos30°与sin60°；
2sin15°·cos15°与sin30°（提示：sin15°=
√6-√
,cos15°=6+2).
4
(2)用一句话概括上面的关系.
(3)试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验
证上述结论是否成立.
(4)如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出
这个关系式
解：)2sin30·c0s30=2×7X9S
2
,sin60°=
,2sin15°·cos15°=2×6-2×6+y2=
2
4
4
2
sin30°=
2,2
sin30°·c0s30°=sin60°，2sin15°.
c0s15°=sin30°.
(2)一个锐角的正弦值与余弦值的乘积的2倍，等于
该锐角的2倍的正弦值.
(3)略.
(4)2sina.cosa sin2a.(共16张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
A
逐点突破
知识点1
勾股定理
1.直角三角形三边的长分别为3,4，x,则x可能
取的值为
(C)
A.5
B.6或7
C.5或7D.√/7
2.如图，在△ABC中，∠C=
90°，D是BC边上一点，AB
=17 cm,AD=10 cm,AC=
B
8cm,则BD的长为
9 cm
知识点2
直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半
3.如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中
点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为
1.2km,则M,C两点间的距离为
(D)
A.0.5 km
B.0.6 km
C.0.9 km
D.1.2 km
A
B
M
D
B
(第3题图)
(第4题图)
5.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,D是BC边上
的一点，且AD⊥AB,E是BD的中点，连接
AE.求证：∠AEC=∠C.
证明：.AD⊥AB,.∴.△ABD
为直角三角形.
B
.E是BD的中点，·∴.AE=
E
2D.2 BD.A=
BE,.∴.∠B=∠BAE..·∠AEC=∠B+∠BAE,..
∠AEC=∠B+∠B=2∠B.又.·∠C=2∠B,.∴.
∠AEC=∠C.
知识点3
在直角三角形中，30°角所对的直
角边等于斜边的一半
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
BC=4cm,则AB的长为
(B
A.9 cm
B.8 cm
C.7
cm
D.6
cm
B
D
30
E
(第6题图
(第7题图)
7.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=
30°，AC=6.沿DE折叠，使得点A与点B重
合，则折痕DE的长为2
8.如图，为了测量河岸边两点B、C间的距离，在
河的一侧取一点A,使点A可到达点B、C.经
测量得知∠A=150°，AB=2√3米，AC=2米，
则B、C两点间的距离为2√7米.
B
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥
AB,∠B=30,求证：AD=AB.
证明：.∠A+∠ACD=90°，
∠A+∠B=90°，.∴.∠ACD=
∠B=30°，.∠ADC=90°，4
B
∴AD=2AC同理AC=2ABAD=AB.
3)
实践进取
10.如图，在△ABC中，∠C=
90°，AC=3,∠B=30°，点P
是BC边上的动点，则AP
30
B
P
长不可能是
A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7(共9张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
A
逐点突破
知识点1)
特殊角的三角函数值
1.(天津中考)2sin60°的值等于
C
A.1
B.√2
C.√3
D.2
2.计算：c0s245°+sin45°=
B
、
1
B.1
G
D.
4
2
3.(教材P1o9T2变式)计算：
(1)2c0s230°-2sin60°·c0s45°；
酥：原式=2×（受？-2×空×号
=3-6
2
(2)sin230°+2sin60°+tan45°-tan60°
+c0s230°；
解原式=(22+2×+1-3+（受
=2;
知识点2
已知三角函数值求特殊角
4在R△ABC中，/C=90,0sA=2,那么
∠B的度数为
(C
A.609
B.45°
C.30
D.30°或60°
5.（成都实验外国语学校西区期中)已知α是锐
角，H满足sim(a一10)-)则e的度数为
(B
A.30°
B.40
C.45°
D.60
6.李红同学遇到了这样一道题：√3tan(a十20°)
=1,你猜想锐角α的度数应是
D
A.40°
B.30°
C.20
D.109
实践进取
7.(教材P1o9T2变式)式子2cos30°一tan45°
√/(1-tan60)2的值是
(B)
A.23-2B.0
C.2√3
D.2
8.在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且
co-
+(1一tanB)2=0,则∠C的度
数为
(C)
A.45°
B.60°
C.75°
D.105°
9.（易错题)若a为锐角，且tana一（√3十1）tana十
√3=0，则锐角α的度数为
45°或60°.
10.计算：
(1)(内江中考)28+1(-2)-2cs45:
解：原式=2×2,2+2-2
2
=√2+2-√2
=2;
(2)(德阳中考)/12+(3.14-π)0-3tan60°
+1-3+(-2)-2.
解：原式=23+1-3×3+3-1+4
=23+1-33+3-1+4
1
4
秦养提升
11.进入高中后，我们还会学到下面的三角函数
公式：
sin(aB)=sinacosBcosasinB,
cos(a+B)-cosacosB-sinasinB,
tan(a+8)-
tangtanB
1-tana·tan
(1-tana·tan≠
0)
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函
数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°=
tan(45°+60)=
tan45°+tan60°
1+√3
1-tan45°·tan60°
1-1×w3
(1+3)(1+√3)
4+2W3
=-(2+√3).
(1-√3)(1+√3)
-2(共17张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
逐点突破
知识点
坡度、坡角与解直角三角形
1.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是
1:√3，坝高BC=10m,则坡面AB的长度是
(D
A.15m
B.20√3mC.10√3mD.20m
B
B
10
(第1题图)
(第2题图
2.如图，有一拦水坝的横断面是梯形ABCD,
AD∥BC,AB=CD,∠B=∠C,它的上底是6
米，下底是10米，高是23米，则拦水坝斜坡
的坡比i和坡角α分别是
(B)
A.1:J3,609
B.√3,60°
C.√3,30°
D.1:3,309
3.如图，一山坡的坡度为i=
B
1√3，小颖从山脚A出发，沿
i=1:3
山坡向上走了200m到达点
A
C
B,则小颖上升了100
m,
4.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝
顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i
=1:2.5,斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD
的长度.（精确到0.1米，参考数据√2≈1.414，
3≈1.732)
解：作BE⊥
AD,CF AD,
i=1:2.5
30
垂足分别为点
A
E,F,则四边形BCFE是矩形，则BC=EF=6米，
BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在
Rt△ABE中，
BE
AE
2.5
.∴.AE=50米.在Rt△CFD
中，∠D=30°，.∴.DF=
CF
tanD
=20W/3米，.∴.AD=AE+
EF+FD=50+6+20W3≈90.6米.故坝底AD的长
度约为90.6米.
5.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯
式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，
已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m,坡角
∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡
角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自
动扶梯AC的长度.（结果精确到0.1m,参考数
据：sinl5≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27)
C
15
解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m,.∴.AD=
AB·sin∠ABD=10Xsin30°=5m,在Rt人ACD中，
A
AD
∠ACD=15,sin∠ACD=
C...AC=
A
sinACD
5
5
sin15°
≈19.2m,即改造后的斜坡式自动扶梯
0.26
AC的长度约为19.2m.
6.(遂宁中考)数学兴趣小组到一公园测量塔楼
高度.如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同
一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点
E的仰角∠GAE=50.2°，台阶AB长26米，
台阶坡面AB的坡度i=5：12,然后在点B
处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF=63.4°，
则塔顶到地面的高度EF约为多少米？（参考
数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，
sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89)(共18张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
A
逐点突破
知识点1
解直角三角形
1.（临汾期中)在Rt△ABC中，有下列情况，则
直角三角形可解的是
(B
A.已知BC=6,∠C=90
B.已知∠C=90°，/A=60°，BC=5
C.已知∠C=90°，/A=∠B
D.已知∠C=∠B=45
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，c=10,
下列各式正确的是
(C)
10
A.b=10sin35°
B.6=
sin35
C.b-10cos35
D.6-10tan35
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=10,c=10W2,
则∠A=45°.
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件獬
直角三角形
(1)b=2W2,c=4;
解：sinB=b=22
=
C
4
∠B=45,∠A=
2
90°-∠B=45°，sinA=g,.a=cin4=4×
sin45°=2√W2;
(2)a=8W5,b=8√15；
解：∵tan4=
85
=
b
8/15
5A30B庄
90°-∠A=60°，sinA=a,.c
、
a
8√5
sinA
sin30°
16√5；
(3)∠B=60°，b=3;
i:∠A=90-∠B=30,smB=名e=
b
sinB
=
sin60°
3
2,sinA=g,a=osinA=2×
2
2
=1;
知识点2
解直角三角形的简单应用
5.(衡阳中考)如图是某商场营业大厅自动扶梯
的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅
两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB
的长约为(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈
0.75)
(D)
B
A
A.7.5米
B.8米
C.9米
D.10米
6.(巴中中考)一艘轮船位于
北
灯塔P的南偏东60°方向，
十东
距离灯塔30海里的A处，
它沿北偏东30°方向航行一
段时间后，到达位于灯塔P
的北偏东67°方向上的B
处，此时与灯塔P的距离
约为
50
海里.（参考数据：sin37°≈
c0s37°≈
，tan37≈
7.（泸州中考)如图，海中有两小岛C,D,某渔船
在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小
岛D位于南偏东30°方向，且A,D相距
l0 n mile.该渔船自西向东航行一段时间后到
达点B,此时测得小岛C位于西北方向且与点
B相距8√2 n mile..求B,D间的距离（计算过
程中的数据不取近似值).
解：由题意得，∠CAB=∠ABC
N
=45°，BC=8√2 n mile.∴.∠C=
90°，.AB=√2BC=√2X8W2=
16(n mile),过D作DHAB于
H,则
∠AHD=∠BHD=90°，在
Rt△ADH中，∠ADH=30°，AD
DH
=10 n mile,cos∠ADH
AD(共18张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
AE
核必考点整合
核心考点1直角三角形的性质
1.如图所示，在△ABC中，AH⊥BC于点H,点
E,D,F分别是AB,BC,AC的中点，若ED等
于5cm,则FH的长为
(A)
A.5 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.不能确定
B
A
E
F
B
DH
F头
(第1题图)
(第2题图)
核心考点2锐角三角函数的概念
3.如图，已知直线1∥12∥13∥14，相邻两条平行
直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四
个顶点分别在四条直线上，那么sina=
⑤
5
A
B
3
C
4
(第3题图
第4题图
4.(凉山州中考)如图，CD是平面镜，光线从A
点出发经CD上点O反射后照射到B点，若
人射角为，反射角为（反射角等于入射角），
AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且AC=
4
3,BD=6,CD=12,则tana的值为
3
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在
AC,AB上，BD平分∠ABC,DE⊥AB,AE=
6cosA=是求：
(1)DE,CD的长；
(2)tan∠DBC的值.
解：(1).‘在Rt△AED中，AE=6,
E
,AD=
、
cosA
AE
=10,由勾
cosA
D
股定理得DE=8,.·BD平分
B
∠ABC,DEAB,DCBC,
.∴.CD=DE=8;
3
(2).'在Rt△ABC中AC=AD+DC=18,c0sA=
5
.∴.AB=
AC
30,由勾股定理得BC=24,
cosA
∴.tan∠DBC=
DC
1
3
核心考点3特殊的三角函数值
6.在△ABC中，若sinA-号1+(c0sB)=
0,∠A,∠B都是锐角，则∠C的度数是
C
A.75
B.909
C.105
D.1209
7.计算：
()(达州中考)(-1)2+1-21-(2)°
-2tan45°；
解：原式=1+2-1-2×1
=1+2-1-2
=0;
(2)(成都中考)(？)1-9+3tan30
+W3-2.
解：原式=2-3+3×3+2-3
=-1+√3+2-√W3
=1.
核心考点4解直角三角形的应用
8.(凉山州中考)去年，我国南方某地一处山坡上
一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处
压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局
部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业
维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测
得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜
坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离
为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保
留根号).(共15张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
A】
逐点突破
知识点1
三角函数的概念
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=
3,则cosA的值是
D
A
B
4-3
C
3-5
D.
P(3,4)
B
X
第1题图
(第2题图)
2.（桂林中考)如图所示，在平面直角坐标系内
有一点P(3,4),连接OP,则OP与x轴正方
向所夹锐角α的正弦值是
D
3
B.
3
C.
4
3
5
P.
3.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=12,BC=13,
那么tanB的值是
B
A.
2
12
5
2
B.
C.
D.
13
13
4.(教材Po7例1变式)如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=7,BC=24,求∠B的三个三
角函数值.
解：AB=
√AC2+BC2
A
/72+242=25,sinB
3
AC
AB
B
7
BC
=
24
25
AB
tanB
25
=
BC
24
知识点2
三角函数之间的关系
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
则cosB
的值等于
(B)
3-5
A
B.
45
C.
3-4
D.
2
6.在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)sin2A+cos2A 1,tanA
tanB=1
(2)sin218°+cos2A=1,则∠A=18°.
7.已知a是锐角，且sina=},求co&和aa
的值
解：.'sin2a+cos2a=1,
cosa=V1-sira=√1-
1=22
1
sina
3
2
.∴.tana=
cosa
2√2
4
3
知识点3
锐角三角函数值的范围
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都
扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值
(D)
A扩大到原来的2倍B缩小到原来的号
C.扩大到原来的4倍D.不变
9.已知∠A为锐角，若sinA=3m一1，则m的取
值范围是
3
m
23
B)
实践进取
10.如图，点A为∠a边上的
D
任意一点，作AC⊥BC于
点C,CD⊥AB于点D,B@
下列用线段比表示cosa
的值，错误的是
A.
C
B
BC
AD
D.
CD
AB
AC
AC
11.(宜宾中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB
=5,BC=3,将△BCD沿BD折叠到△BED
位置，DE交AB于点F,则cos∠ADF的值为
(C)
A.
8
7
1
17
B.
7
D.
8
15(共17张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
A)
逐点突破
知识点1
相似三角形的应用
1.如图，小芳和爸爸正在散步，
太阳光线
爸爸身高1.8米，他在地面上
的影长为2.1米.若小芳身高
只有1.2米，则她的影长为
2.1m
(B)
A.1.2米
B.1.4米
C.1.6米
D.1.8米
2.张明同学想利用树影测校园内的树高，他在
某一时刻测得小树高1.5m时，其影长为1.2
m,当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因
大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经测
量，地面部分影长为6.4m,墙上影长为1.4
m,那么这棵大树高约
9.4
m.
3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸
选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点
P,Q,S共线，且直线PS与河垂直，接着过点
S在与PS垂直的直线a上选择适当的点T,
确定PT与直线b(过，点Q且垂直于直线PS)
的交点R,测得QS=45m,ST=90m,QR=
60m,请根据这些数据求出河宽PQ.
解：由题意，得∠POR=∠PST=
90°.又.∠P=∠P,.∴.△PORCの
△PST,
№
OR
PO
PS
ST'PO+OS
PO
6
S
T
ST
P0+45
90
解得PQ=
90m.
答：河宽PQ为90m
4.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校
旗杆的高度，如图，已知标杆高度CD=3m,
标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛
与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水
平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.
解：过点E作EH∥BF交
CD于点G,交AB于点H.
易得DG=BH=EF=
H
1.6 m,EG DF 2 m,
B
GH=BD=15m,.∴.EH
EG+GH=17 m..'CD=3 m,CG=CD-DG=
1.4m.CDBF,ABBF,.∴.CG∥AH,.∴.△ECG
△EAH,.∴.
CG
_EG
AH
EH
即14
=
AH
,解得AH=11.9m,
17
.∴.AB=AH+BH=13.5m.
答：旗杆AB的高度为13.5m.
知识点2
勾股定理的应用
5.如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,
两棵树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞
到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞了(B)
A.8 m
B.10m
C.12m
D.14m
77717
7777777777777777777
(第5题图)
(第6题图)(共17张PPT)
华师大版九年级数学上册
人
A
逐点突破
知识点
仰角、俯角与解直角三角形
1.如图，某飞机在空中A处
探测到它的正下方地平
1200m
面上目标C,此时飞行高
度AC=1200m,从飞机
上看地平面指挥台B的俯角α=30°，则飞机
A与指挥台B的距离为
(D)
A.1200m
B.1200/2m
C.1200√3m
D.2400m
2.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高
度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距
离为18√3m的地面上，若测角仪的高度是
1.5m.测得教学楼的顶部A处的仰角为30°.
则教学楼的高度是
(C)
A.55.5mB.54m
C.19.5mD.18m
A
B
久0
53
B
D
C
(第2题图)
(第3题图)
3.如图，建筑物C上有一旗杆AB.从与BC相距
10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，
观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的
高度约为3
m(结果取整数，参考数据：
sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33).
4.如图，从热气球C处测得
30
地面A,B两点的俯角分
别是30°，45°，如果此时热A
D
B
气球C处的高度CD为100米，点A,D,B在
同一直线上，则AB两点的距离是100（√3+
1)米.
5.(眉山中考)数学实践活动小组去测量眉山市
某标志性建筑物的高CD.如图，在楼前平地
A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向
前进60m到达B处，测得楼顶C处的仰角为
45°，求此建筑物的高.（结果保留整数，参考数
据：W2≈1.41，w3≈1.73)
C
D
B
A
解：在Rt△BCD中，∠CBD=45°，设CD为xm,则
BD=CD=xm,..AD=BD+AB=(60+x)m,
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，tan∠CAD=tan30°=
CD
X
3
解得x=30√3+30，经检验x=
AD
60+x
3
30√/3+30是原方程的根，.∴.CD=30√3+30~≈82.
答：此建筑物的高度约为82m.
6.（广元中考)如图，计划在山顶A的正下方沿
直线CD方向开通穿山隧道EF.在点E处测
得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C
处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距
10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、
E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度.
解：过点A作AH
DE,垂足为H,设EH
=x米，在Rt△AEH
中，∠AEH=45°
