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2023年高考数学真题分类汇编1：集合、逻辑用语、函数、初等函数
一、填空题
1．（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
2．（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
3．（2023·天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
4．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
5．（2023·上海卷）已知，则的值域是 ；
6．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函数f(x)=cosωx 1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 .
二、选择题
7．（2023·全国甲卷）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国甲卷）设集合，U为整数集，（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国甲卷）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
11．（2023·天津卷）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·天津卷）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
13．（2023·天津卷）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·天津卷）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·全国乙卷）设集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
17．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·全国乙卷）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023·上海卷）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（ ）.
（1）所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.
A．(1)假命题；(2)真命题 B．(1)真命题；(2)假命题
C．(1)真命题；(2)真命题 D．(1)假命题；(2)假命题
20．（2023·上海卷）已知，若且，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·新高考Ⅱ卷）设集合， 若， 则（ ）
A．2 B．1 C． D．-1
22．（2023·新高考Ⅱ卷）若为偶函数，则a=( )
A．-1 B．0 C． D．-1
23．（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M={ 2， 1，0，1，2}，N={x|x2 x 6 0}，则M∩N=（ ）
A．{ 2， 1，0，1} B．{0，1，2}
C．{ 2} D．{2}
24．（2023·新高考Ⅰ卷）设函数在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．( ∞， 2] B．[ 2，0) C．(0，2] D．[2，+∞)
25．（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视， 用声压级来度量声音的强弱， 定义声压级 ， 其中常数 是听觉下限间值， 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， 则（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（ ）
A．f(0)=0 B．f(1)=0
C．f(x)是偶函数 D．x=0为f(x)的极小值点
三、解答题
27．（2023·全国甲卷）已知
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
28．（2023·全国甲卷）已知．
（1）解不等式
（2）若与坐标轴围成的面积为2，求a．
29．（2023·上海卷）函数
（1）当是，是否存在实数，使得为奇函数；
（2）函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个交点，求实数的取值范围.
30．（2023·新高考Ⅰ卷） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
2．【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
3．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，
①当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，即方程只有一个解x=-1，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，且成立，此时方程为重根，
同理②当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，与矛盾，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，则与矛盾，
综上，
(1)当时，此时使得成立，是函数零点；使得也是函数零点，
即当时，函数零点分别是，；
(2)当，，时，函数零点分别是-1，；
(3)当时，函数零点是(-1)，此时不满足题意，舍去；
(4)当时，函数零点分别是-1，此时不满足题意，舍去；
(5)当时，函数零点分别是1，-1；
∴当函数有且仅有两个零点时，；
故答案填：
【分析】令将零点转化成方程根问题，不妨先分类与去绝对值得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得出零点存在时参数a的取值，对以上参数a分类整理即可得出答案.
4．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ∵函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，故只需证
则，
则在上单调递增，且
∴，
即，
∴，即，解得或，
又∵
∴，
故答案为：
【分析】结合题意求导将问题转化成导函数大于0恒成立问题，重新构造函数，求导分析计算该函数的最小值大于0即得答案.
5．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；分段函数的应用
【解析】【解答】当即
故，即
故答案为：
【分析】由指数函数易得x>0的值域，结合x≤0可得分段函数值域.
6．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】令f(x)=cosωx 1 =0，则coswx=1，故该函数的交点可视作函数y=cosωx与y=1的在的交点
∵，则
结合余弦函数可知此时
∴，解得.
故答案为：
【分析】 可将函数零点转换为余弦型函数与y=1的交点即得答案。
7．【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】，
故选：A
【分析】先计算补集，再求并集即得答案.
8．【答案】A
【知识点】集合的表示法；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由已知 分析可知A为被3除余1整数的集合，B为被3除余2整数的集合，
故当全集为整数，此时 为3的整数倍，即 .
故选：A.
【分析】由分析可将描述法表示的集合转化成被3整除问题，进而分析此时用整数集补的结果.
9．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】，
关于对称，
又在单调递增，在单调递增，在单调递减，
由复合函数可知在单调递增，在单调递减，
由关于对称得
，，
由在单调递增得
故选：A
【分析】对二次函数对称性分析得出复合函数单调性，利用对称性将c转化与a、b同一单调性，从而利用单调性比较函数值大小。
10．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】若，
∵，
此时，即，
∴当，此时不一定成立，充分性不成立；
反之，当，，此时，必要性成立；
故选：B.
【分析】利用同角三角基本关系可将 化简，结合条件的判断可得出答案.
11．【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】结合补集和并集对有限集运算.
12．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由，，
故由可以推出，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据已知条件化简结合条件的判断即得答案.
13．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的性质
【解析】【解答】由指数函数在R上单调递增，
故，即，
由幂函数在上单调递增，
故，即，
∴，
故选：D.
【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.
14．【答案】D
【知识点】奇函数；偶函数；基本不等式
【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数，
对A，，故该函数为奇函数，不符合题意，错误；
对B，，故该函数为奇函数，不符合题意，错误；
对C， ，故此函数函数值均为正数，不符合题意，错误；
故选：D.
【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B，对C得特殊结构利用基本不等式得出函数值为大于0可排除，从而得出答案D.
15．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意
对A， ，则，符合题意，
对B， ，则，不符合题意，
对C，，则，不符合题意，
对D， ，则，不符合题意，
故选：A.
【分析】由交、并、补集的定义及运算，逐项判断可得答案.
16．【答案】D
【知识点】偶函数；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】是偶函数，
恒成立，
不恒为0，
，解得.
当时定义域为关于原点对称，又满足，为偶函数。
故选：D
【分析】根据偶函数定义进行计算，再验证。
17．【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由题意得
有三个零点，
有极大值和极小值且异号，.
令，解得，，
，解得
故选：B
【分析】有三个零点转化为的极大值和极小值异号，进而转化为有两个根且，。
18．【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意可得，
故选：A
【分析】根据题意先计算，再计算。
19．【答案】（1）B
【知识点】命题的真假判断与应用；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】①在椭圆中，如图，若存在点M，使得对于任意点 ， 都有 使得.
不妨先以点M在x轴上分析，在M点从椭圆左顶点往x负半轴移动时，必然存在，
以此M点为假设存在的点，∵P、Q均在椭圆上，且，，故对于 任意点，都有使得 .
由特殊到一般，由椭圆图形取值为封闭图形，即确定点M的位置后，其最小值与最大值是有限值，故对任意的情形依然存在且符合题意；
故所有的椭圆都是“自相关曲线"为真命题.
②同理，由确定点M位置后，结合双曲线图形特点，其最小值总是有限值，而最大值是无限的，所以不存在双曲线是“自相关曲线”.
【分析】根据圆锥曲线图形特点及取值分析判断可得答案.
20．【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】 ∵，若且
∴只有元素复合集合M，
故选：A
【分析】由元素和集合的关系得出符合条件的集合M.
21．【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 ，
当时，，则，，不符合题意；
当时，，则，，符合题意。
故选：B
【分析】根据，分别讨论或的情况。
22．【答案】B
【知识点】偶函数
【解析】【解答】根据题意易得函数定义域为，即关于原点对称
为偶函数 ，
则有，即，解得。
检验：当时，有，
时为偶函数。
故选：B
【分析】根据偶函数性质在定义域范畴内代值即得答案。
23．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次方程
【解析】【解答】∵，∴，∴，即， 则。故选C
【分析】利用一元二次不等求解集合N，进而求集合M与N的交集。
24．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性
【解析】【解答】∵为增函数，令
由复合函数单调性可知，若 在区间(0，1)单调递减
只需在区间(0，1)单调递减
由二次函数易得在为减函数，在为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，
故，
即.
故选：D
【分析】根据复合函数单调性，分别分析外函数指数函数的单调性和内函数二次函数单调性即得答案。
25．【答案】A,C,D
【知识点】对数的运算性质；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】由是增函数，故也是增函数，由表格可知，
即，则
同理可得，
A：由对数函数单调递增，∵，∴，故A正确；
B：，∵，， ∴，∴，即，故B错误；
C：，则即，故C正确；
D：，∵，， ∴，∴，即，故D正确.
故选：ACD
【分析】 由对数函数单调性解不等式，逐项解答判断即得答案。
26．【答案】A,B,C
【知识点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用
【解析】【解答】Ａ：令，则，故Ａ正确
Ｂ：令，则，即，故Ｂ正确
Ｃ：令，则，结合B可得，
∴为偶函数，Ｃ正确
Ｄ：由 f(xy)=y2f(x)+x2f(y) ，等式两边同除，则，
由函数结构结合对数运算构造函数形式，可令，即
当x=0时，即f(0)=0，即函数，易得在上单调递增
当时，，故此函数不连续，即 x=0不是f(x)的极小值点
【分析】 由抽象函数结合赋值法逐项可判断ABC，根据抽象函数结构可构造符合条件的具体函数再进行单调性与值域分析即可判断D。
27．【答案】（1）解：当，即 ，
则，
令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减
（2）令，，
∴，，
∴必然存在在单调递减，
∴，即，解得a<3，
检验，当a<3时， 是否恒成立，
令
∴，
令，
∴，
当时，，
∴在单调递增，
∴，即，
∴在单调递减，故此时恒成立；
∴综上所述：a<3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)将a=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于cosx的函数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出 的单调性；
(2)令，注意到结合函数变化易分析，从而缩小a的分析范围，在a<3时，结合整体换元简化式子结构并对再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出的函数单调性继而得出答案.
28．【答案】（1）依题意去绝对值得
①当时， 由，即 ，解得，∵a>0，∴此时
②当时，由，即，解得，∵a>0，∴此时
综上的解集是；
（2）令，解得或，
当时，
∵a>0，此时，且，故其函数图象大致为
，，，
，解得.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1)根据和分段去绝对值求解不等式；
(2)结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a.
29．【答案】（1）当a=0时，此时 ，
∴的定义域为，
∴，
若此时为奇函数 ，则，
即，故不存在实数c使得为奇函数.
（2）由函数的图像过点，∴，解得c=1，
令，则 ，则
∵的图像与轴负半轴有两个交点
∴方程在x轴负半轴有两个解.
∴，解得
又∵，此时，解得
综上所述：a的取值范围为
【知识点】奇函数；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域，计算是否为0即可判断；
(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0情况即得答案.
30．【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
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2023年高考数学真题分类汇编1：集合、逻辑用语、函数、初等函数
一、填空题
1．（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
2．（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
3．（2023·天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，
①当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，即方程只有一个解x=-1，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，且成立，此时方程为重根，
同理②当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，与矛盾，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，则与矛盾，
综上，
(1)当时，此时使得成立，是函数零点；使得也是函数零点，
即当时，函数零点分别是，；
(2)当，，时，函数零点分别是-1，；
(3)当时，函数零点是(-1)，此时不满足题意，舍去；
(4)当时，函数零点分别是-1，此时不满足题意，舍去；
(5)当时，函数零点分别是1，-1；
∴当函数有且仅有两个零点时，；
故答案填：
【分析】令将零点转化成方程根问题，不妨先分类与去绝对值得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得出零点存在时参数a的取值，对以上参数a分类整理即可得出答案.
4．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ∵函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，故只需证
则，
则在上单调递增，且
∴，
即，
∴，即，解得或，
又∵
∴，
故答案为：
【分析】结合题意求导将问题转化成导函数大于0恒成立问题，重新构造函数，求导分析计算该函数的最小值大于0即得答案.
5．（2023·上海卷）已知，则的值域是 ；
【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；分段函数的应用
【解析】【解答】当即
故，即
故答案为：
【分析】由指数函数易得x>0的值域，结合x≤0可得分段函数值域.
6．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函数f(x)=cosωx 1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】令f(x)=cosωx 1 =0，则coswx=1，故该函数的交点可视作函数y=cosωx与y=1的在的交点
∵，则
结合余弦函数可知此时
∴，解得.
故答案为：
【分析】 可将函数零点转换为余弦型函数与y=1的交点即得答案。
二、选择题
7．（2023·全国甲卷）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】，
故选：A
【分析】先计算补集，再求并集即得答案.
8．（2023·全国甲卷）设集合，U为整数集，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】集合的表示法；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由已知 分析可知A为被3除余1整数的集合，B为被3除余2整数的集合，
故当全集为整数，此时 为3的整数倍，即 .
故选：A.
【分析】由分析可将描述法表示的集合转化成被3整除问题，进而分析此时用整数集补的结果.
9．（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】，
关于对称，
又在单调递增，在单调递增，在单调递减，
由复合函数可知在单调递增，在单调递减，
由关于对称得
，，
由在单调递增得
故选：A
【分析】对二次函数对称性分析得出复合函数单调性，利用对称性将c转化与a、b同一单调性，从而利用单调性比较函数值大小。
10．（2023·全国甲卷）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】若，
∵，
此时，即，
∴当，此时不一定成立，充分性不成立；
反之，当，，此时，必要性成立；
故选：B.
【分析】利用同角三角基本关系可将 化简，结合条件的判断可得出答案.
11．（2023·天津卷）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】结合补集和并集对有限集运算.
12．（2023·天津卷）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由，，
故由可以推出，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据已知条件化简结合条件的判断即得答案.
13．（2023·天津卷）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的性质
【解析】【解答】由指数函数在R上单调递增，
故，即，
由幂函数在上单调递增，
故，即，
∴，
故选：D.
【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.
14．（2023·天津卷）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数；偶函数；基本不等式
【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数，
对A，，故该函数为奇函数，不符合题意，错误；
对B，，故该函数为奇函数，不符合题意，错误；
对C， ，故此函数函数值均为正数，不符合题意，错误；
故选：D.
【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B，对C得特殊结构利用基本不等式得出函数值为大于0可排除，从而得出答案D.
15．（2023·全国乙卷）设集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意
对A， ，则，符合题意，
对B， ，则，不符合题意，
对C，，则，不符合题意，
对D， ，则，不符合题意，
故选：A.
【分析】由交、并、补集的定义及运算，逐项判断可得答案.
16．（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】偶函数；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】是偶函数，
恒成立，
不恒为0，
，解得.
当时定义域为关于原点对称，又满足，为偶函数。
故选：D
【分析】根据偶函数定义进行计算，再验证。
17．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由题意得
有三个零点，
有极大值和极小值且异号，.
令，解得，，
，解得
故选：B
【分析】有三个零点转化为的极大值和极小值异号，进而转化为有两个根且，。
18．（2023·全国乙卷）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意可得，
故选：A
【分析】根据题意先计算，再计算。
19．（2023·上海卷）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（ ）.
（1）所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.
A．(1)假命题；(2)真命题 B．(1)真命题；(2)假命题
C．(1)真命题；(2)真命题 D．(1)假命题；(2)假命题
【答案】（1）B
【知识点】命题的真假判断与应用；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】①在椭圆中，如图，若存在点M，使得对于任意点 ， 都有 使得.
不妨先以点M在x轴上分析，在M点从椭圆左顶点往x负半轴移动时，必然存在，
以此M点为假设存在的点，∵P、Q均在椭圆上，且，，故对于 任意点，都有使得 .
由特殊到一般，由椭圆图形取值为封闭图形，即确定点M的位置后，其最小值与最大值是有限值，故对任意的情形依然存在且符合题意；
故所有的椭圆都是“自相关曲线"为真命题.
②同理，由确定点M位置后，结合双曲线图形特点，其最小值总是有限值，而最大值是无限的，所以不存在双曲线是“自相关曲线”.
【分析】根据圆锥曲线图形特点及取值分析判断可得答案.
20．（2023·上海卷）已知，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】 ∵，若且
∴只有元素复合集合M，
故选：A
【分析】由元素和集合的关系得出符合条件的集合M.
21．（2023·新高考Ⅱ卷）设集合， 若， 则（ ）
A．2 B．1 C． D．-1
【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】 ，
当时，，则，，不符合题意；
当时，，则，，符合题意。
故选：B
【分析】根据，分别讨论或的情况。
22．（2023·新高考Ⅱ卷）若为偶函数，则a=( )
A．-1 B．0 C． D．-1
【答案】B
【知识点】偶函数
【解析】【解答】根据题意易得函数定义域为，即关于原点对称
为偶函数 ，
则有，即，解得。
检验：当时，有，
时为偶函数。
故选：B
【分析】根据偶函数性质在定义域范畴内代值即得答案。
23．（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M={ 2， 1，0，1，2}，N={x|x2 x 6 0}，则M∩N=（ ）
A．{ 2， 1，0，1} B．{0，1，2}
C．{ 2} D．{2}
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次方程
【解析】【解答】∵，∴，∴，即， 则。故选C
【分析】利用一元二次不等求解集合N，进而求集合M与N的交集。
24．（2023·新高考Ⅰ卷）设函数在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．( ∞， 2] B．[ 2，0) C．(0，2] D．[2，+∞)
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性
【解析】【解答】∵为增函数，令
由复合函数单调性可知，若 在区间(0，1)单调递减
只需在区间(0，1)单调递减
由二次函数易得在为减函数，在为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，
故，
即.
故选：D
【分析】根据复合函数单调性，分别分析外函数指数函数的单调性和内函数二次函数单调性即得答案。
25．（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视， 用声压级来度量声音的强弱， 定义声压级 ， 其中常数 是听觉下限间值， 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】对数的运算性质；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】由是增函数，故也是增函数，由表格可知，
即，则
同理可得，
A：由对数函数单调递增，∵，∴，故A正确；
B：，∵，， ∴，∴，即，故B错误；
C：，则即，故C正确；
D：，∵，， ∴，∴，即，故D正确.
故选：ACD
【分析】 由对数函数单调性解不等式，逐项解答判断即得答案。
26．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（ ）
A．f(0)=0 B．f(1)=0
C．f(x)是偶函数 D．x=0为f(x)的极小值点
【答案】A,B,C
【知识点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用
【解析】【解答】Ａ：令，则，故Ａ正确
Ｂ：令，则，即，故Ｂ正确
Ｃ：令，则，结合B可得，
∴为偶函数，Ｃ正确
Ｄ：由 f(xy)=y2f(x)+x2f(y) ，等式两边同除，则，
由函数结构结合对数运算构造函数形式，可令，即
当x=0时，即f(0)=0，即函数，易得在上单调递增
当时，，故此函数不连续，即 x=0不是f(x)的极小值点
【分析】 由抽象函数结合赋值法逐项可判断ABC，根据抽象函数结构可构造符合条件的具体函数再进行单调性与值域分析即可判断D。
三、解答题
27．（2023·全国甲卷）已知
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当，即 ，
则，
令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减
（2）令，，
∴，，
∴必然存在在单调递减，
∴，即，解得a<3，
检验，当a<3时， 是否恒成立，
令
∴，
令，
∴，
当时，，
∴在单调递增，
∴，即，
∴在单调递减，故此时恒成立；
∴综上所述：a<3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)将a=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于cosx的函数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出 的单调性；
(2)令，注意到结合函数变化易分析，从而缩小a的分析范围，在a<3时，结合整体换元简化式子结构并对再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出的函数单调性继而得出答案.
28．（2023·全国甲卷）已知．
（1）解不等式
（2）若与坐标轴围成的面积为2，求a．
【答案】（1）依题意去绝对值得
①当时， 由，即 ，解得，∵a>0，∴此时
②当时，由，即，解得，∵a>0，∴此时
综上的解集是；
（2）令，解得或，
当时，
∵a>0，此时，且，故其函数图象大致为
，，，
，解得.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1)根据和分段去绝对值求解不等式；
(2)结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a.
29．（2023·上海卷）函数
（1）当是，是否存在实数，使得为奇函数；
（2）函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）当a=0时，此时 ，
∴的定义域为，
∴，
若此时为奇函数 ，则，
即，故不存在实数c使得为奇函数.
（2）由函数的图像过点，∴，解得c=1，
令，则 ，则
∵的图像与轴负半轴有两个交点
∴方程在x轴负半轴有两个解.
∴，解得
又∵，此时，解得
综上所述：a的取值范围为
【知识点】奇函数；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域，计算是否为0即可判断；
(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0情况即得答案.
30．（2023·新高考Ⅰ卷） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
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