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高一下学期期末复习导学案（四）
平面向量
班级 姓名
知识归纳
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度为单位1的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3．向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj.
我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标．记作a＝(x，y)．
(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O为坐标原点)
6．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
7．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．
8．两个向量的夹角
(1)已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
(2)规定：零向量可与任一向量垂直．
9．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
10．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积．
11．投影向量
向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ＝．
12．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)a⊥b a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝；
(4)cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
13．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
14．平面向量数量积的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝；
(4)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
15．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)．
典例分析
题型一、平面向量有关的概念
例1、(1)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则
a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(3)给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
例1、(1)【答案】
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
(2)【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
(3)【答案】②③
【解析】①不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.②正确．若＝，则||＝||且∥.
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，若四边形ABCD是平行四边形，
则AB綊DC且与方向相同，因此＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．
∴a，c的长度相等且方向相同，
∴a＝c.
④不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b的充要条件．
题型二、向量的线性运算
例2-1、(1)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D.a－b
(2)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝，则( )
A.＝12＋3 B．＝12－3
C.＝－12＋3 D.＝－12－3
【答案】(1)A (2)A
【解析】(1)∵＝a，＝b，＝，
∴－＝(－)，
∴＝＋＝a＋b.故选A.
(2)法一：对于A.＝12＋3＝12(－)＋3(－)＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
法二：已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，所以16－12＝0，所以＝12＋3，故选A.
例2-2、在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B．
C. D.
【答案】D
【解析】由题意易得＝＋＝＋，
则2＝＋，
即＝＋.所以λ＝，μ＝，
故λ＋μ＝＋＝.
变式2、(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B．－
C.＋ D.＋
(1)【答案】A
【解析】作出示意图如图所示.＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.
(2)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，
则2r＋3s＝________.
(2)【答案】3
【解析】根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，
则2r＋3s＝1＋2＝3.
题型三、共线向量定理的应用
例3、设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】 (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
变式3、(1)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
(2)已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
(1)【答案】C
【解析】由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
(2)【答案】B
【解析】由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
题型四、平面向量基本定理及其应用
例4、(1)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A.－ B.－
C．－＋ D．－＋
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
【答案】(1)C (2)
【解析】(1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
(2)因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λ－＝＋，又＝t＝t(－)＝t＝－t.
故解得故t的值是.
变式4、(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于________．
(2)如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
(1)【答案】
【解析】因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
(2)【解析】设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝，
得
①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，
即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，所以＝－e1＋e2.
同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
题型五、平面向量的坐标运算
例5-1、(1)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B．
C. D．(8，－1)
(2)已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
例5-1、(1)【答案】B
【解析】(1)设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以
解得所以P.
(2)【答案】(2,4)
【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，
∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
变式5-1、(1)已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为________．
【答案】
【解析】因为＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，
所以＝＝，所以＝.
(2)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
【答案】(3,3)
【解析】法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，
且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
(3)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
(3)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
例5-2、已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.
题型六、平面向量的数量积
1、求平面向量数量积的值
例6-1、(1)已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．
(2)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝_____．
例6-1、(1)【答案】6
【解析】a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2××2×＝6．
(2)【答案】1
【解析】因为＝＋＝＋，＝＋，
所以·＝(＋)·(＋)＝||2＋||2＋·
＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1．
例6-2、已知平面向量，满足，，点满足，为的外心，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，，
以为坐标原点，，垂直于所在直线为，轴建立平面直角坐标系，如图
则，
设，由，知，，，解得，，
又为的外心，，
，
为等边三角形，，
，．
例6-3、在△ABC中，|BC|＝4，(＋)·＝0，则·＝( )
A．4 B．－4
C．－8 D．8
【答案】D
【解析】设M为BC的中点，则＋＝2，
∵(＋)·＝0，
∴2·＝0，
∴⊥，∴△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
则·＝||||cos∠B＝(||cos∠B)·＝BM·BC＝2×4＝8，故选D.
变式6-1、在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于( )
A．16 B．12 C．8 D．－4
【答案】A
【解析】以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．
设E(0，t)，·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，∴t＝，即E，
·＝·(0，6)＝16．
5、在长方形中，已知，，，则的值是（ ）
A． B．22 C．13 D．
【答案】C
【解析】因为，，
故.
6、在中，，，为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
因此，.故选：A.
2、利用平面向量数量积求参数的值
例6-3、已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF．若·＝－9，则λ的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】依题意得＝＋＝－，＝＋，
因此·＝(－)(＋)＝2－2＋·，
于是有×62＋×62×cos 60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B．
变式6-2、已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可得，
即，解得.故选：C.
3、利用平面向量数量积求向量的夹角
例6-4、已知空间向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，，
所以，即，
所以，
所以.故选：C
变式6-3、已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知知，，
则，故选：C.
变式6-4、已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将等式两边平方，得，即，
将代入，得.故选：B.
4、利用平面向量数量积求向量的模长
例6-5、已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】∵，，且与的夹角为，
∴，
∴，
∴．故选：A.
变式6-5、(1)已知平面向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】因为平面向量的夹角为，且，
所以，
所以.故选：C.
(2)已知，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】A
【解析】，解得，.故选：A.
5、利用平面向量数量积求投影与投影向量
例6-6、(1)已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为( )
A. B．－
C．－ D．－
【答案】D
【解析】由a＝(1,2)，可得|a|＝，
由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，
∴a·b＝－3，
∴向量b在a方向上的投影为＝－.
(2)已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为( )
A． B．
C． D．
D [向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝－b，其坐标为－(1，)＝．故选D．]
变式6-6、(1)已知向量，，，，若在上的投影向量为（是与同向的单位向量），则（ ）
A．169 B．13 C．196 D．14
【答案】B
【解析】因为在上的投影向量为，是与同向的单位向量，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以
，
所以，故选：B
(2)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)且b在a方向上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．
【答案】
【解析】因为b在a方向上的投影为－3，
所以|b|cos〈a，b〉＝－3，
又|a|＝＝2，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，
又a·b＝3＋m，
所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，
所以|b|＝＝6，
所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，
因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.
6、平面向量数量积参数范围问题
例7-1、已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意，与的夹角为锐角，
故，即 ，即 ，
当与共线时， ，解得 或，
当与同向时，，此时， 但不符合与的夹角为锐角，
故实数的取值范围是 ，
故答案为：
例7-2、已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形，
所以，则，
由.故选：D
变式7-1、在直角三角形ABC中，，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，中，，
则，，
令，则，
于是得
当时，，当或时，，
所以取值范围为.故选：B
例7-3、如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，设，
则，
所以当时，取得的最小值为.故选：B .
变式7-2、如图，梯形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，则，，
因为，所以，解得，即，
设，，，则，，
所以，
所以的最小值为．故选：D.
课后作业
一、基础训练题
1．若，，与的夹角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
1、【答案】B
【解析】由平面向量数量积的定义可得.
故选：B.
2．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
2、【答案】D
【解析】由共线向量定理可知存在实数λ，使，
即，
又与是不共线向量，∴，解得故选：D
3．已知向量，，则在上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
3、【答案】A
【详解】
，∴，
又∵向量，
∴向量在的投影为，
所以，向量在方向上的投影向量为.
4．已知平面向量满足，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4、【答案】B
【解析】由题知，，，
则，
代值运算得：，解得或（舍去），故.
故选：B
5．在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
5、【答案】B
【解析】，
，，
为斜边的中线，．故选：B．
6．已知A，B，C是平面内三点，向量，满足，且，则（ ）
A．2 B．16 C．4 D．
6、【答案】C
【解析】由，得，
所以
.故选：C.
7．已知向量=（k，1），=（3，2），=（1，3），且（），则实数k的值等于（ ）
A． B． C．6 D．8
7、【答案】C
【解析】由已知，因为，所以，即.故选：C.
8．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8、【答案】C
【解析】，是夹角为的两个单位向量，所以
，
，
，
设与的夹角为，可得，
因为，所以．故选：C．
9．已知正方形的对角线，点P在另一对角线上，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．4
9、【答案】B
【解析】设，则为的中点，且，如下图所示：
，所以，.故选：B.
10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则
B．，若与平行，则
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，与向量同方向的单位向量为
10、【答案】BCD
【解析】对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；
对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；
对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；
对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.
故选：BCD.
11．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影为
11、【答案】AB
【解析】因为，所以．
在A中，由，可得，故A正确；
在B中，由，可得，故B正确；
在C中，由，可得与的夹角为，故C错误；
在D中，在方向上的投影为，故D错误．
故选:AB．
12．在直角梯形中，，，，，E为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
12、【答案】ABD
【详解】
A项，，故A正确；
B项，，，故B正确；
C项，因为与反向共线，，所以，故C不正确；
D项，
，故D正确．
13．如图，已知长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．对任意，不成立
D．的最小值为4
13、【答案】BCD
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴建立平面直角坐标系，则，，，，由，可得，
A项，当时，，则，，
设，又，所以，得，
故，A错误；
B项，当时，，则，，
故，B正确；
C项，，，
若，则，
对于方程，，
故不存在，使得，C正确；
D项，，所以，
当且仅当时等号成立，D正确.
故选：BCD.
14．设向量，，且在方向上的投影向量为，则___________.
14、【答案】
【解析】如图所示，由向量，，
可得，且，可得，
因为在方向上的投影为，可得，即.
故答案为：.
15．已知向量的夹角为120°，，若，则实数λ=___________.
15、【答案】
【解析】因为向量的夹角为120°，，且，
所以，即，
所以，解得，故答案为：
16．已知，，，则与的夹角为________；
16、【答案】
【解析】设与的夹角为θ，
，
∴，所以.故答案为：.
17．已知平面向量，，若，则___________.
17、【答案】
【解析】由题设，，即，则，
所以，
故.故答案为：.
18．已知，，，则__________.
18、【答案】
【解析】因为，，，
所以，所以，
所以，故答案为：.
19．已知非零向量， 且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____
19、【答案】
【解析】由题意知，，且与不共线，
即
且，解得且.故答案为：.
20．(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________．
20、－1 [法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，
在△EAB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.
以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0，0)，D(5，0)，E(1，)，B(3，)，
∴＝(2，－)，＝(1，)，
∴·＝(2，－)·(1，)＝－1.
法二：同法一，求出EB＝EA＝2，
以，为一组基底，
则＝－，＝＋＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－2＋·－2
＝×5×2×－12－×25＝－1.]
21．如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，，
（1）用向量和表示向量，；
（2）若，，求实数x和y的值.
21、【解析】（1）
（2）因为
.
即
因为与不共线，从而，解得
22．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b＝．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若向量a＋b与a－b的模相等，求角α．
22、[解] (1)证明：由题意，知a＋b＝，a－b＝．
∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)易得|a|＝1，|b|＝1．
由题意，知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，
∴－cos α＋sin α＝0，∴tan α＝．
又0≤α＜2π，∴α＝或α＝．
23．如图，已知中，，设．
（Ⅰ）若D是的中点，用分别表示向量；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）求与的夹角的余弦值．
23、【详解】
解：（Ⅰ）依题意D是的中点，，所以，
（Ⅱ）因为，所以
所以
（Ⅲ），设与的夹角为，则
24．在等腰梯形ABCD中，已知，M是DC的中点，．
（1）若，求的值；
（2）连接BD交AM于点E，若，求的值．
24、【详解】
（1）因为
所以，解得，所以
（2）以点为原点如图建立直角坐标系
则有
所以直线的方程为，直线的方程为
联立可得点
所以，，
二、提高训练题
25．已知为等边三角形，，设点，满足，，与交于点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
25、【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
所以为的一个靠近的三等分点，又因为，所以为的中点，
过作交于点，如下图所示：
因为且，所以，所以，
所以，
所以，故选：D.
26．如图中，的平分线交的外接圆于点，则（ ）
A． B． C． D．
26、【答案】D
【详解】
连接BO、DO、BD，如图所示：
由题意得：，AD为的平分线，
所以四边形ABDO为菱形，即，
又，所以，
所以，
又，
所以
=
=.
故选：D
27．已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为_____.
27、【答案】
【解析】记线段的中点为，点到直线的距离为，
则有，解得，
由极化恒等式可得：
.
故答案为：.
28．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为________．
28、【答案】2
【解析】如图，因为，，，所以，
所以，，所以.
以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，，
所以，，
则，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以.故答案为：.
29．中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为________
29、【答案】
【详解】
因为，
所以
，
所以，所以
故答案为：
30．如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N．
（1）求的值；
（2）若Q是的中点，求的取值范围；
（3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值．
30、【详解】
解：（1）由正方形可得
所以；
（2）因为直线l过中心O且与两边分别交于交于点．
所以O为中点，所以
所以．
因为Q是BC的中点，
所以，
所以，
即的取值范围为；
（3）令，由知点T在BC上，
又因为O为中点，
所以，从而，
因为，
所以，
即的最小值为
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高一下学期期末复习导学案（四）
平面向量
班级 姓名
知识归纳
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度为单位1的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3．向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj.
我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标．记作a＝(x，y)．
(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O为坐标原点)
6．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
7．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．
8．两个向量的夹角
(1)已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
(2)规定：零向量可与任一向量垂直．
9．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
10．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积．
11．投影向量
向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ＝．
12．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)a⊥b a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝；
(4)cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
13．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
14．平面向量数量积的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝；
(4)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
15．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)．
典例分析
题型一、平面向量有关的概念
例1、(1)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则
a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(3)给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
题型二、向量的线性运算
例2-1、(1)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
(2)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝，则( )
A．＝12＋3 B．＝12－3
C．＝－12＋3 D．＝－12－3
例2-2、在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，
若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B．
C. D.
变式2、(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
(2)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，
则2r＋3s＝________.
题型三、共线向量定理的应用
例3、设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
变式3、(1)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
(2)已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
题型四、平面向量基本定理及其应用
例4、(1)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．－＋ D．－＋
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
变式4、(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于________．
(2)如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
题型五、平面向量的坐标运算
例5-1、(1)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
(2)已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
变式5-1、(1)已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为________．
(2)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(3)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
例5-2、已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
题型六、平面向量的数量积
1、求平面向量数量积的值
例6-1、(1)已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．
(2)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝_____．
例6-2、已知平面向量，满足，，点满足，为的外心，则的值为
A． B． C． D．
例6-3、在△ABC中，|BC|＝4，(＋)·＝0，则·＝( )
A．4 B．－4
C．－8 D．8
变式6-1、(1)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于( )
A．16 B．12 C．8 D．－4
(2)在长方形中，已知，，，则的值是（ ）
A． B．22 C．13 D．
(3)在中，，，为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
2、利用平面向量数量积求参数的值
例6-3、已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF．若·＝－9，则λ的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
变式6-2、已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3、利用平面向量数量积求向量的夹角
例6-4、已知空间向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式6-3、已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）
A． B． C． D．
变式6-4、已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4、利用平面向量数量积求向量的模长
例6-5、已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．3
变式6-5、(1)已知平面向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
(2)已知，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0
5、利用平面向量数量积求投影与投影向量
例6-6、(1)已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为( )
A． B．－
C．－ D．－
(2)已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为( )
A． B．
C． D．
变式6-6、(1)已知向量，，，，若在上的投影向量为（是与同向的单位向量），则（ ）
A．169 B．13 C．196 D．14
(2)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)且b在a方向上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．
6、平面向量数量积参数范围问题
例7-1、已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是___________.
例7-2、已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式7-1、在直角三角形ABC中，，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例7-3、如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（ ）
B． C． D．
变式7-2、如图，梯形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
课后作业
一、基础训练题
1．若，，与的夹角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
3．已知向量，，则在上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量满足，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
6．已知A,B,C是平面内三点，向量，满足，且，则（ ）
A．2 B．16 C．4 D．
7．已知向量=（k，1），=（3，2），=（1，3），且（），则实数k的值等于（ ）
A． B． C．6 D．8
8．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
9．已知正方形的对角线，点P在另一对角线上，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．4
10．(多选题)关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则
B．，若与平行，则
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，与向量同方向的单位向量为
11．(多选题)如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影为
12．(多选题)在直角梯形中,,,,,E为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
13．(多选题)如图，已知长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．对任意，不成立
D．的最小值为4
14．设向量，，且在方向上的投影向量为，则___________.
15．已知向量的夹角为120°，，若，则实数λ=___________.
16．已知，，，则与的夹角为________；
17．已知平面向量，，若，则___________.
18．已知，，，则__________.
19．已知非零向量， 且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_____
20．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________．
21．如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，，
（1）用向量和表示向量，；
（2）若，，求实数x和y的值.
22．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b＝．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若向量a＋b与a－b的模相等，求角α．
23．如图，已知中，，设．
（Ⅰ）若D是的中点，用分别表示向量；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）求与的夹角的余弦值．
24．在等腰梯形ABCD中，已知，M是DC的中点，．
（1）若，求的值；
（2）连接BD交AM于点E，若，求的值．
二、提高训练题
25．已知为等边三角形，，设点，满足，，与交于点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
26．如图中，的平分线交的外接圆于点，则（ ）
A． B． C． D．
27．已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为_____.
28．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为________．
29．中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为________
30．如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N．
（1）求的值；
（2）若Q是的中点，求的取值范围；
（3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值．
高一下学期期末复习导学案（四）
平面向量参考答案
例1、(1)【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
(2)【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
(3)【答案】②③
【解析】①不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.②正确．若＝，则||＝||且∥.
又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．∴a，c的长度相等且方向相同，∴a＝c.
④不正确,当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b的充要条件．
例2-1、【答案】(1)A (2)A
【解析】(1)∵＝a，＝b，＝，∴－＝(－)，
∴＝＋＝a＋b.故选A.
(2)法一：对于A.＝12＋3＝12(－)＋3(－)＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
法二：已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，所以16－12＝0，所以＝12＋3，故选A.
例2-2、【答案】D
【解析】由题意易得＝＋＝＋，则2＝＋，
即＝＋.所以λ＝，μ＝，故λ＋μ＝＋＝.
变式2、(1)【答案】A
【解析】＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.
(2)【答案】3
【解析】根据图形，由题意可得＝＋＝＋
＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
例3、【解】(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
变式3、(1)【答案】C
【解析】由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
(2)【答案】B
【解析】由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
例4、【答案】(1)C
【解析】(1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋
＝＋＝＋，
于是＝－＝－＝－＝－＋.
(2)【答案】
【解析】因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，
所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－＝λ－
＝＋，又＝t＝t(－)＝t＝－t.
故解得故t的值是.
变式4、(1)【答案】
【解析】因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
(2)【解】设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝，
得
①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，所以＝－e1＋e2.
同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
例5-1、(1)【答案】B
【解析】(1)设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以
解得所以P.
(2)【答案】(2,4)
【解析】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
变式5-1、(1)【答案】
【解析】因为＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，
所以＝＝，所以＝.
(2)【答案】(3,3)
【解析】法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
(3)【答案】4
【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
例5-2、【解】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.
例6-1、(1)【答案】6
【解析】a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2××2×＝6．
(2)【答案】1
【解析】因为＝＋＝＋，＝＋，
所以·＝(＋)·(＋)＝||2＋||2＋·
＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1．
例6-2、【答案】A
【解析】，，
，，
以为坐标原点，，垂直于所在直线为，轴建立平面直角坐标系，如图
则，设，由，知，，，
解得，，又为的外心，，
，为等边三角形，，
，．
例6-3、【答案】D
【解析】设M为BC的中点，则＋＝2，
∵(＋)·＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
则·＝||||cos∠B＝(||cos∠B)·＝BM·BC＝2×4＝8，故选D.
变式6-1、(1)【答案】A
【解析】以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．
设E(0，t)，·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，∴t＝，即E，
·＝·(0，6)＝16．
(2)【答案】C
【解析】因为，，
故.
(3)【答案】A
【解析】，
，
因此，.
例6-3、【答案】B
【解析】依题意得＝＋＝－，＝＋，
因此·＝(－)(＋)＝2－2＋·，
于是有×62＋×62×cos 60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B．
变式6-2、【答案】C
【解析】由题意，可得，
即，解得.故选：C.
例6-4、【答案】C
【解析】因为，所以，因为，，
所以，即，
所以，所以.故选：C
变式6-3、【答案】C
【解析】由已知知，，
则，故选：C.
变式6-4、【答案】B
【解析】将等式两边平方，得，即，
将代入，得.故选：B.
例6-5、【答案】A
【解析】∵，，且与的夹角为，∴，
∴，∴．
变式6-5、(1)【答案】C
【解析】因为平面向量的夹角为，且，
所以，
所以.故选：C.
(2)【答案】A
【解析】，解得，.故选：A.
例6-6、(1)【答案】D
【解析】由a＝(1,2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，
∴向量b在a方向上的投影为＝－.
(2)【答案】D
【解析】向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝－b，其坐标为－(1，)＝．
变式6-6、(1)【答案】B
【解析】因为在上的投影向量为，是与同向的单位向量，所以，
因为，所以，因为，所以，
所以
，
所以
(2)【答案】
【解析】因为b在a方向上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，
又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，
又a·b＝3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，
所以|b|＝＝6，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，
因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.
例7-1、【答案】
【解析】由题意，与的夹角为锐角，故，即 ，即 ，
当与共线时， ，解得 或，
当与同向时，，此时， 但不符合与的夹角为锐角，
故实数的取值范围是
例7-2、【答案】D
【解析】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形，
所以，则，
由.故选：D
变式7-1、【答案】B
【解析】如图，中，，
则，，
令，则，
于是得
当时，，当或时，，
所以取值范围为.故选：B
例7-3、【答案】B
【解析】由，设，
则，
所以当时，取得的最小值为.故选：B .
变式7-2、【答案】D
【解析】以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，则，，
因为，所以，解得，即，
设，，，则，，
所以，
所以的最小值为．故选：D.
课后作业
1、【答案】B
【解析】由平面向量数量积的定义可得.
2、【答案】D
【解析】由共线向量定理可知存在实数λ，使，即，
又与是不共线向量，∴，解得故选：D
3、【答案】A
【解析】，∴，又∵向量，
∴向量在的投影为，
所以，向量在方向上的投影向量为.
4、【答案】B
【解析】由题知，，，
则，
代值运算得：，解得或（舍去），故.
5、【答案】B
【解析】，，，
为斜边的中线，．故选：B．
6、【答案】C
【解析】由，得，所以
.
7、【答案】C
【解析】由已知，因为，所以，即.故选：C.
8、【答案】C
【解析】，是夹角为的两个单位向量，所以
，
，
，
设与的夹角为，可得，
因为，所以．故选：C．
9、【答案】B
【解析】设，则为的中点，且，如下图所示：
，所以，.
10、【答案】BCD
【解析】对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；
对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；
对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；
对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.
11、【答案】AB
【解析】因为，所以．
在A中，由，可得，故A正确；
在B中，由，可得，故B正确；
在C中，由，可得与的夹角为，故C错误；
在D中，在方向上的投影为，故D错误．
12、【答案】ABD
【解析】A项，，故A正确；
B项，，，故B正确；
C项，因为与反向共线，，所以，故C不正确；
D项，，故D正确．
13、【答案】BCD
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴建立平面直角坐标系，则，，，，由，可得，
A项，当时，，则，，
设，又，所以，得，故，A错误；
B项，当时，，则，，
故，B正确；
C项，，，
若，则，
对于方程，，
故不存在，使得，C正确；
D项，，所以，当且仅当时等号成立，D正确.
14、【答案】
【解析】如图所示，由向量，，
可得，且，可得，
因为在方向上的投影为，可得，即.
15、【答案】
【解析】因为向量的夹角为120°，，且，
所以，即，
所以，解得，故答案为：
16、【答案】
【解析】设与的夹角为θ，
，
∴，所以.故答案为：.
17、【答案】
【解析】由题设，，即，则，所以，
故.
18、【答案】
【解析】因为，，，所以，所以，
所以，故答案为：.
19、【答案】
【解析】由题意知，，且与不共线，
即且，解得且.
20、【答案】20、－1
【解析】法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，
在△EAB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.
以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0，0)，D(5，0)，E(1，)，B(3，)，
∴＝(2，－)，＝(1，)，
∴·＝(2，－)·(1，)＝－1.
法二：同法一，求出EB＝EA＝2，以，为一组基底，
则＝－，＝＋＝－，
∴·＝(－)·(－)＝·－2＋·－2
＝×5×2×－12－×25＝－1.
21、【解】（1）,
（2）因为.
即
因为与不共线，从而，解得
22、【解】(1)证明：由题意，知a＋b＝，a－b＝．
∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)易得|a|＝1，|b|＝1．由题意，知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，
∴－cos α＋sin α＝0，∴tan α＝．又0≤α＜2π，∴α＝或α＝．
23、【解】（Ⅰ）依题意D是的中点，，所以，
（Ⅱ）因为，所以
所以
（Ⅲ），设与的夹角为，则
24、【解】（1）因为,
,
所以，解得，所以
（2）以点为原点如图建立直角坐标系,则有
所以直线的方程为，直线的方程为
联立可得点 所以，，
25、【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
所以为的一个靠近的三等分点，又因为，所以为的中点，
过作交于点，如下图所示：
因为且，所以，所以，
所以，
所以，故选：D.
26、【答案】D
【解析】连接BO、DO、BD，如图所示：
由题意得：，AD为的平分线，
所以四边形ABDO为菱形，即，
又，所以，所以，
又，
所以
==.
27、【答案】
【解析】记线段的中点为，点到直线的距离为，
则有，解得，
由极化恒等式可得：.
28、【答案】2
【解析】如图，因为，，，所以，
所以，，所以.
以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，，所以，，
则，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以.故答案为：.
29、【答案】
【解析】因为，
所以
，所以，所以
30、解：（1）由正方形可得,所以；
（2）因为直线l过中心O且与两边分别交于交于点．
所以O为中点，所以
所以．
因为Q是BC的中点，所以，所以，
即的取值范围为；
（3）令，由知点T在BC上，
又因为O为中点，所以，从而，
因为，所以，
即的最小值为
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