第一章 三角形 1 认识三角形 培优专题二 三角形“三线”的应用 同步训练（含答案）

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三角形
1 认识三角形
培优专题二 三角形“三线”的应用
类型1 利用中线求面积
1.如图,△ABC的三边的中线 AD,BE,CF的公共点为 G，且AG:GD=2:1.若 =12，则图中阴影部分的面积是___________.
2.在图1至图3中,已知△ABC的面积为a.
(1)如图1,延长△ABC 的边 BC 到点 D,使CD=BC,连接 DA.若△ACD的面积为 S ,则S =______________(用含a的代数式表示);
(2)如图2,延长△ABC 的边 BC 到点 D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE. 若△DEC 的面积为 S ,则S =________________(用含a的代数式表示)；
(3)在图2的基础上延长AB到点 F,使BF=AB,连接 FD,FE,得到△DEF(如图 3).若阴影部分的面积为 S ，则 S =______________(用含a的代数式表示)，并运用上述(2)的结论写出理由.
发现：
像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____________倍.
应用：
要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在
△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次(图4已给出了前两次扩展的图案).在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花.如果种红花的区域(即△ABC)的面积是 10平方米，请你运用上述结论求出：
①种紫花的区域的面积；
②种蓝花的区域的面积.
类型 2 利用角平分线或高求角度
3.如图,∠B=60°,∠C=40°,AD⊥BC,AE平分∠BAC,求∠DAE的度数.
4.如图,已知 BD,CE是△ABC的角平分线,其交点为O,OF⊥BC于点F.
试说明：
参考答案
1.4 【解析】因为 AG:GD=2:1,所以AG:AD=2:3.所以
又因为 所以
因为 所以
同理 所以图中阴影部分的面积为 4.
2.解:(1)a (2)2a (3)6a
理由:因为CD=BC,AE=CA,BF=AB,
所以由(2)得
所以S =6a.
发现:7
应用:(①(7 -7)×10=420(平方米).
②(7 -7 )×10=2940(平方米).
3.解:因为∠B+∠BAC+∠C=180°,∠B=60°,C=40°,所以∠BAC=80°.
因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=40°.
又因为∠B=60°,AD⊥BC,所以∠BAD=90°—∠B=90°—60°=30°.
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°.
4.解:因为 OF⊥BC,所以∠OFB=90°,所以∠BOF=90°-∠OBF.
因为 BD,CE是△ABC的角平分线,所以
所以
因为∠BEC=∠A+∠ACE,所以
所以 ∠ACB).
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,所以
所以
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