江苏省徐州市2023年中考数学试卷
1．（2023·徐州）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．（2023·徐州）下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·徐州）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·徐州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·徐州）徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示．
其中，海拔为中位数的是（ ）
A．第五节山 B．第六节山 C．第八节山 D．第九节山
6．（2023·徐州）的值介于（ ）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
7．（2023·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
9．（2023·徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
10．（2023·徐州）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为 ．
11．（2023·徐州）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2023·徐州）正五边形的一个外角的大小为 度．
13．（2023·徐州）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 .
14．（2023·徐州）如图，在中，若，则 °．
15．（2023·徐州）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．
16．（2023·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ．
17．（2023·徐州）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．
18．（2023·徐州）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．
19．（2023·徐州）计算：
（1）；
（2）．
20．（2023·徐州）
（1）解方程组
（2）解不等式组
21．（2023·徐州）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ；
（2）扇形统计图中对应圆心角度数为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数．
22．（2023·徐州）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
23．（2023·徐州）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．
24．（2023·徐州）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当取何值时，四边形的面积为10？
（3）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
25．（2023·徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：）
26．（2023·徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
27．（2023·徐州）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
（1）【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
（2）【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：．
（3）【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ．
28．（2023·徐州）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）随着点线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A、地球绕着太阳转，属于必然事件，故符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，故不符合题意；
C、天空出现三个太阳，属于不可能事件，故不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
B、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由数轴可得点C距离原点最近，故|c|最小.
故答案为：C.
【分析】由数轴可得点C距离原点最近，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a5，故错误；
B、a4÷a2=a2，故正确；
C、(a3)2=a6，故错误；
D、2a2+3a2=5a2，故错误.
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断C；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断D.
5．【答案】C
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：将各节山的高度按照由低到高的顺序排列为：90.7、99.2、104.1、119.2、131.8、133.5、136.6、139.6、141.6，故中位数为131.8，即为第八节山.
故答案为：C.
【分析】将各节山的高度按照由低到高的顺序进行排列，找出最中间的数据所对应的山即可.
6．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵252=625，302=900，352=1225，402=1600，452=2025，
∴40<<45.
故答案为：D.
【分析】分别计算出25、30、35、40、45的平方，然后进行判断.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1，即y=(x-1)2+2.
故答案为：B.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=.
∵，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
9．【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和5，
∴2<第三边<8.
∵三角形的边长均为整数，
∴第三边的长可以为4.
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围，然后结合三角形的边长均为整数进行解答..
10．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4370000=4.37×106.
故答案为：4.37×106.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x-3≥0，
∴x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x-3≥0，求解即可.
12．【答案】72
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形的外角和为360°
∴一个外角的度数为360°÷5=72°
【分析】根据题意，结合多边形的外交和为60°，由正五边形的边数即可得到一个外角的度数。
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
则，解得，
故答案为：4
【分析】由于关于x的方程有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.
14．【答案】55
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠EDF=120°，
∴∠EDF+∠B=180°，
∴∠B=180°-120°=60°.
∵∠GFD=115°，
∴∠GFB=180°-∠GFD=65°.
∵FG∥AC，
∴∠C=∠FGC=180°-∠B-∠GFB=180°-60°-65°=55°.
故答案为：55.
【分析】由平行线的性质可得∠EDF+∠B=180°，∠C=∠FGC，结合∠EDF的度数可得∠B的度数，根据邻补角的性质可得∠GFB的度数，然后在△BFG中，利用内角和定理进行计算.
15．【答案】66
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
∵BF是切线，AB是直径，
∴∠ABF=90°.
∴∠AFB=68°，
∴∠BAF=90°-∠AFB=22°，
∴∠BOD=2∠BAF=44°.
∵，
∴∠COA=2∠BOD=88°，
∴∠CDA=∠COA=44°，
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
故答案为：66.
【分析】连接OC、OD，由切线的性质可得∠ABF=90°，则∠BAF=90°-∠AFB=22°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAF=44°，结合可得∠COA=2∠BOD=88°，由圆周角定理可得∠CDA=∠COA=44°，根据外角的性质可得∠DEB=∠BAF+∠CDA，据此计算.
16．【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=，
解得r=2.
故答案为：2.
【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出r的值.
17．【答案】4
【知识点】反比例函数的图象；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（-1，0），N（0，1），
∴OM=ON=1.
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，PA=PB，
∴四边形AOBP为正方形，
∴PB∥x轴，PB=OB，
∴△DBN∽△MON，
∴=1，
∴BD=BN.
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB=2ON=2，
∴PB=OB=2，
∴P（2，2）.
∵点P在反比例函数y=图象上，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（-1，0），N（0，1），OM=ON=1，易得四边形AOBP为正方形，则PB∥x轴，PB=OB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DBN∽△MON，由相似三角形的性质可得BD=BN，则N为OB的中点，OB=2ON=2，表示出点P的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
18．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，CA=CB=3，
∴AB==.
由折叠可得AC=AC′=3.
∵BC′≥AB-AC′，
∴当A、B、C′共线时，BC′取得最小值，最小值为BC′=AB-AC′=-3.
故答案为：-3.
【分析】由勾股定理可得AB的值，根据折叠可得AC=AC′=3，由三角形的三边关系可得BC′≥AB-AC′，据此求解.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念可得原式=2023+1-6+4，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
20．【答案】（1）解：
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴；
（2）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将第一个方程代入第二个方程中可求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，据此可得方程组的解；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
21．【答案】（1）450
（2）36
（3）解：
补全图形如下：
（4）解：（人）
答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）117÷26%=450.
故答案为：450.
（2）45÷450×360°=36°.
故答案为：36.
【分析】（1）利用C的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据A的人数除以总人数，然后乘以360°即可得到A所占扇形圆心角的度数；
（3）根据总人数求出B的人数，据此可补全条形统计图；
（4）利用A的人数除以总人数，然后乘以25000即可.
22．【答案】解：由题意可得如下树状图：
∴甲、乙、丙三人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，则共有8种情况，其中三人选择相同景点参观共有2种，所以三人选择相同景点的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】画出树状图，找出总情况数以及三人选择相同景点的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．【答案】解：甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶时间为，由题意可得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
∴甲路线的行驶时间为，
答：甲路线的行驶时间为．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】甲路线的行驶时间为xmin，则乙路线的行驶时间为(x+10)min，甲路线的平均速度为，乙路线的平均速度为，然后根据甲路线的平均速度为乙路线的倍建立方程，求解即可.
24．【答案】（1）解：在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
，
，四边形为正方形，
在中，，
，
正方形的面积；
不能为负，
，
故关于的函数表达式为
（2）解：令，得，
整理，得，
解得，
故当取1或3时，四边形的面积为10；
（3）解：存在．
正方形的面积；
当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
【知识点】二次函数的最值；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得∠AHE=∠DGH，HG=HE，∠DGH+∠DHG=90°，根据平角的概念可得∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG=90°，易得AH=BE=AB-AE=4-x，由勾股定理可得HE2，据此解答；
（2）令（1）关系式中的y=10，求出x的值即可；
（3）根据（1）中的关系式结合二次函数的性质可得最小值.
25．【答案】解：∵，，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴电视塔的高度．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可得：四边形BCFE是矩形，∠AEF=∠BCF=∠BDG=90°，BE=CF=DG=1.6，EF=C，FC∥DG，推出四边形FCDG是平行四边形，得到FG=CD=70，利用三角函数的概念表示出EF、EG，由FG=EG-EF=70就可求出AE的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.
26．【答案】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【知识点】圆的综合题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；由三视图判断几何体；尺规作图-垂直平分线；圆环的面积
【解析】【分析】（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为π×(32-12)，环的“肉”的面积为π×(32-1.52)，求出相应的值，然后求比值即可；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB、AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作DE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解.
27．【答案】（1）解：结论依然成立，理由如下：
作于点E，作交的延长线于点F，则，
∵四边形为平行四边形，若，
∴， ∵，，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
（2）证明：延长到点C，使，
∵为的一条中线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴由【探究发现】可知，，
∴，
∴，
∴；
（3）200
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：【尝试应用】∵四边形是矩形，，
∴，，
设，则，
∴ ，
∵，
∴抛物线开口向上， ∴当时，的最小值是.
故答案为：.
【分析】【探究发现】作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，由平行四边形的性质可得AB=DC=a，AD∥BC，AD=BC=b，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF，得到BE=CF，然后根据勾股定理进行证明；
【拓展提升】延长BO到点C，使OD=BO，由中线的概念可得OA=CO，则四边形ABCD是平行四边形，由【探究发现】可知AC2+BD2=2(AB2+BC2)，即c2+(2BO)2=2(a2+b2)，化简即可；
【尝试应用】根据矩形的性质可得AB=CD=8，BC=AD=12，∠A=∠D=90°，设AP=x，则PD=12-x，PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=2(x-6)2+200，据此求解.
28．【答案】（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，
∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②，∵，
∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即线段的长度存在最大值为；
（3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中点为点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中点为点，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标，令y=0，求出x的值，可得点A的坐标；
（2）①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，由解析式可得对称轴为x=1，即ON=1，根据旋转的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，推出△BAC是等边三角形，得到AB=AC=BC，∠C=60°，根据点A、B、O的坐标可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，得到OA=OB=AC=BC=2，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，易得△BME是等边三角形，进而推出∠DBE=∠AME，由平行线的性质可得∠BED=∠MEA，利用AAS证明△BED≌△MEA，得到DE=EA，推出△AED是等边三角形，据此解答；
②易得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，由等边三角形的性质可得∠DAF=30°，根据三角函数的概念可得AD、AE，然后根据BF=AB-AF进行计算；
（3）设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，易得四边形OACB是菱形，利用AAS证明△MBE≌△MHD，得到DH=BE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BME∽△NAM，由相似三角形的性质可得BM，然后求出MN、DH，再根据S△BDE=S△BDM+S△BEM进行计算.
1 / 1江苏省徐州市2023年中考数学试卷
1．（2023·徐州）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】A
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A、地球绕着太阳转，属于必然事件，故符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，故不符合题意；
C、天空出现三个太阳，属于不可能事件，故不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件；
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
2．（2023·徐州）下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、属于中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
B、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
3．（2023·徐州）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由数轴可得点C距离原点最近，故|c|最小.
故答案为：C.
【分析】由数轴可得点C距离原点最近，据此判断.
4．（2023·徐州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a5，故错误；
B、a4÷a2=a2，故正确；
C、(a3)2=a6，故错误；
D、2a2+3a2=5a2，故错误.
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断C；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断D.
5．（2023·徐州）徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示．
其中，海拔为中位数的是（ ）
A．第五节山 B．第六节山 C．第八节山 D．第九节山
【答案】C
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：将各节山的高度按照由低到高的顺序排列为：90.7、99.2、104.1、119.2、131.8、133.5、136.6、139.6、141.6，故中位数为131.8，即为第八节山.
故答案为：C.
【分析】将各节山的高度按照由低到高的顺序进行排列，找出最中间的数据所对应的山即可.
6．（2023·徐州）的值介于（ ）
A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵252=625，302=900，352=1225，402=1600，452=2025，
∴40<<45.
故答案为：D.
【分析】分别计算出25、30、35、40、45的平方，然后进行判断.
7．（2023·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1，即y=(x-1)2+2.
故答案为：B.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
8．（2023·徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=.
∵，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
9．（2023·徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
【答案】4
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和5，
∴2<第三边<8.
∵三角形的边长均为整数，
∴第三边的长可以为4.
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围，然后结合三角形的边长均为整数进行解答..
10．（2023·徐州）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4370000=4.37×106.
故答案为：4.37×106.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
11．（2023·徐州）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴x-3≥0，
∴x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x-3≥0，求解即可.
12．（2023·徐州）正五边形的一个外角的大小为 度．
【答案】72
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形的外角和为360°
∴一个外角的度数为360°÷5=72°
【分析】根据题意，结合多边形的外交和为60°，由正五边形的边数即可得到一个外角的度数。
13．（2023·徐州）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
则，解得，
故答案为：4
【分析】由于关于x的方程有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.
14．（2023·徐州）如图，在中，若，则 °．
【答案】55
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∠EDF=120°，
∴∠EDF+∠B=180°，
∴∠B=180°-120°=60°.
∵∠GFD=115°，
∴∠GFB=180°-∠GFD=65°.
∵FG∥AC，
∴∠C=∠FGC=180°-∠B-∠GFB=180°-60°-65°=55°.
故答案为：55.
【分析】由平行线的性质可得∠EDF+∠B=180°，∠C=∠FGC，结合∠EDF的度数可得∠B的度数，根据邻补角的性质可得∠GFB的度数，然后在△BFG中，利用内角和定理进行计算.
15．（2023·徐州）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．
【答案】66
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
∵BF是切线，AB是直径，
∴∠ABF=90°.
∴∠AFB=68°，
∴∠BAF=90°-∠AFB=22°，
∴∠BOD=2∠BAF=44°.
∵，
∴∠COA=2∠BOD=88°，
∴∠CDA=∠COA=44°，
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
故答案为：66.
【分析】连接OC、OD，由切线的性质可得∠ABF=90°，则∠BAF=90°-∠AFB=22°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAF=44°，结合可得∠COA=2∠BOD=88°，由圆周角定理可得∠CDA=∠COA=44°，根据外角的性质可得∠DEB=∠BAF+∠CDA，据此计算.
16．（2023·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为 ．
【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=，
解得r=2.
故答案为：2.
【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出r的值.
17．（2023·徐州）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数的图象；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（-1，0），N（0，1），
∴OM=ON=1.
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，PA=PB，
∴四边形AOBP为正方形，
∴PB∥x轴，PB=OB，
∴△DBN∽△MON，
∴=1，
∴BD=BN.
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB=2ON=2，
∴PB=OB=2，
∴P（2，2）.
∵点P在反比例函数y=图象上，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（-1，0），N（0，1），OM=ON=1，易得四边形AOBP为正方形，则PB∥x轴，PB=OB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DBN∽△MON，由相似三角形的性质可得BD=BN，则N为OB的中点，OB=2ON=2，表示出点P的坐标，然后代入y=中就可求出k的值.
18．（2023·徐州）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，CA=CB=3，
∴AB==.
由折叠可得AC=AC′=3.
∵BC′≥AB-AC′，
∴当A、B、C′共线时，BC′取得最小值，最小值为BC′=AB-AC′=-3.
故答案为：-3.
【分析】由勾股定理可得AB的值，根据折叠可得AC=AC′=3，由三角形的三边关系可得BC′≥AB-AC′，据此求解.
19．（2023·徐州）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念可得原式=2023+1-6+4，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可.
20．（2023·徐州）
（1）解方程组
（2）解不等式组
【答案】（1）解：
把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴；
（2）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将第一个方程代入第二个方程中可求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，据此可得方程组的解；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
21．（2023·徐州）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ；
（2）扇形统计图中对应圆心角度数为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数．
【答案】（1）450
（2）36
（3）解：
补全图形如下：
（4）解：（人）
答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）117÷26%=450.
故答案为：450.
（2）45÷450×360°=36°.
故答案为：36.
【分析】（1）利用C的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据A的人数除以总人数，然后乘以360°即可得到A所占扇形圆心角的度数；
（3）根据总人数求出B的人数，据此可补全条形统计图；
（4）利用A的人数除以总人数，然后乘以25000即可.
22．（2023·徐州）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？
【答案】解：由题意可得如下树状图：
∴甲、乙、丙三人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，则共有8种情况，其中三人选择相同景点参观共有2种，所以三人选择相同景点的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】画出树状图，找出总情况数以及三人选择相同景点的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．（2023·徐州）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．
【答案】解：甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶时间为，由题意可得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
∴甲路线的行驶时间为，
答：甲路线的行驶时间为．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】甲路线的行驶时间为xmin，则乙路线的行驶时间为(x+10)min，甲路线的平均速度为，乙路线的平均速度为，然后根据甲路线的平均速度为乙路线的倍建立方程，求解即可.
24．（2023·徐州）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当取何值时，四边形的面积为10？
（3）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
，
，四边形为正方形，
在中，，
，
正方形的面积；
不能为负，
，
故关于的函数表达式为
（2）解：令，得，
整理，得，
解得，
故当取1或3时，四边形的面积为10；
（3）解：存在．
正方形的面积；
当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
【知识点】二次函数的最值；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得∠AHE=∠DGH，HG=HE，∠DGH+∠DHG=90°，根据平角的概念可得∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG=90°，易得AH=BE=AB-AE=4-x，由勾股定理可得HE2，据此解答；
（2）令（1）关系式中的y=10，求出x的值即可；
（3）根据（1）中的关系式结合二次函数的性质可得最小值.
25．（2023·徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：）
【答案】解：∵，，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴电视塔的高度．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可得：四边形BCFE是矩形，∠AEF=∠BCF=∠BDG=90°，BE=CF=DG=1.6，EF=C，FC∥DG，推出四边形FCDG是平行四边形，得到FG=CD=70，利用三角函数的概念表示出EF、EG，由FG=EG-EF=70就可求出AE的值，然后根据AB=AE+BE进行计算.
26．（2023·徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【知识点】圆的综合题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；由三视图判断几何体；尺规作图-垂直平分线；圆环的面积
【解析】【分析】（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为π×(32-12)，环的“肉”的面积为π×(32-1.52)，求出相应的值，然后求比值即可；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB、AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作DE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解.
27．（2023·徐州）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
（1）【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．
（2）【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：．
（3）【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ．
【答案】（1）解：结论依然成立，理由如下：
作于点E，作交的延长线于点F，则，
∵四边形为平行四边形，若，
∴， ∵，，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
（2）证明：延长到点C，使，
∵为的一条中线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴由【探究发现】可知，，
∴，
∴，
∴；
（3）200
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：【尝试应用】∵四边形是矩形，，
∴，，
设，则，
∴ ，
∵，
∴抛物线开口向上， ∴当时，的最小值是.
故答案为：.
【分析】【探究发现】作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，由平行四边形的性质可得AB=DC=a，AD∥BC，AD=BC=b，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF，得到BE=CF，然后根据勾股定理进行证明；
【拓展提升】延长BO到点C，使OD=BO，由中线的概念可得OA=CO，则四边形ABCD是平行四边形，由【探究发现】可知AC2+BD2=2(AB2+BC2)，即c2+(2BO)2=2(a2+b2)，化简即可；
【尝试应用】根据矩形的性质可得AB=CD=8，BC=AD=12，∠A=∠D=90°，设AP=x，则PD=12-x，PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=2(x-6)2+200，据此求解.
28．（2023·徐州）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．
（1）求点的坐标；
（2）随着点线段上运动．
①的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为．
【答案】（1）解：∵，
∴顶点为，
令，，
解得或，
∴；
（2）解：①的大小不变，理由如下：
在上取点，使得，连接，
∵，
∴抛物线对称轴为，即，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，即的大小不变；
②，∵，
∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大，
∵是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即线段的长度存在最大值为；
（3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵的中点为点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵的中点为点，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标，令y=0，求出x的值，可得点A的坐标；
（2）①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，由解析式可得对称轴为x=1，即ON=1，根据旋转的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，推出△BAC是等边三角形，得到AB=AC=BC，∠C=60°，根据点A、B、O的坐标可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，得到OA=OB=AC=BC=2，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，易得△BME是等边三角形，进而推出∠DBE=∠AME，由平行线的性质可得∠BED=∠MEA，利用AAS证明△BED≌△MEA，得到DE=EA，推出△AED是等边三角形，据此解答；
②易得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，由等边三角形的性质可得∠DAF=30°，根据三角函数的概念可得AD、AE，然后根据BF=AB-AF进行计算；
（3）设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，易得四边形OACB是菱形，利用AAS证明△MBE≌△MHD，得到DH=BE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BME∽△NAM，由相似三角形的性质可得BM，然后求出MN、DH，再根据S△BDE=S△BDM+S△BEM进行计算.
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