2023年高考数学真题分类汇编2：导数及其应用、不等式
一、填空题
1．（2023·全国甲卷）设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为 ．
2．（2023·天津卷）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
3．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
4．（2023·全国乙卷）若x，y满足约束条件，则的最大值为 .
5．（2023·上海卷）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ；
二、选择题
6．（2023·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·天津卷）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国乙卷）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
9．（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数f(x)=在区间单调递增，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·新高考Ⅱ卷）若f(x)=alnx++(a≠0)既有极大值也有极小值，则（ ）
A．bc>0 B．ab>0 C． D．ac<0
11．（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M={ 2， 1，0，1，2}，N={x|x2 x 6 0}，则M∩N=（ ）
A．{ 2， 1，0，1} B．{0，1，2}
C．{ 2} D．{2}
12．（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视， 用声压级来度量声音的强弱， 定义声压级 ， 其中常数 是听觉下限间值， 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， 则（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
13．（2023·全国甲卷）已知
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
14．（2023·全国甲卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
15．（2023·天津卷）已知函数．
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）当时，证明：；
（3）证明：．
16．（2023·全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
（3）若在存在极值，求a的取值范围.
17．（2023·全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）若函数在单调递增，求的取值范围.
18．（2023·上海卷）已知，取点过其曲线作切线交轴于，取点过其曲线作切线交轴于，若则继续，若则停止，以此类推得到数列.
（1）若正整数，证明；
（2）若正整数，试比较与大小；
（3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列 若存在，求出的所有取值，若不存在，请说明理由.
19．（2023·上海卷）函数
（1）当是，是否存在实数，使得为奇函数；
（2）函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个交点，求实数的取值范围.
20．（2023·新高考Ⅱ卷）
（1）证明：当 时，
（2）已知函数 若是 的极大值点， 求a的取值范围.
21．（2023·新高考Ⅰ卷） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
22．（2023·新高考Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.
答案解析部分
1．【答案】15
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由得，
故当直线：截距最大时，取得最大值，
根据题意画出可行域如上图，易得当直线过点A时，取得最大值，
联立，解得，即
故答案为：15
【分析】利用约束条件画出可行域，由目标函数分析求截距最大值。
2．【答案】；
【知识点】基本不等式；向量加减混合运算；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，
第一空：∵点为的中点，点为的中点
∴，
由平行四边形法则易得
第二空：由∵，
∴，
∴，
∴
又∵，，
根据余弦定理得：，即
又∵，
∴，解得，
∴
故当且仅当时， 的最大为.
故答案填：.
【分析】根据题意，将其中两边视为基底向量，由平行四边形法则易表示 ；同理利用基底向量可表示 ，进而表示 ，表示后的结构易联想到使用基本不等式求其最大值，由基底夹角结合第三边可联想使用余弦定理得出平方和与乘积的等量关系，消元且使用基本不等式可求得的最大值.
3．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ∵函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，故只需证
则，
则在上单调递增，且
∴，
即，
∴，即，解得或，
又∵
∴，
故答案为：
【分析】结合题意求导将问题转化成导函数大于0恒成立问题，重新构造函数，求导分析计算该函数的最小值大于0即得答案.
4．【答案】8
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据题意作出满足不等式组表示的平面可行域，如下图：
由，得，表示直线在y轴上的截距，
∴截距越小越大，
由上图可只当直线经过点C时最大，
由解得即，此时.
故答案为：8
【分析】找出满足题意的可行域，对目标函数分析结合一次函数分析得出的最大值。
5．【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】设斜坡距离为S，消耗总体能W
根据题意，即，则
则
令，∴，即，解得
结合余弦函数及其变换可知，此时
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
即当，取得最小值，
故答案为： .
【分析】根据题意表达出总体能与坡面夹角的函数关系，利用导数分析其单调性与最值得出答案.
6．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】，
，
即此时该切线方程的斜率为，
曲线在点处的切线方程为，即
故选：C
【分析】利用导数求出在的值，即为点处切线的斜率，由直线点斜式方程得出答案.
7．【答案】D
【知识点】奇函数；偶函数；基本不等式
【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数，
对A，，故该函数为奇函数，不符合题意，错误；
对B，，故该函数为奇函数，不符合题意，错误；
对C， ，故此函数函数值均为正数，不符合题意，错误；
故选：D.
【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B，对C得特殊结构利用基本不等式得出函数值为大于0可排除，从而得出答案D.
8．【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】，整理得
其中圆心O为，半径r=3.
另x-y=k，如下图，易知当直线x-y=k与圆相切时取得最大
即点O到直线x-y=k的距离为OA=R=3=.解得k=
由k最大，即k取
故选：C
【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径，将x-y最大值转化为线性规划问题，在可行域范围内分析并计算可得答案。
9．【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 在区间单调递增，
时，恒成立，
在恒成立，即，
设，由复合函数单调性可知在单调递减，
故选：C
【分析】根据在区间单调递增，利用在区间恒成立，分离参数转化成另一恒成立问题，构造新函数求其最值即得答案。
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的解集
【解析】【解答】 定义域为，，
既有极大值又有极小值，在有两个变号零点，即在有两个不等实数根，
，，，
，，即，故A错误，B、C、D正确
故选：BCD
【分析】先求导数，转化为有两个变号零点，进而转化为一元二次方程有两个不等实数根。
11．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】∵，∴，∴，即， 则。故选C
【分析】利用一元二次不等求解集合N，进而求集合M与N的交集。
12．【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】由是增函数，故也是增函数，由表格可知，
即，则
同理可得，
A：由对数函数单调递增，∵，∴，故A正确；
B：，∵，， ∴，∴，即，故B错误；
C：，则即，故C正确；
D：，∵，， ∴，∴，即，故D正确.
故选：ACD
【分析】 由对数函数单调性解不等式，逐项解答判断即得答案。
13．【答案】（1）解：当，即 ，
则，
令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减
（2）令，，
∴，，
∴必然存在在单调递减，
∴，即，解得a<3，
检验，当a<3时， 是否恒成立，
令
∴，
令，
∴，
当时，，
∴在单调递增，
∴，即，
∴在单调递减，故此时恒成立；
∴综上所述：a<3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)将a=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于cosx的函数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出 的单调性；
(2)令，注意到结合函数变化易分析，从而缩小a的分析范围，在a<3时，结合整体换元简化式子结构并对再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出的函数单调性继而得出答案.
14．【答案】（1）当时，，
则，
在单调递减；
（2）令
则，
，又，
，解得.
检验当时，，有，
即在上单调递减，
，符合题意，
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)对求导，利用导数判断单调性；
(2)构造，结合，将问题转化为并验证得出答案。
15．【答案】（1）解：由 得（x>-1且x≠0）．
∴
故曲线 在处切线的斜率 ；
（2）解： 要证 ，即证，
∵ ，
∴即证，
令
∴
>0，
∴在上单调递增，在上单调递减，且，
∴在上单调递增，此时，
∴，即，
证毕
（3）解：令(n>0且)，
则有，
∴，
令，则，
由(2)得，
∴，
即在定义域范围内单调递减，
此时，
∴有，即证得；
由(2)得，当，，则，
构造，
则，
∴在上单调递减，则有，
即，
整理得，
∴，
∴，
整理得，
∴，
，
.......
累加得：
即，
综上所述， ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)对求导，此时函数在 切线斜率，即为在该点处的导数；
(2)为证明，整理式子结构即证，结合求导对单调性进行分析得出答案；
(3)构造，由阶乘(n！)与对数运算联想构造作差去阶乘符号得出，将函数单调性问题转化成的正负性问题，求导分析得证单调递减，易得出此时上限；为证明其下限可结合(2)中结论对对数部分进行不等式放缩，逆构造，得出，进而由进行再裂项结合累加求和得证下限；
16．【答案】（1）当时，，
，
，且 ，
在处的切线方程为，
即
（2）由，
∴，
由，
∴的定义域为，
若存在关于直线对称，
则定义域也对称，即，
且，即，
由得，
若，即，
∴，解得，
综上所述，当时， 曲线关于直线对称.
（3）由 ，
∴，
∵在存在极值 ，
∴在存在变号零点 ，
当，整理得
令
则，
∵，同时注意到
∴
①若，则，此时在上单调递减，结合，
∴在上单调递减，故此时不存在变号零点 ；
②若，
i)，易得，此时在上单调递增，结合，
∴在上单调递增，故此时不存在变号零点 ；
ii)，令，即，则，
此时在上单调递减，在上单调递减，
结合，故成立
(或
令，其中，
则
∴在上单调递增，，
故)
∴若在上存在变号零点，
由零点存在性定理，需证存在有；
即在且时恒成立，
故，
令，，
∴，
故在上单调递增，且，
∴，即，
，
故存在使得在且时恒成立，
综上，当，在上存在变号零点，即 在存在极值.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据导数可求得某点出切线斜率，代入点斜式直线方程得出答案；
(2)由对称函数定义域对称得出对称轴，根据对称函数关系建立等式得出a值；
(3)将存在极值转化为导函数存在变号零点问题，进一步构造函数，由导数正负结合参数a分类分析及零点存在性原理检验变号零点的存在.
17．【答案】（1）当时，，
，
，且 ，
在处的切线方程为.
（2）.
∴函数的定义域为 ，
又∵在单调递增，
在恒成立
又，
，
即在恒成立，
令，
则，
且要使在恒成立，
设且趋于0，则在单调递增，
，，又，则在单调递增
，解得.
检验当时，，
即此时在 单调递增，且，
∴
则在 单调递增，且，
即在恒成立，
综上所述，实数a的取值范围是.
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求，再求斜率，利用点斜式得出切线方程；
（2）将问题转化为在恒成立，整理重新构造函数逐步求导分析恒成立问题。
18．【答案】（1）根据题意，可设 过其曲线 切线交y轴于，
由 ，
则，
则过的斜率，
∴此时切线方程为，即.
令x=0，即由，证毕；
（2）由(1)得，故 -()=
令，
则，
∴在上单调递减，
令，则.
故在上单调递增，在单调递减，
即，
∴，即，
∴-()≤0，即.
（3）由(1)易得，，....，，
①假设存在 依次成等差数列，设公差为d，
∴，
∴，
由，由(2)可知，
∴，即方程无实数解；
∴当时，依次成等差数列不成立；
②当成等差数列，即，
∵，
∴，
∴，即
令，
则
∵，即n>0，∴，
∴在上单调递增，
又∵，，
∴在上必存在一个零点使得，
∴方程有唯一解，
即存在k=3时，成等差数列.
综上所述，存在k=3时，成等差数列.
【知识点】利用导数研究函数的极值；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)根据题意，可得到切线方程与y轴交点与切点的前后关系，故可设，结合题意按一般求导法求切线方程易证得；
(2)由(1)结合作差法易，令且构造函数，求导得出函数极值从而得出二者大小关系；
(3)假设对任意的k满足 依次成等差数列 ，将式子变形整理易得，结合(2)可知该方程无解，故此时假设不成立；另假设特殊情形成等差数列进而消元转化成只含的方程，转化成函数与x轴交点问题，求导进行单调性分析即得答案.
19．【答案】（1）当a=0时，此时 ，
∴的定义域为，
∴，
若此时为奇函数 ，则，
即，故不存在实数c使得为奇函数.
（2）由函数的图像过点，∴，解得c=1，
令，则 ，则
∵的图像与轴负半轴有两个交点
∴方程在x轴负半轴有两个解.
∴，解得
又∵，此时，解得
综上所述：a的取值范围为
【知识点】奇函数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域，计算是否为0即可判断；
(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0情况即得答案.
20．【答案】（1）令，，则在恒成立，
在单调递增，，
有
令，，则
则，
，
在单调递增，
在单调递增，
，
有，
综上：当时，.
（2）由函数 可知定义域
是的极大值点，且
∴必然在某个范围内单调递减，
即有
有
，
代入显然
，解得，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）构建新函数，求导进行分析单调性与极值，进而作差比较不等式恒成立问题；
（2）由题意可转化为是的变号零点，且由函数在连续，故总存在某个区间使得单调递减，即，同时满足上述条件即得答案.
21．【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
22．【答案】（1）设，由题意可得，化简得，
所以动点P的轨迹方程W为
（2）将在W上的三点记为，设且，
∴，
∴，
又，∴，
矩形ABCD周长
不妨设且
原式
令，，，，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
∴
∴原式，当且仅当，，时取等，显然不能同时取等，
故矩形ABCD的周长大于.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【分析】 (1)利用两点间距离等于点到坐标轴距离，求轨迹方程。
（2） 利用矩形的两边垂直向量表示建立等式，寻找等量关系，利用两点间距离表示周长进而利用不等式的知识进行化简与放缩转化成单变量最值问题，结合导数分析其最值可得.
1 / 12023年高考数学真题分类汇编2：导数及其应用、不等式
一、填空题
1．（2023·全国甲卷）设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为 ．
【答案】15
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由得，
故当直线：截距最大时，取得最大值，
根据题意画出可行域如上图，易得当直线过点A时，取得最大值，
联立，解得，即
故答案为：15
【分析】利用约束条件画出可行域，由目标函数分析求截距最大值。
2．（2023·天津卷）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】；
【知识点】基本不等式；向量加减混合运算；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，
第一空：∵点为的中点，点为的中点
∴，
由平行四边形法则易得
第二空：由∵，
∴，
∴，
∴
又∵，，
根据余弦定理得：，即
又∵，
∴，解得，
∴
故当且仅当时， 的最大为.
故答案填：.
【分析】根据题意，将其中两边视为基底向量，由平行四边形法则易表示 ；同理利用基底向量可表示 ，进而表示 ，表示后的结构易联想到使用基本不等式求其最大值，由基底夹角结合第三边可联想使用余弦定理得出平方和与乘积的等量关系，消元且使用基本不等式可求得的最大值.
3．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ∵函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，故只需证
则，
则在上单调递增，且
∴，
即，
∴，即，解得或，
又∵
∴，
故答案为：
【分析】结合题意求导将问题转化成导函数大于0恒成立问题，重新构造函数，求导分析计算该函数的最小值大于0即得答案.
4．（2023·全国乙卷）若x，y满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】8
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据题意作出满足不等式组表示的平面可行域，如下图：
由，得，表示直线在y轴上的截距，
∴截距越小越大，
由上图可只当直线经过点C时最大，
由解得即，此时.
故答案为：8
【分析】找出满足题意的可行域，对目标函数分析结合一次函数分析得出的最大值。
5．（2023·上海卷）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ；
【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】设斜坡距离为S，消耗总体能W
根据题意，即，则
则
令，∴，即，解得
结合余弦函数及其变换可知，此时
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
即当，取得最小值，
故答案为： .
【分析】根据题意表达出总体能与坡面夹角的函数关系，利用导数分析其单调性与最值得出答案.
二、选择题
6．（2023·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】，
，
即此时该切线方程的斜率为，
曲线在点处的切线方程为，即
故选：C
【分析】利用导数求出在的值，即为点处切线的斜率，由直线点斜式方程得出答案.
7．（2023·天津卷）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数；偶函数；基本不等式
【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数，
对A，，故该函数为奇函数，不符合题意，错误；
对B，，故该函数为奇函数，不符合题意，错误；
对C， ，故此函数函数值均为正数，不符合题意，错误；
故选：D.
【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B，对C得特殊结构利用基本不等式得出函数值为大于0可排除，从而得出答案D.
8．（2023·全国乙卷）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】，整理得
其中圆心O为，半径r=3.
另x-y=k，如下图，易知当直线x-y=k与圆相切时取得最大
即点O到直线x-y=k的距离为OA=R=3=.解得k=
由k最大，即k取
故选：C
【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径，将x-y最大值转化为线性规划问题，在可行域范围内分析并计算可得答案。
9．（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数f(x)=在区间单调递增，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 在区间单调递增，
时，恒成立，
在恒成立，即，
设，由复合函数单调性可知在单调递减，
故选：C
【分析】根据在区间单调递增，利用在区间恒成立，分离参数转化成另一恒成立问题，构造新函数求其最值即得答案。
10．（2023·新高考Ⅱ卷）若f(x)=alnx++(a≠0)既有极大值也有极小值，则（ ）
A．bc>0 B．ab>0 C． D．ac<0
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的解集
【解析】【解答】 定义域为，，
既有极大值又有极小值，在有两个变号零点，即在有两个不等实数根，
，，，
，，即，故A错误，B、C、D正确
故选：BCD
【分析】先求导数，转化为有两个变号零点，进而转化为一元二次方程有两个不等实数根。
11．（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M={ 2， 1，0，1，2}，N={x|x2 x 6 0}，则M∩N=（ ）
A．{ 2， 1，0，1} B．{0，1，2}
C．{ 2} D．{2}
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】∵，∴，∴，即， 则。故选C
【分析】利用一元二次不等求解集合N，进而求集合M与N的交集。
12．（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视， 用声压级来度量声音的强弱， 定义声压级 ， 其中常数 是听觉下限间值， 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】由是增函数，故也是增函数，由表格可知，
即，则
同理可得，
A：由对数函数单调递增，∵，∴，故A正确；
B：，∵，， ∴，∴，即，故B错误；
C：，则即，故C正确；
D：，∵，， ∴，∴，即，故D正确.
故选：ACD
【分析】 由对数函数单调性解不等式，逐项解答判断即得答案。
三、解答题
13．（2023·全国甲卷）已知
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当，即 ，
则，
令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减
（2）令，，
∴，，
∴必然存在在单调递减，
∴，即，解得a<3，
检验，当a<3时， 是否恒成立，
令
∴，
令，
∴，
当时，，
∴在单调递增，
∴，即，
∴在单调递减，故此时恒成立；
∴综上所述：a<3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)将a=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于cosx的函数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出 的单调性；
(2)令，注意到结合函数变化易分析，从而缩小a的分析范围，在a<3时，结合整体换元简化式子结构并对再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出的函数单调性继而得出答案.
14．（2023·全国甲卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）当时，，
则，
在单调递减；
（2）令
则，
，又，
，解得.
检验当时，，有，
即在上单调递减，
，符合题意，
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)对求导，利用导数判断单调性；
(2)构造，结合，将问题转化为并验证得出答案。
15．（2023·天津卷）已知函数．
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）当时，证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）解：由 得（x>-1且x≠0）．
∴
故曲线 在处切线的斜率 ；
（2）解： 要证 ，即证，
∵ ，
∴即证，
令
∴
>0，
∴在上单调递增，在上单调递减，且，
∴在上单调递增，此时，
∴，即，
证毕
（3）解：令(n>0且)，
则有，
∴，
令，则，
由(2)得，
∴，
即在定义域范围内单调递减，
此时，
∴有，即证得；
由(2)得，当，，则，
构造，
则，
∴在上单调递减，则有，
即，
整理得，
∴，
∴，
整理得，
∴，
，
.......
累加得：
即，
综上所述， ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)对求导，此时函数在 切线斜率，即为在该点处的导数；
(2)为证明，整理式子结构即证，结合求导对单调性进行分析得出答案；
(3)构造，由阶乘(n！)与对数运算联想构造作差去阶乘符号得出，将函数单调性问题转化成的正负性问题，求导分析得证单调递减，易得出此时上限；为证明其下限可结合(2)中结论对对数部分进行不等式放缩，逆构造，得出，进而由进行再裂项结合累加求和得证下限；
16．（2023·全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
（3）若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，，
，
，且 ，
在处的切线方程为，
即
（2）由，
∴，
由，
∴的定义域为，
若存在关于直线对称，
则定义域也对称，即，
且，即，
由得，
若，即，
∴，解得，
综上所述，当时， 曲线关于直线对称.
（3）由 ，
∴，
∵在存在极值 ，
∴在存在变号零点 ，
当，整理得
令
则，
∵，同时注意到
∴
①若，则，此时在上单调递减，结合，
∴在上单调递减，故此时不存在变号零点 ；
②若，
i)，易得，此时在上单调递增，结合，
∴在上单调递增，故此时不存在变号零点 ；
ii)，令，即，则，
此时在上单调递减，在上单调递减，
结合，故成立
(或
令，其中，
则
∴在上单调递增，，
故)
∴若在上存在变号零点，
由零点存在性定理，需证存在有；
即在且时恒成立，
故，
令，，
∴，
故在上单调递增，且，
∴，即，
，
故存在使得在且时恒成立，
综上，当，在上存在变号零点，即 在存在极值.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据导数可求得某点出切线斜率，代入点斜式直线方程得出答案；
(2)由对称函数定义域对称得出对称轴，根据对称函数关系建立等式得出a值；
(3)将存在极值转化为导函数存在变号零点问题，进一步构造函数，由导数正负结合参数a分类分析及零点存在性原理检验变号零点的存在.
17．（2023·全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）若函数在单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）当时，，
，
，且 ，
在处的切线方程为.
（2）.
∴函数的定义域为 ，
又∵在单调递增，
在恒成立
又，
，
即在恒成立，
令，
则，
且要使在恒成立，
设且趋于0，则在单调递增，
，，又，则在单调递增
，解得.
检验当时，，
即此时在 单调递增，且，
∴
则在 单调递增，且，
即在恒成立，
综上所述，实数a的取值范围是.
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求，再求斜率，利用点斜式得出切线方程；
（2）将问题转化为在恒成立，整理重新构造函数逐步求导分析恒成立问题。
18．（2023·上海卷）已知，取点过其曲线作切线交轴于，取点过其曲线作切线交轴于，若则继续，若则停止，以此类推得到数列.
（1）若正整数，证明；
（2）若正整数，试比较与大小；
（3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列 若存在，求出的所有取值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）根据题意，可设 过其曲线 切线交y轴于，
由 ，
则，
则过的斜率，
∴此时切线方程为，即.
令x=0，即由，证毕；
（2）由(1)得，故 -()=
令，
则，
∴在上单调递减，
令，则.
故在上单调递增，在单调递减，
即，
∴，即，
∴-()≤0，即.
（3）由(1)易得，，....，，
①假设存在 依次成等差数列，设公差为d，
∴，
∴，
由，由(2)可知，
∴，即方程无实数解；
∴当时，依次成等差数列不成立；
②当成等差数列，即，
∵，
∴，
∴，即
令，
则
∵，即n>0，∴，
∴在上单调递增，
又∵，，
∴在上必存在一个零点使得，
∴方程有唯一解，
即存在k=3时，成等差数列.
综上所述，存在k=3时，成等差数列.
【知识点】利用导数研究函数的极值；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)根据题意，可得到切线方程与y轴交点与切点的前后关系，故可设，结合题意按一般求导法求切线方程易证得；
(2)由(1)结合作差法易，令且构造函数，求导得出函数极值从而得出二者大小关系；
(3)假设对任意的k满足 依次成等差数列 ，将式子变形整理易得，结合(2)可知该方程无解，故此时假设不成立；另假设特殊情形成等差数列进而消元转化成只含的方程，转化成函数与x轴交点问题，求导进行单调性分析即得答案.
19．（2023·上海卷）函数
（1）当是，是否存在实数，使得为奇函数；
（2）函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）当a=0时，此时 ，
∴的定义域为，
∴，
若此时为奇函数 ，则，
即，故不存在实数c使得为奇函数.
（2）由函数的图像过点，∴，解得c=1，
令，则 ，则
∵的图像与轴负半轴有两个交点
∴方程在x轴负半轴有两个解.
∴，解得
又∵，此时，解得
综上所述：a的取值范围为
【知识点】奇函数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域，计算是否为0即可判断；
(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0情况即得答案.
20．（2023·新高考Ⅱ卷）
（1）证明：当 时，
（2）已知函数 若是 的极大值点， 求a的取值范围.
【答案】（1）令，，则在恒成立，
在单调递增，，
有
令，，则
则，
，
在单调递增，
在单调递增，
，
有，
综上：当时，.
（2）由函数 可知定义域
是的极大值点，且
∴必然在某个范围内单调递减，
即有
有
，
代入显然
，解得，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）构建新函数，求导进行分析单调性与极值，进而作差比较不等式恒成立问题；
（2）由题意可转化为是的变号零点，且由函数在连续，故总存在某个区间使得单调递减，即，同时满足上述条件即得答案.
21．（2023·新高考Ⅰ卷） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
22．（2023·新高考Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.
【答案】（1）设，由题意可得，化简得，
所以动点P的轨迹方程W为
（2）将在W上的三点记为，设且，
∴，
∴，
又，∴，
矩形ABCD周长
不妨设且
原式
令，，，，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
∴
∴原式，当且仅当，，时取等，显然不能同时取等，
故矩形ABCD的周长大于.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【分析】 (1)利用两点间距离等于点到坐标轴距离，求轨迹方程。
（2） 利用矩形的两边垂直向量表示建立等式，寻找等量关系，利用两点间距离表示周长进而利用不等式的知识进行化简与放缩转化成单变量最值问题，结合导数分析其最值可得.
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