导学案（五）解三角形

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高一下学期期末复习导学案（五）
解三角形
班级 姓名
知识归纳
1、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝；cos B＝；cos C＝
2、三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
3、三角形中的常用公式及变式
(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，＝－，从而
sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)，sin＝cos， cos＝sin .
(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(3)在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.
4、三角形解的个数
已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
典例分析
题型一、给值求值解三角形
【例1】已知中，角，，所对的边分别为，，，且，，则等于（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【变式1-1】在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式1-2】一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　　)
A．50(＋1)m B．100(＋1)m
C．50 m D．100 m
【变式1-3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
题型二、边角统一解三角形
【例2】△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，则______．
【变式2-1】在，内角所对的边长分别为．若，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】设的内角，，所对边的长分别为，，，且
（1）求角的大小；
（2）若，，为的中点，求的长.
【变式2-3】已知三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型三、三角形解的个数判断
【例3】在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则解的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式3-1】不解三角形，下列三角形中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、三角形的形状判断
【例4】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式4-1】已知a，b，c分别为△三个内角A，B，C的对边，且，则△是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【变式4-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式4-3】已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
题型五、三角形的面积问题
【例5】已知的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．
【变式5-2】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，BD=2AD，，则△ABC的面积为______.
题型六、多三角形中的解三角形问题
【例6】如图，在中，，求_______．
【变式6-1】如图，在四边形中，，，，．
(1)求； (2)求．
【变式6-2】已知圆内接四边形中，，，．
(1)求的长及该外接圆的面积；
(2)求的正弦值
题型七、解三角形中的最值问题
1、三角形面积最值范围问题
【例7】的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【变式7-1】在锐角中，角,,的对边分别为,,，若，．
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求面积的取值范围．
2、三角形周长最值范围问题
【例8】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，A为的最小角，求周长的取值范围．
【变式8】已知锐角中，内角所对的边分别为，且满足
（1）求角的大小；
（2）若边长，求的周长取值范围．
3、与边长有关的最值范围问题
【例9】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b.c，且面积为，.
（1）求角B的大小
（2）求的取值范围
【变式9】在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
4、与角度有关的最值范围问题
【例10】在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【变式10】在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）若，求角A；
（2）求的取值范围．
课后作业
一、基础训练题
1、中，角所对的边分别为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
2、在中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3、在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于( )
A． B． C． D．
5、已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（ ）
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
6、(多选题)在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解
7、在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定
8、在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
9、(多选题)已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
10、在中，若，，的面积为，则（ ）
A．13 B． C．2 D．
11、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
12、在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积（ ）
A． B． C．1 D．
13、在中，，，，点在边上且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
14、如图，在中，，是边上一点，，，，则（ ）
A．6 B． C． D．
15、在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝________.
16、在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则______．
17、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是____．
18、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且．
(1)求；
(2)若是的中点，求的长．
19、如图，在中，，点D在AB边上，且．
(1)求； (2)求BC的长．
20、如图，在四边形中，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
21、如图，是直角三角形斜边上一点，.
(1)若，求角的大小；
(2)若，且，求的长.
22、如图，平面凸四边形中，，，______，，从①面积，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上并求出.（附注：末注明选项则默认选①）
二、提高训练题
23、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值.
24、已知的内角的对边分别为a，，若向量，且
（1）求角的值；
（2）已知的外接圆半径为，求周长的最大值.
25、已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且满足．
（1）求；
（2）若，求锐角的周长l的取值范围．
26、在中，分别是角所对的边，满足．
（1）求角B大小；
（2）求的取值范围．
27、在中，角所对的边分别为，满足
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
高一下学期期末复习导学案（五）
解三角形参考答案
【例1】【答案】D
【解析】由正弦定理得：，解得：，又，所以60°或120°，
因为，所以，经检验，均符合要求.故选：D
【变式1-1】【答案】A
【解析】由余弦定理得：，故.故选：A
【变式1-2】【答案】A
【解析】如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．
【变式1-3】【答案】　
【解析】在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.
【例2】【答案】
【解析】结合正弦定理可得，即，故，
所以，因为，所以，故答案为：.
【变式2-1】【答案】A
【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
【变式2-2】【解析】（1）因为，所以，又
所以，，所以.
（2）在中，由得，满足，故
在中.
【变式2-3】【答案】B
【解析】因为，所以得，
又因为，所以，进而有，
因为，所以，由正弦定理得，
又，消，可得，所以，故选：B.
【例3】【答案】B
【解析】由正弦定理得，
由于所以为锐角，所以，故三角形有唯一解.故选：B
【变式3-1】【答案】D
【解析】对A， B为钝角，只有一解；对B， B为锐角，只有一解；
对C， A为直角，只有一解；对D， B为锐角，A有两解；故选：D
【例4】【答案】C
【解析】由，可得，即则，又，则
则的形状为钝角三角形故选：C
【变式4-1】【答案】D
【解析】由余弦定理得：，
所以，整理得，
当时，△是等腰三角形；当时，△是直角三角形.故选：D
【变式4-2】【答案】B
【解析】因为，所以，则，所以，
所以是等腰三角形.故选：B.
【变式4-3】【答案】C
【解析】中，∵且，∴，
将，代入余弦定理
可得，化简可得，即，
又∵，由等边三角形判定定理可知为等边三角形.故选：C.
【例5】【答案】D
【解析】 ，即，则 ，由于 ，故.
【变式5-1】【答案】＋1　
【解析】∵b＝2，B＝，C＝，
由正弦定理＝，得c＝＝＝2，A＝π－(＋)＝，
∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.
【变式5-2】【答案】A
【解析】由三角形的面积公式可得，解得，
由余弦定理可得，
设的外接圆半径为，由正弦定理，
所以，.故选：A.
【变式5-3】【答案】
【解析】因为，设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，即，
于是得，解得，则，
所以的面积.故答案为：
【例6】【答案】
【解析】由题得. 设，
所以，，
在直角三角形中，.
在中，由正弦定理得.故答案为：
【变式6-1】【解析】（1）中，；
（2），，
所以，所以．
【变式6-2】【解析】（1）设，则，
在和中，由余弦定理知：，
即，解得：，，
在中，由正弦定理得：（为外接圆半径），
，该外接圆的面积.
（2）在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：
，，
【例7】【解析】（1）依题意，
由正弦定理得，
由于，所以，则.
（2）由余弦定理得，即，
当且仅当时等号成立.
所以.即面积的最大值为.
【变式7-1】【解析】（1），，，
，，为锐角，，
，由正余弦定理可得，
整理可得，解得．
（2），，
，
，
，
，，，
，，，，
【例8】【解析】（1）由正弦定理可得，又因为，得，
则．因为，得，
因为，所以．
（2）由（1）知，又，所以．
由正弦定理，得，则，，
则
．
由，得，可得．
故周长的取值范围为．
【变式8】【解析】（1）由正弦定理可得：，
，即，
，又，.
（2）由正弦定理得：，，
，
，即，，，
，则，
，即周长的取值范围为.
【例9】【解析】（1）由余弦定理可得：，所以，
因为，则，
因为，所以.
（2）由正弦定理可得：，
因为，所以，
则是钝角，所以，
所以，，可得：.
【变式9】【解析】（1）在中，，
∵，
∴，
即，
由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴，∴.
（2）由正弦定理得：，∴，，
∴
，
∵，∴，即，
∴，，
∴，即.
【例10】【解析】（1）由，
得，即，
∴，又，∴；
（2）∵，
又为锐角三角形，∴，∴，
∴，，∴，
故的取值范围为.
【变式10】【解析】（1），，
由正弦定理得，，，，
，，
∴，，即；
（2）
，
，∴，.
课后作业
1、【答案】B
【解析】因为，，所以由正弦定理得，即，解得.
2、【答案】A
【解析】由正弦定理及，可得.因为，
所以，又，所以，所以.故选：A.
3、【答案】A
【解析】因为，所以，即，
因为，则，故选：A.
4、【答案】C
【解析】根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac，得cos B＝＝，故B＝.
5、【答案】B
【解析】在中，由正弦定理可得 因为，，
所以，所以或（舍）
由三角形的内角和可得：，
所以此三角形为正三角形，有唯一解.故选：B.
6、【答案】ABC
【解析】对于，因为为锐角且，所以有唯一解，故错误；
对于，因为为锐角且，故有两解，故错误；
对于，因为为锐角且 ，所以无解，故错误；
对于，因为为锐角且，所以无解，故正确.
故选：ABC.
7、【答案】C
【解析】在中，原等式化为：，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得：，整理得，
则有，于是有或，
是等腰三角形或直角三角形.
8、【答案】C
【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，
由2cosAsinB＝sinC，得∴，即，又，
故三角形为等边三角形.故选：C
9、【答案】AC
【解析】对于A．若，则，
，即，即△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理得，
，则或，即或，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若，则
即，则△ABC是等腰三角形，故C正确；
对于D，△ABC中，∵，∴，
所以角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．故选：AC．
10、【答案】B
【解析】在中， ，，的面积为，
所以，解得：c=4.
由余弦定理得：，所以.故选：B.
11、【答案】A
【解析】由已知可得，即．
法一：由余弦定理得，则，
所以，由此知为直角三角形．
法二：由正弦定理得：．
在中，，
从而有，
即．在中，，所以．
由此得，故为直角三角形.故选：A.
12、【答案】D
【解析】根据正弦定理，由，，
由余弦定理可知：，解得，或（舍去），
因为，所以，
因此，故选：D
13、【答案】D
【解析】因为，则为锐角，且，
所以，
由余弦定理可得，则，
因为点在边上且，则，
所以，，故.故选：D.
14、【答案】D
【解析】在三角形中，由余弦定理得，
由于，所以，
在三角形中，由正弦定理得.故选：D
15、【答案】75°
【解析】由正弦定理知＝，又a＝14，b＝7，B＝60°，∴sin A＝＝＝，
∵a16、【答案】
【解析】中，角，，所对的边分别是，，，
由，得，故，
若，则，即．
，故，
代入，解得．故答案为：．
17、【答案】
【解析】由余弦定理得，，即，
化简得，解得，所以
18、【解析】（1）在中，因为，
又因为，可得，所以，
所以由正弦定理得，
由，所以，可得，所以，
又由，所以，所以，所以，可得．
（2）在中，因为，，．
由余弦定理，可得，解得或（舍去），
因为D是BC的中点，所以，
于是得，
所以．
19、【解析】（1）由三角形的性质，可得，
因为，所以，
则.
（2）由，可得，
在中，利用正弦定理可得：，即，
在中，，
由余弦定理可得，所以．
20、【解析】（1）因为，所以，
所以可化为，
由二倍角公式可得：
因为BD所以，解得.
（2）在△ABD中， ， ，由余弦定理得：
，
即，所以.
在△BCD中，由正弦定理得，所以.
又因为∠C=2∠CBD，所以.
又因为，所以，
从而，所以，.
因此四边形ABCD的面积.
21、【解析】（1）在中，由正弦定理得 ，
所以，
又所以，.
（2）由，且知：
所以，直角三角形中，
在中，由余弦定理得
所以，.
22、【解析】选择①：，∴.
由余弦定理可得：
，
∴；
选择②：设，则，，
在中，，
即，解得：.
在中，，即.
解得：，∴
解得：，又∵，
∴，∴.
23、【解析】（1）对于.
由正弦定理知：
即.
所以.所以.
所以
因为，，所以.所以.
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理知：.
由余弦定理知：，
所以.当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为1.
所以，
即面积的最大值为.
24、【解析】（1）由，得 ，
由正弦定理，得，
即.
在中，由，得.
又 ，所以.
（2）根据题意，得，
由余弦定理，得，
即，
整理得，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为
所以.
所以的周长的最大值为.
25、【解析】（1）由
可得：
所以
（2）因为利用正弦定理得：
所以所以
所以
因为是锐角三角形，所以，
所以所以
所以
所以三角形周长l的范围为．
26、【解析】（1），
由正弦定理知：．
即：
，
又；
（2），且．
，
故的取值范围是.
27、【解析】（1）因为，所以，
化简得，所以，
因为，所以；
（2）由正弦定理得，
所以，同理，
由，故，
.
由，所以，所以，
所以的取值范围是.
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解三角形
班级 姓名
知识归纳
1、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝；cos B＝；cos C＝
2、三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
3、三角形中的常用公式及变式
(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，＝－，从而
sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)，sin＝cos， cos＝sin .
(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(3)在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.
4、三角形解的个数
已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
典例分析
题型一、给值求值解三角形
【例1】已知中，角，，所对的边分别为，，，且，，则等于（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【答案】D
【解析】由正弦定理得：，
解得：，又，所以60°或120°，
因为，所以，经检验，均符合要求.故选：D
【变式1-1】在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式1-1】【答案】A
【解析】由余弦定理得：，故.故选：A
【变式1-2】一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为(　　)
A．50(＋1)m B．100(＋1)m
C．50 m D．100 m
A　[如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin 75°＝100×＝50(＋1)(m)．]
【变式2-3】设锐角△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求角B的大小； (2)若，求．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
（2）由余弦定理得：
，
所以
题型二、边角统一解三角形
【例2】△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，则______．
【答案】
【解析】结合正弦定理可得，即，
故，
所以，
因为，所以，故答案为：.
【变式2-1】在，内角所对的边长分别为．若，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
【变式2-2】设的内角，，所对边的长分别为，，，且
（1）求角的大小；
（2）若，，为的中点，求的长.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为，所以
又
所以，，所以.
（2）在中，由得，
满足，故
在中.
【变式2-3】已知三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以得，
又因为，所以，进而有，
因为，所以，由正弦定理得，
又，消，可得，所以，故选：B.
题型三、三角形解的个数判断
【例3】在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则解的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【解析】由正弦定理得，
由于所以为锐角，所以，故三角形有唯一解.故选：B
【变式3-1】不解三角形，下列三角形中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A， B为钝角，只有一解；
对B， B为锐角，只有一解；
对C， A为直角，只有一解；
对D， B为锐角，A有两解；故选：D
题型四、三角形的形状判断
【例4】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】由，可得，即
则，又，则
则的形状为钝角三角形故选：C
【变式4-1】已知a，b，c分别为△三个内角A，B，C的对边，且，则△是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理得：，
所以，整理得，
当时，△是等腰三角形；
当时，△是直角三角形.故选：D
【变式4-2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，所以，
所以是等腰三角形.故选：B.
【变式4-3】已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】中，∵且，∴，
将，代入余弦定理
可得，化简可得，即，
又∵，由等边三角形判定定理可知为等边三角形.故选：C.
题型五、三角形面积求解
【例5】已知的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
即，则 ，
由于 ，故.
【变式5-1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．
＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，A＝π－(＋)＝，
∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.
【变式5-2】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角形的面积公式可得，解得，
由余弦定理可得，
设的外接圆半径为，由正弦定理，
所以，.故选：A.
【变式5-3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，BD=2AD，，则△ABC的面积为______.
【答案】
【解析】因为，设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，即，
于是得，解得，则，
所以的面积.故答案为：
题型六、多三角形中的解三角形问题
【例6】如图，在中，，求_______．
【答案】
【解析】由题得. 设，
所以，，
在直角三角形中，.
在中，由正弦定理得.故答案为：
【变式6-2】如图，在四边形中，，，，．
(1)求； (2)求．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）中，；
（2），，
所以，
所以．
【变式6-3】已知圆内接四边形中，，，．
(1)求的长及该外接圆的面积；
(2)求的正弦值
【答案】(1)，外接圆面积；(2)
【解析】（1）设，则，
在和中，由余弦定理知：，
即，解得：，，
在中，由正弦定理得：（为外接圆半径），
，该外接圆的面积.
（2）在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：
，，
题型七、解三角形中的最值问题
1、三角形面积最值范围问题
【例7】的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，
由正弦定理得，
由于，
所以，则.
（2）由余弦定理得，
即，
当且仅当时等号成立.
所以.
即面积的最大值为.
【变式7-1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，．
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2），
【解析】（1），
，，
，，
为锐角，，
，
由正余弦定理可得，
整理可得，解得．
（2），
，，
，
，
，，，
，，，
，
2、三角形周长最值范围问题
【例8】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，A为的最小角，求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理可得，
又因为，得，
则．
因为，得，
因为，所以．
（2）由（1）知，
又，所以．
由正弦定理，得，
则，，
则
．
由，得，可得．
故周长的取值范围为．
【变式8】已知锐角中，内角所对的边分别为，且满足
（1）求角的大小；
（2）若边长，求的周长取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理可得：，
，即，
，
又，.
（2）由正弦定理得：，，
，
，即，
，，
，则，
，
即周长的取值范围为.
3、与边长有关的最值范围问题
【例9】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b.c，且面积为，.
（1）求角B的大小
（2）求的取值范围
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理可得：，所以，
因为，则，
因为，所以.
（2）由正弦定理可得：，
因为，所以，
则是钝角，所以，
所以，，可得：.
【变式9】在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，，
∵，
∴，
即，
由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴，∴.
（2）由正弦定理得：，∴，，
∴
，
∵，∴，即，
∴，，
∴，即.
4、与角度有关的最值范围问题
【例10】在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）,
【解析】（1）由，
得，即，
∴，又，
∴；
（2）∵，
又为锐角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故的取值范围为.
【变式10】在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）若，求角A；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
由正弦定理得，
，
，，
，
，
∴，
，即；
（2）
，
，∴，
.
课后作业
一、基础训练题
1、中，角所对的边分别为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
1、【答案】B
【解析】因为，，
所以由正弦定理得，
即，解得.故选：B
2、在中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2、【答案】A
【解析】由正弦定理及，可得.因为，
所以，又，所以，所以.故选：A.
3、在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3、【答案】A
【解析】因为，
所以，即，
因为，则，故选：A.
4、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于( )
A. B. C. D.
4、【答案】C
【解析】根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac，
得cos B＝＝，故B＝.
5、已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（ ）
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
5、【答案】B
【解析】在中，由正弦定理可得
因为，，
所以，所以或（舍）
由三角形的内角和可得：，
所以此三角形为正三角形，有唯一解.故选：B.
6、(多选题)在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解
6、【答案】ABC
【解析】对于，因为为锐角且，所以有唯一解，故错误；
对于，因为为锐角且，故有两解，故错误；
对于，因为为锐角且 ，所以无解，故错误；
对于，因为为锐角且，所以无解，故正确.
故选：ABC.
7、在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定
7、【答案】C
【解析】在中，原等式化为：，
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得：，整理得，
则有，
于是有或，
是等腰三角形或直角三角形，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C
8、在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
8、【答案】C
【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，
由2cosAsinB＝sinC，得
∴，即，又，
故三角形为等边三角形.故选：C
9、(多选题)已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
9、【答案】AC
【解析】对于A．若，则，
，即，即△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，若，则由正弦定理得，
，则或，即或，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若，则
即，则△ABC是等腰三角形，故C正确；
对于D，△ABC中，∵，∴，
所以角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．故选：AC．
10、在中，若，，的面积为，则（ ）
A．13 B． C．2 D．
10、【答案】B
【解析】在中， ，，的面积为，
所以，解得：c=4.
由余弦定理得：，所以.故选：B.
11、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
11、【答案】A
【解析】由已知可得，即．
法一：由余弦定理得，则，
所以，由此知为直角三角形．
法二：由正弦定理得：．
在中，，
从而有，
即．在中，，所以．
由此得，故为直角三角形.故选：A.
12、在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积（ ）
A． B． C．1 D．
12、【答案】D
【解析】根据正弦定理，由，，
由余弦定理可知：，
解得，或（舍去），
因为，所以，
因此，故选：D
13、在中，，，，点在边上且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
13、【答案】D
【解析】因为，则为锐角，且，
所以，
由余弦定理可得，则，
因为点在边上且，则，
所以，，故.故选：D.
14、如图，在中，，是边上一点，，，，则（ ）
A．6 B． C． D．
14、【答案】D
【解析】在三角形中，由余弦定理得，
由于，所以，
在三角形中，由正弦定理得.故选：D
15、在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝________.
15、【答案】75°
【解析】由正弦定理知＝，
又a＝14，b＝7，B＝60°，
∴sin A＝＝＝，
∵a∴C＝180°－(B＋A)＝180°－(60°＋45°)＝75°.
16、在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则______．
16、【答案】
【解析】中，角，，所对的边分别是，，，
由，得，
故，
若，则，即．
，故，
代入，解得．故答案为：．
17、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是____．
17、【答案】
【解析】由余弦定理得，，即，
化简得，解得，
所以，故答案为：
18、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且．
(1)求；
(2)若是的中点，求的长．
18、【答案】(1)；(2)
【解析】（1）在中，因为，
又因为，可得，所以，
所以由正弦定理得，
由，所以，
可得，所以，
又由，所以，
所以，所以，可得．
（2）在中，因为，，．
由余弦定理，可得，解得或（舍去），
因为D是BC的中点，所以，
于是得，
所以．
19、如图，在中，，点D在AB边上，且．
(1)求； (2)求BC的长．
18、【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由三角形的性质，可得，
因为，所以，
则
.
（2）由，可得，
在中，利用正弦定理可得：，
即，
在中，，
由余弦定理可得，所以．
19、如图，在四边形中，.
(1)求；
(2)若，求四边形的面积.
19、【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因为，所以，
所以可化为，
由二倍角公式可得：
因为BD所以，解得.
（2）在△ABD中， ， ，由余弦定理得：
，
即，所以.
在△BCD中，由正弦定理得，所以.
又因为∠C=2∠CBD，所以.
又因为，所以，
从而，所以，.
因此四边形ABCD的面积.
20、如图，是直角三角形斜边上一点，.
(1)若，求角的大小；
(2)若，且，求的长.
20、【答案】(1)；(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得 ，
所以，
又
所以，.
（2）由，且知：
所以，直角三角形中，
在中，由余弦定理得
所以，.
21、如图，平面凸四边形中，，，______，，从①面积，②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上并求出.（附注：末注明选项则默认选①）
21、【答案】条件选择见解析，
【解析】选择①：，∴.
由余弦定理可得：
，
∴；
选择②：设，则，，
在中，，
即，解得：.
在中，，即.
解得：，∴
解得：，又∵，
∴，∴.
二、提高训练题
22、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值.
22、【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对于.
由正弦定理知：
即.
所以.
所以.
所以
因为，，所以.
所以.
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理知：.
由余弦定理知：，
所以.当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为1.
所以，
即面积的最大值为.
23、已知的内角的对边分别为a，，若向量，且
（1）求角的值；
（2）已知的外接圆半径为，求周长的最大值.
23、【答案】（1）；（2）6
【解析】（1）由，得 ，
由正弦定理，得，
即.
在中，由，得.
又 ，所以.
（2）根据题意，得，
由余弦定理，得，
即，
整理得，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为
所以.
所以的周长的最大值为.
24、已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且满足．
（1）求；
（2）若，求锐角的周长l的取值范围．
24、【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由
可得：
所以
（2）因为
利用正弦定理得：
所以
所以
所以
因为是锐角三角形，所以，
所以
所以
所以
所以三角形周长l的范围为．
25、在中，分别是角所对的边，满足．
（1）求角B大小；
（2）求的取值范围．
25、【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
由正弦定理知：．
即：
，
又；
（2），且．
，
故的取值范围是.
26、在中，角所对的边分别为，满足
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
26、【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
化简得，所以，
因为，所以；
（2）由正弦定理得，
所以，同理，
由，故，
.
由，所以，所以，
所以的取值范围是.
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