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高一下学期期末复习导学案（一）
三角函数的基本概念
班级 姓名
知识归纳
一、任意角
1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2、角的分类
3、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
二、弧度制
1、定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
2、公式
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 1°＝0.01745rad，1 rad＝≈57°18′
弧长公式
扇形面积公式
三、任意角的三角函数
1、 设点为角终边上任意一点，那么： ，，（设）
2、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
3、三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sinα R ＋ ＋ － －
cosα R ＋ － － ＋
tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
4、特殊角的弧度数与三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360°
角α的弧度数 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 － － －1 0 1
tan α 0 1 － － 0 0
四、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：＝tan α．
2、【常用结论】
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(3)sin α＝tan αcos α．
五、三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
典例分析
题型一 任意角及其表示
例1、(1)下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
(1)【答案】C
【详解】与终边相同的角为，当时，，
故选：C
(2)(多选题)下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时，时针转过的角是
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
(2)【答案】BD
【解析】对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为，则是终边在轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角的终边在第二象限，∴，，∴，，当，时，得是第一象限角；当，时，得是第三象限角，故正确．
变式1、若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为直线的倾斜角是，，所以终边落在直线上的角的取值集合为：或者．故选D．
题型二 弧度制及其应用
例2、已知扇形的周长为．
(1)若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．
【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，
（1）由题意可得，解得，或，，
∴或．
（2）∵，∴扇形的面积，
当且仅当，即时，扇形面积取得最大值．
∴，∴弦长．
变式2、5弧度的角的终边所在的象限为（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
利用轴间角的弧度数判断．
【详解】
因为，所以5弧度的角的终边在第四象限．
故选：D．
题型三 任意角的三角函数
例3、(1)(2021·重庆模拟)已知角的终边经过点，则的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角函数的定义可得：，
则．故选C．
(2)已知点在第二象限，则角在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】点在第二象限，则，，所以角在第三象限．故选C．
变式3、(1)已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数定义列方程，解得，再根据三角函数定义求结果.
【详解】
由三角函数定义得
由三角函数定义得
故选：C
(2)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则角的最小正角为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【答案】角的终边上一点的坐标为，即，故点在第四象限，且tan α＝＝－1，则角的最小正角为，故选D．
题型四 诱导公式的应用
例4、(1)已知角的终边过点，则的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为角α的终边过点，
所以，则．
故选A．
(2)已知，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，则．
故选A．
变式4、已知，则的值等于( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】．故选B．
题型五 同角三角函数基本关系式的应用
例5、(1)已知是第三象限角，且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，所以，又是第三象限角，
所以s，所以．
故选C．
(2)已知，则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知，
则．故选C．
(3)已知，，则的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，，所以，
所以．故选B．
变式5、化简下列各式：
（1）－；
（2） (1－cos α)．
【答案】（1）－2tan2α；（2）sin α.
【详解】
（1）原式＝＝＝＝－2tan2α.
（2）原式＝ (1－cos α)＝ (1－cos α)＝＝sin α.
课后作业
一、基础训练题
1．将300o化为弧度为（ ）
A． B． C． D．
1、【答案】B
【详解】．
故选：B．
2．sin 1 665°的值为（ ）
A．－ B．
C．－ D．
2、【答案】A
【详解】.
故选: A
3．若角的终边经过点，则的值为
A． B． C． D．
3、【答案】C
【详解】
由角的终边经过点，
则，，
所以.
故选：C
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
4、【答案】C
【解析】当，时，此时的终边和的终边一样；
当，时，此时的终边和的终边一样．结合选项知选C．
5．设角属于第二象限，且，则角属于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5、【答案】C
【解析】∵是第二象限角，∴，，∴，，
当，时，在第一象限；
当，时，在第三象限，
∴在第一象限或在第三象限，
∵，∴，∴角在第三象限．故选C．
6．已知，，则( )
A． B．
C． D．
6、【答案】D
【解析】∵，，
∴，∴．故选D．
7．若角的终边经过点，且，则m的值为（ ）．
A． B． C． D．4
7、【答案】C
【详解】因为角的终边经过点，所以，
所以，解得，
故选：C．
8．已知A是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
8、【答案】C
【详解】将平方，可得，
∴，由A是三角形的一个内角，
∴，A是钝角．
故选：C.
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵，∴，
∴，
故选：A.
10．求下列各式的值．
（1）；
（2）.
10、【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）
；
（2）.
11．已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
11、【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）原式上下同时除以，再代入正切值，化简求值；（2）首先变形构造关于的齐次分式，再化简为正切表示，求值.
【详解】
（1）原式上下同时除以，
得；
（2根据，
原式，上下同时除以，
.
二、提高训练题
12．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
12、【答案】C
【详解】由已知得，消去sinβ，得tanα＝3，
∴ sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sinα＝ (α为锐角).
故选：C.
13．(2021·福州月考)若，，则( )
A． B．
C． D．
13、【答案】A
【解析】因为，
所以，
又，则，，
所以，
所以，
所以．故选A．
14．已知cos＝2sin，求的值．
14、【答案】－.
【详解】因为cos＝2sin，
所以，所以tan＝2.
所以＝＝
＝＝＝
＝＝.
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高一下学期期末复习导学案（一）
三角函数的基本概念
班级 姓名
知识归纳
一、任意角
1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2、角的分类
3、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
二、弧度制
1、定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
2、公式
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 1°＝0.01745rad，1 rad＝≈57°18′
弧长公式
扇形面积公式
三、任意角的三角函数
1、 设点为角终边上任意一点，那么： ，，（设）
2、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
3、三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sinα R ＋ ＋ － －
cosα R ＋ － － ＋
tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
4、特殊角的弧度数与三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360°
角α的弧度数 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 － － －1 0 1
tan α 0 1 － － 0 0
四、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1； 商数关系：＝tan α．
2、【常用结论】
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(3)sin α＝tan αcos α．
五、三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
典例分析
题型一 任意角及其表示
例1、(1)下列各角中，与终边相同的角为( )
A． B． C． D．
(2)(多选题)下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时，时针转过的角是
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
变式1、若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是( )
A． B．
C． D．
题型二 弧度制及其应用
例2、已知扇形的周长为．
(1)若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．
变式2、5弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型三 任意角的三角函数
例3、(1)(2021·重庆模拟)已知角的终边经过点，则的值等于( )
A． B． C． D．
(2)已知点在第二象限，则角在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式3、(1)已知角的终边经过点，且，则( )
A． B． C． D．
(2)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则角的最小正角为( )
A． B． C． D．
题型四 诱导公式的应用
例4、(1)已知角的终边过点，则的值为( )
A． B． C． D．
(2)已知，则( )
A． B． C． D．
变式4、已知，则的值等于( )
A． B． C． D．
题型五 同角三角函数基本关系式的应用
例5、(1)已知是第三象限角，且，则( )
A． B． C． D．
(2)已知，则( )
A． B． C． D．
(3)已知，，则的值为( )
A． B． C． D．
变式5、化简下列各式：
(1)－；
(2) (1－cos α)．
课后作业
一、基础训练题
1．将300o化为弧度为（ ）
A． B． C． D．
2．sin 1 665°的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
3．若角的终边经过点，则的值为
A． B． C． D．
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
5．设角属于第二象限，且，则角属于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．已知，，则( )
A． B． C． D．
7．若角的终边经过点，且，则m的值为（ ）．
A． B． C． D．4
8．已知A是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．求下列各式的值．
（1）；
（2）.
11．已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
二、提高训练题
12．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝（ ）
A． B．
C． D．
13．若，，则( )
A． B．
C． D．
14．已知cos＝2sin，求的值．
高一上学期期末复习导学案（一）
三角函数的基本概念参考答案
例1、(1)【答案】C
【解析】与终边相同的角为，当时，，
(2)【答案】BD
【解析】对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为，则是终边在轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角的终边在第二象限，∴，，∴，，当，时，得是第一象限角；当，时，得是第三象限角．
变式1、【答案】D
【解析】因为直线的倾斜角是，，所以终边落在直线上的角的取值集合为：或者．故选D．
例2、【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，
（1）由题意可得，解得，或，，
∴或．
（2）∵，∴扇形的面积，
当且仅当，即时，扇形面积取得最大值．
∴，∴弦长．
变式2、【答案】D
【解析】因为，所以5弧度的角的终边在第四象限．
例3、(1)【答案】C
【解析】由三角函数的定义可得：，
则．故选C．
(2)【答案】C
【解析】点在第二象限，则，，所以角在第三象限．故选C．
变式3、(1)【答案】C
【解析】由三角函数定义得
由三角函数定义得
(2)【答案】D
【解析】角的终边上一点的坐标为，即，故点在第四象限，且tan α＝＝－1，则角的最小正角为，故选D．
例4、(1)【答案】A
【解析】因为角α的终边过点，
所以，则．
(2)【答案】A
【解析】，则．
变式4、【答案】B
【解析】．故选B．
例5、(1)【答案】C
【解析】，所以，又是第三象限角，
所以s，所以．
(2)【答案】C
【解析】由已知，
则．故选C．
(3)【答案】B
【解析】由题意，因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，，所以，
所以．故选B．
变式5、【解析】（1）原式＝＝＝＝－2tan2α.
（2）原式＝ (1－cos α)＝ (1－cos α)＝＝sin α.
课后作业
1、【答案】B
【解析】．
2、【答案】A
【解析】.
3、【答案】C
【解析】由角的终边经过点，
则，，
所以.
4、【答案】C
【解析】当，时，此时的终边和的终边一样；
当，时，此时的终边和的终边一样．结合选项知选C．
5、【答案】C
【解析】∵是第二象限角，∴，，∴，，
当，时，在第一象限；
当，时，在第三象限，
∴在第一象限或在第三象限，
∵，∴，∴角在第三象限．故选C．
6、【答案】D
【解析】∵，，
∴，∴．故选D．
7、【答案】C
【解析】因为角的终边经过点，所以，所以，解得
8、【答案】C
【解析】将平方，可得，
∴，由A是三角形的一个内角，
∴，A是钝角．
9、【答案】A
【解析】∵，∴，
∴，
10、【解】（1）
；
（2）.
11、【解】（1）原式上下同时除以，
得；
（2根据，
原式，上下同时除以，
.
12、【答案】C
【解析】由已知得，消去sinβ，得tanα＝3，
∴ sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sinα＝ (α为锐角).
13、【答案】A
【解析】因为，所以，
又，则，，所以，
所以，
所以．故选A．
14、【答案】－.
【解析】因为cos＝2sin，
所以，所以tan＝2.
所以＝＝
＝＝＝
＝＝.
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