河南省2023年中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【分析】根据实数的大小比较法则（负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小)，比较即可
【解答】∵-1<0<1<
∴最小的数是-1，
故选A．
【点评】本题考查了对实数的大小比较的应用，主要考查了学生的判断能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
2．（2023·河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据三视图的概念可得：主视图与左视图相同.
故答案为：A.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，左视图是从左面观察所得到的平面图形，俯视图是从上面观察所得到的平面图形，据此判断.
3．（2023·河南）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：4.59亿=4.59×108.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．（2023·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=80°，
∴∠AOC=180°-∠1=100°.
∵∠2=30°，
∴∠AOE=180°-∠AOC-∠2=180°-100°-30°=50°.
故答案为：B.
【分析】根据邻补角的性质可得∠AOC的度数，由平角的概念可得∠AOE=180°-∠AOC-∠2，据此计算.
5．（2023·河南）化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C．a D．a-2
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：B.
【分析】直接根据同分母分式加法法则进行计算.
6．（2023·河南）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠C=55°，
∴∠AOB=2∠C=110°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C，据此计算.
7．（2023·河南）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+mx-8=0，
∴△=m2+32>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
8．（2023·河南）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：记 三部影片分别为A、B、C，画出树状图如下：
共有9种情况，其中这两个年级选择的影片相同的情况数为3，
∴这两个年级选择的影片相同的概率为=.
故答案为：B.
【分析】记 三部影片分别为A、B、C，画出树状图，找出总情况数以及这两个年级选择的影片相同的情况数，然后利用概率公式进行计算.
9．（2023·河南）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，->0，
∴b>0，
∴一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧可得a<0，->0，据此可得b的符号，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行解答.
10．（2023·河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；动点问题的函数图象；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，
∴PB=PC，AO=.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°.
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴OB=，即OA=OB=，
∴∠BAO=∠ABO=30°.
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD=AO·cos30°=3，
∴AB=AD+BD=6，即△ABC的边长为6.
故答案为：A.
【分析】结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，则PB=PC，AO=，由等边三角形的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，利用SSS证明△APB≌△APC，得到∠BAO=∠CAO=30°；当点P在OB上运动时，可得OB=，即OA=OB=，推出∠BAO=∠ABO=30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，由三角函数的概念可得AD，进而可得AB.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2023·河南）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具．
【答案】3n
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：由题意可得：3个年级共需配发3n套劳动工具.
故答案为：3n.
【分析】根据每个年级配发的套数×年级数进行解答.
12．（2023·河南）方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②×3-①，得8y=16，
解得y=2.
将y=2代入①中可得x=1，
∴方程组的解为.
故答案为：.
【分析】利用第二个方程的3倍减去第一个方程可求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，据此可得方程组的解.
13．（2023·河南）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图，则此时该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约有 棵．
【答案】280
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：1000×(18%+10%)=280（棵）.
故答案为：280.
【分析】根据总棵树乘以D、E所占的比例之和即可.
14．（2023·河南）如图，PA与相切于点A，PO交于点B，点C在PA上，且．若，，则CA的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°.
∵OA=OB，OC=OC，CA=CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP=∠OBC=90°.
∵OA=5，PA=12，
∴OP==13.
∵S△OAC+S△OCP=S△OAP，
∴OA·AC+OP·BC=OA·AP，
∴5AC+13BC=5×12，
∴AC=BC=.
故答案为：.
【分析】连接OC，由切线的性质可得∠OAP=90°，利用SSS证明△OAC≌△OBC，得到∠OAP=∠OBC=90°，由勾股定理可得OP的值，然后根据S△OAC+S△OCP=S△OAP结合三角形的面积公式进行计算.
15．（2023·河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
【答案】2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：①当∠MND=90°时，则MN⊥AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∴MN∥AB.
∵M为对角线BD的中点，
∴N为AD的中点，
∴AN=DN.
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2.
②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD.
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN.
∵∠A=90°，AB=AN=1，
∴BN=，
∴AD=AN+DN=1+.
综上可得：AD的长为2或1+.
故答案为：2或1+.
【分析】①当∠MND=90°时，则MN⊥AD，由矩形的性质可得 ∠A=90°，则MN∥AB，结合M为对角线BD的中点可得N为AD的中点，据此求解；②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD，易得MN垂直平分BD，则BN=DN，由勾股定理可得BN，然后根据AD=AN+DN进行计算.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2023·河南）
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）原式
（2）
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、算术平方根的概念、负整数指数幂的运算性质可得原式=3-3+，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则进行化简.
17．（2023·河南）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ； （填“>”“=”或“<”）．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
【答案】（1）7.5；＜
（2）解：我认为小丽应该选择甲公司，因为甲公司的服务质量得分的方差小于乙公司，甲公司的服务质量比较稳定.
（3）解：还应该收集两个公司的费用，投递范围信息.
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）m=(7+8)÷2=7.5，由图象可得：甲的较集中，乙的较分散，故S甲2故答案为：7.5，<.
【分析】（1）找出甲位于中间的两个数据，求出其平均数即为中位数m的值，结合图象可得甲的较集中，乙的较分散，据此可得方差的大小关系；
（2）根据方差的大小进行分析；
（3）根据公司的费用、服务以及投递范围进行解答.
18．（2023·河南）如图，中，点D在边AC上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：．
【答案】（1）如图：
（2）证明：平分
在和中
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法进行作图；
（2）由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，由已知条件可知AB=AD，利用SAS证明△BAE≌△DAE，据此可得结论.
19．（2023·河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】（1）解：反比例函数图象经过点
（2）解：如图，连接AC，交轴于点
四边形AOCD是菱形
是AC中点
由得：
在Rt中，
是等边三角形
综上，扇形AOC的半径为2，圆心角为.
（3）.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（3）∵OD=2OM=，
∴S菱形AOCD=AM·OD=，
∴S扇形AOC=πr2=.
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵S△BHO==，
∴S△FBO=2×=，
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=+-=-.
【分析】（1）将A（，1）代入y=中就可求出k的值；
（2）连接AC，交x轴于点M，由菱形的性质可得AC⊥OD，M为AC的中点，估计点A的坐标可得AM=1，OM=，AC=2AM=2，利用勾股定理求出OA的值，进而推出△AOC是等边三角形，据此解答；
（3）由菱形的性质可得OD=2OM=，然后求出S菱形AOCD，S扇形AOC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BHO==，则S△FBO=2×=，然后根据S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC进行计算.
20．（2023·河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EC的距离m，cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
【答案】由题意得：
，解得
答：树EG的高度约为
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意得∠AFE=∠ABH=90°，∠BAE=∠FAH=90°，由同角的余角相等可得∠EAF=∠HAB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△AFE∽△ABH，然后由相似三角形的性质可得EF的值，再根据EG=EF+FG进行计算.
21．（2023·河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：选择活动1时，需花费元
选择活动2时，需花费元
选择活动1更合算。
（2）解：设一件这种健身器材的原价是元
根据题意得：
解得：
答：一件这种健身器材的原价是400元.
（3）或.
【知识点】一元一次不等式的应用；运用有理数的运算解决简单问题；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：（3）当300≤a<600时，有a-80<0.8a，
解得a<400，
∴300≤a<400.
当600≤a<900时，有a-160<0.8a，
解得a<800，
∴600≤a<800.
综上可得：300≤a<400或600≤a<800.
【分析】（1）选择活动1时，费用为(450×0.8)元；选择活动2时，费用为(450-80)元，求出结果，然后进行比较即可判断；
（2）设一件这种健身器材的原价是x元，根据选择活动一和选择活动二的付款金额相等可得0.8x=x-80，求解即可；
（3）分300≤a<600、600≤a<900，表示出活动一、二的费用，然后根据选择活动二比选择活动一更合算就可求出a的范围.
22．（2023·河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离m，m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】（1）解：在中，时，
点坐标为
把点坐标代入抛物线解析式得：，解得
点坐标为的值为-0.4
（2）解：令中，解得：
令，解得：(含)，
由题意得点坐标为
选择吊球时，落点到的距离为
选择扣球时，落点到的距离为，
因此，应该选择吊球.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）令一次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点P的坐标，然后代入抛物线解析式中就可求出a的值；
（2）分别令一次函数、抛物线解析式中的y=0，求出x的值，由题意得点C坐标为（5，0），然后分别求出选择吊球、扣球时，落点到C的距离，据此解答.
23．（2023·河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于y轴对称的C图形，再分别作关于x轴和直线l对称的图形和，则可以看作是绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ；可以看作是向右平移得到的，平移距离为 个单位长度．
（2）探究迁移
如图2，中，，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点，再分别作点关于直线AD和直线CD的对称点和，连接AP，，请仅就图2的情形解决以下问题：
①若，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若，求P，两点间的距离．
（3）拓展应用
在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出AP的长．
【答案】（1）180°；8
（2）①，
理由如下：连接
和关于直线AB对称
和关于直线AD对称
，即
②连接，分别交CD，AB于点M，N，过点作于点
易证在同一条直线上，四边形DMNH为矩形
对称
.
故
答：的距离为
（3）或
【知识点】轴对称的性质；锐角三角函数的定义；图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：（1）△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180°；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为8个单位长度.
故答案为：180°，8.
（3）如图：
∵在Rt△KMN中，∠M=90°，∠N=15°，KS=SN，
∴∠KSM=30°.
设KM=1，则SN=KS=2，MS=，KN==，
∴sin15°==.
当P2P3∥AD时，作DI⊥AB于点I，设P1P2交AD于点T，
∵P1P2⊥AD，
∴P2P3⊥P1P2，
∴∠P3P2P1=90°.
∵PP3∥DI，
∴∠P2P3P1=∠ADI=30°.
有（2）可得PP3=2AD·sin60°=6，
设AP1=AP=x，则PP1=2AP·sin∠PAB=2x·sin15°=x，
∴P1P3=PP3-PP1=6-x.
∵∠BAP1=∠BAP=15°，
∴∠P1AT=∠DAB-∠BAP1=45°，
由对称性可得∠ATP1=90°，
∴TP1=AP1=x，
∴P1P2=x.
∵P1P2=P1P3·sin∠P2P3P1=P1P3·sin30°，
∴6-x=x，
∴x=.
当P2P3∥CD时，设AP=x，
同理可得P1P2=2P1P3，
∴2(6-x)=x，
∴x=.
综上可得：AP=或.
【分析】（1）根据平移、旋转的性质结合图形进行解答；
（2）①连接AP1，由轴对称的性质可得∠P1AB=∠PAB=∠PAP1，∠P1AD=∠P2AD=∠P1AP2，则∠BAD=∠P1AD+∠P1AB=(∠PAP1+∠P1AP2)=∠PAP2，据此解答；
②连接PP3，分别交CD，AB于点M，N，过点D作DH⊥AB于点H，易得四边形DMNH为矩形，根据三角函数的概念可得NM=DH=msinα，根据轴对称的性质可得PP1=2NP1，P1P3=2P1M，然后根据PP3=PP1+P1P3进行解答；
（3）首先求出sin15°的值，当P2P3∥AD时，作DI⊥AB于点I，设P1P2交AD于点T，易得PP3∥DI，由平行线的性质可得∠P2P3P1=∠ADI=30°，由（2）可得PP3=2AD·sin60°=6，设AP1=AP=x，则PP1=2AP·sin∠PAB=x，P1P3=PP3-PP1=6-x，由角的和差关系可得∠P1AT=∠DAB-∠BAP1=45°，由对称性可得∠ATP1=90°，则TP1=AP1=x，P1P2=x，然后根据P1P2=P1P3·sin∠P2P3P1=P1P3·sin30°就可求出x的值；当P2P3∥CD时，设AP=x，同理进行解答.
1 / 1河南省2023年中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
2．（2023·河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（2023·河南）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．80°
5．（2023·河南）化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C．a D．a-2
6．（2023·河南）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．（2023·河南）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（2023·河南）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2023·河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2023·河南）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具．
12．（2023·河南）方程组的解为 ．
13．（2023·河南）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图，则此时该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约有 棵．
14．（2023·河南）如图，PA与相切于点A，PO交于点B，点C在PA上，且．若，，则CA的长为 ．
15．（2023·河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2023·河南）
（1）计算：；
（2）化简：．
17．（2023·河南）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ； （填“>”“=”或“<”）．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
18．（2023·河南）如图，中，点D在边AC上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：．
19．（2023·河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
20．（2023·河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EC的距离m，cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
21．（2023·河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
22．（2023·河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离m，m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
23．（2023·河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于y轴对称的C图形，再分别作关于x轴和直线l对称的图形和，则可以看作是绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ；可以看作是向右平移得到的，平移距离为 个单位长度．
（2）探究迁移
如图2，中，，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点，再分别作点关于直线AD和直线CD的对称点和，连接AP，，请仅就图2的情形解决以下问题：
①若，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若，求P，两点间的距离．
（3）拓展应用
在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出AP的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【分析】根据实数的大小比较法则（负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小)，比较即可
【解答】∵-1<0<1<
∴最小的数是-1，
故选A．
【点评】本题考查了对实数的大小比较的应用，主要考查了学生的判断能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据三视图的概念可得：主视图与左视图相同.
故答案为：A.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，左视图是从左面观察所得到的平面图形，俯视图是从上面观察所得到的平面图形，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：4.59亿=4.59×108.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=80°，
∴∠AOC=180°-∠1=100°.
∵∠2=30°，
∴∠AOE=180°-∠AOC-∠2=180°-100°-30°=50°.
故答案为：B.
【分析】根据邻补角的性质可得∠AOC的度数，由平角的概念可得∠AOE=180°-∠AOC-∠2，据此计算.
5．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：B.
【分析】直接根据同分母分式加法法则进行计算.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠C=55°，
∴∠AOB=2∠C=110°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C，据此计算.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2+mx-8=0，
∴△=m2+32>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
8．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：记 三部影片分别为A、B、C，画出树状图如下：
共有9种情况，其中这两个年级选择的影片相同的情况数为3，
∴这两个年级选择的影片相同的概率为=.
故答案为：B.
【分析】记 三部影片分别为A、B、C，画出树状图，找出总情况数以及这两个年级选择的影片相同的情况数，然后利用概率公式进行计算.
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，->0，
∴b>0，
∴一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧可得a<0，->0，据此可得b的符号，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行解答.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；动点问题的函数图象；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，
∴PB=PC，AO=.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°.
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴OB=，即OA=OB=，
∴∠BAO=∠ABO=30°.
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD=AO·cos30°=3，
∴AB=AD+BD=6，即△ABC的边长为6.
故答案为：A.
【分析】结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，则PB=PC，AO=，由等边三角形的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，利用SSS证明△APB≌△APC，得到∠BAO=∠CAO=30°；当点P在OB上运动时，可得OB=，即OA=OB=，推出∠BAO=∠ABO=30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，由三角函数的概念可得AD，进而可得AB.
11．【答案】3n
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：由题意可得：3个年级共需配发3n套劳动工具.
故答案为：3n.
【分析】根据每个年级配发的套数×年级数进行解答.
12．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
②×3-①，得8y=16，
解得y=2.
将y=2代入①中可得x=1，
∴方程组的解为.
故答案为：.
【分析】利用第二个方程的3倍减去第一个方程可求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，据此可得方程组的解.
13．【答案】280
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：1000×(18%+10%)=280（棵）.
故答案为：280.
【分析】根据总棵树乘以D、E所占的比例之和即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°.
∵OA=OB，OC=OC，CA=CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP=∠OBC=90°.
∵OA=5，PA=12，
∴OP==13.
∵S△OAC+S△OCP=S△OAP，
∴OA·AC+OP·BC=OA·AP，
∴5AC+13BC=5×12，
∴AC=BC=.
故答案为：.
【分析】连接OC，由切线的性质可得∠OAP=90°，利用SSS证明△OAC≌△OBC，得到∠OAP=∠OBC=90°，由勾股定理可得OP的值，然后根据S△OAC+S△OCP=S△OAP结合三角形的面积公式进行计算.
15．【答案】2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：①当∠MND=90°时，则MN⊥AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∴MN∥AB.
∵M为对角线BD的中点，
∴N为AD的中点，
∴AN=DN.
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2.
②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD.
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN.
∵∠A=90°，AB=AN=1，
∴BN=，
∴AD=AN+DN=1+.
综上可得：AD的长为2或1+.
故答案为：2或1+.
【分析】①当∠MND=90°时，则MN⊥AD，由矩形的性质可得 ∠A=90°，则MN∥AB，结合M为对角线BD的中点可得N为AD的中点，据此求解；②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD，易得MN垂直平分BD，则BN=DN，由勾股定理可得BN，然后根据AD=AN+DN进行计算.
16．【答案】（1）原式
（2）
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、算术平方根的概念、负整数指数幂的运算性质可得原式=3-3+，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则进行化简.
17．【答案】（1）7.5；＜
（2）解：我认为小丽应该选择甲公司，因为甲公司的服务质量得分的方差小于乙公司，甲公司的服务质量比较稳定.
（3）解：还应该收集两个公司的费用，投递范围信息.
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）m=(7+8)÷2=7.5，由图象可得：甲的较集中，乙的较分散，故S甲2故答案为：7.5，<.
【分析】（1）找出甲位于中间的两个数据，求出其平均数即为中位数m的值，结合图象可得甲的较集中，乙的较分散，据此可得方差的大小关系；
（2）根据方差的大小进行分析；
（3）根据公司的费用、服务以及投递范围进行解答.
18．【答案】（1）如图：
（2）证明：平分
在和中
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法进行作图；
（2）由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，由已知条件可知AB=AD，利用SAS证明△BAE≌△DAE，据此可得结论.
19．【答案】（1）解：反比例函数图象经过点
（2）解：如图，连接AC，交轴于点
四边形AOCD是菱形
是AC中点
由得：
在Rt中，
是等边三角形
综上，扇形AOC的半径为2，圆心角为.
（3）.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（3）∵OD=2OM=，
∴S菱形AOCD=AM·OD=，
∴S扇形AOC=πr2=.
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵S△BHO==，
∴S△FBO=2×=，
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=+-=-.
【分析】（1）将A（，1）代入y=中就可求出k的值；
（2）连接AC，交x轴于点M，由菱形的性质可得AC⊥OD，M为AC的中点，估计点A的坐标可得AM=1，OM=，AC=2AM=2，利用勾股定理求出OA的值，进而推出△AOC是等边三角形，据此解答；
（3）由菱形的性质可得OD=2OM=，然后求出S菱形AOCD，S扇形AOC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BHO==，则S△FBO=2×=，然后根据S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC进行计算.
20．【答案】由题意得：
，解得
答：树EG的高度约为
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意得∠AFE=∠ABH=90°，∠BAE=∠FAH=90°，由同角的余角相等可得∠EAF=∠HAB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△AFE∽△ABH，然后由相似三角形的性质可得EF的值，再根据EG=EF+FG进行计算.
21．【答案】（1）解：选择活动1时，需花费元
选择活动2时，需花费元
选择活动1更合算。
（2）解：设一件这种健身器材的原价是元
根据题意得：
解得：
答：一件这种健身器材的原价是400元.
（3）或.
【知识点】一元一次不等式的应用；运用有理数的运算解决简单问题；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：（3）当300≤a<600时，有a-80<0.8a，
解得a<400，
∴300≤a<400.
当600≤a<900时，有a-160<0.8a，
解得a<800，
∴600≤a<800.
综上可得：300≤a<400或600≤a<800.
【分析】（1）选择活动1时，费用为(450×0.8)元；选择活动2时，费用为(450-80)元，求出结果，然后进行比较即可判断；
（2）设一件这种健身器材的原价是x元，根据选择活动一和选择活动二的付款金额相等可得0.8x=x-80，求解即可；
（3）分300≤a<600、600≤a<900，表示出活动一、二的费用，然后根据选择活动二比选择活动一更合算就可求出a的范围.
22．【答案】（1）解：在中，时，
点坐标为
把点坐标代入抛物线解析式得：，解得
点坐标为的值为-0.4
（2）解：令中，解得：
令，解得：(含)，
由题意得点坐标为
选择吊球时，落点到的距离为
选择扣球时，落点到的距离为，
因此，应该选择吊球.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）令一次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点P的坐标，然后代入抛物线解析式中就可求出a的值；
（2）分别令一次函数、抛物线解析式中的y=0，求出x的值，由题意得点C坐标为（5，0），然后分别求出选择吊球、扣球时，落点到C的距离，据此解答.
23．【答案】（1）180°；8
（2）①，
理由如下：连接
和关于直线AB对称
和关于直线AD对称
，即
②连接，分别交CD，AB于点M，N，过点作于点
易证在同一条直线上，四边形DMNH为矩形
对称
.
故
答：的距离为
（3）或
【知识点】轴对称的性质；锐角三角函数的定义；图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：（1）△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180°；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为8个单位长度.
故答案为：180°，8.
（3）如图：
∵在Rt△KMN中，∠M=90°，∠N=15°，KS=SN，
∴∠KSM=30°.
设KM=1，则SN=KS=2，MS=，KN==，
∴sin15°==.
当P2P3∥AD时，作DI⊥AB于点I，设P1P2交AD于点T，
∵P1P2⊥AD，
∴P2P3⊥P1P2，
∴∠P3P2P1=90°.
∵PP3∥DI，
∴∠P2P3P1=∠ADI=30°.
有（2）可得PP3=2AD·sin60°=6，
设AP1=AP=x，则PP1=2AP·sin∠PAB=2x·sin15°=x，
∴P1P3=PP3-PP1=6-x.
∵∠BAP1=∠BAP=15°，
∴∠P1AT=∠DAB-∠BAP1=45°，
由对称性可得∠ATP1=90°，
∴TP1=AP1=x，
∴P1P2=x.
∵P1P2=P1P3·sin∠P2P3P1=P1P3·sin30°，
∴6-x=x，
∴x=.
当P2P3∥CD时，设AP=x，
同理可得P1P2=2P1P3，
∴2(6-x)=x，
∴x=.
综上可得：AP=或.
【分析】（1）根据平移、旋转的性质结合图形进行解答；
（2）①连接AP1，由轴对称的性质可得∠P1AB=∠PAB=∠PAP1，∠P1AD=∠P2AD=∠P1AP2，则∠BAD=∠P1AD+∠P1AB=(∠PAP1+∠P1AP2)=∠PAP2，据此解答；
②连接PP3，分别交CD，AB于点M，N，过点D作DH⊥AB于点H，易得四边形DMNH为矩形，根据三角函数的概念可得NM=DH=msinα，根据轴对称的性质可得PP1=2NP1，P1P3=2P1M，然后根据PP3=PP1+P1P3进行解答；
（3）首先求出sin15°的值，当P2P3∥AD时，作DI⊥AB于点I，设P1P2交AD于点T，易得PP3∥DI，由平行线的性质可得∠P2P3P1=∠ADI=30°，由（2）可得PP3=2AD·sin60°=6，设AP1=AP=x，则PP1=2AP·sin∠PAB=x，P1P3=PP3-PP1=6-x，由角的和差关系可得∠P1AT=∠DAB-∠BAP1=45°，由对称性可得∠ATP1=90°，则TP1=AP1=x，P1P2=x，然后根据P1P2=P1P3·sin∠P2P3P1=P1P3·sin30°就可求出x的值；当P2P3∥CD时，设AP=x，同理进行解答.
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