湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分）
1．（2023·潜江）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·潜江） 2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·潜江）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
4．（2023·潜江）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·潜江）某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，4 B．5，6 C．6，5 D．6，6
6．（2023·潜江）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·潜江）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·潜江）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·潜江）拋物线与轴相交于点．下列结论：
①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023·潜江）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分，请将答案直接填在答线卡对应的横线上）
11．（2023·潜江）计算的结果是 ．
12．（2023·潜江）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为 ．
13．（2023·潜江）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
14．（2023·潜江）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 ．
15．（2023·潜江）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．（2023·潜江）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
17．（2023·潜江）为了解学生“防诈骗意识”情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果将“防诈骗意识”按A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）分为五个等级．将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表．
等级 人数
A（很强） a
B（强） b
C（一般） 20
D（弱） 19
E（很弱） 16
（1）本次调查的学生共 人；
（2）已知，请将条形统计图补充完整；
（3）若将A，B，C三个等级定为“防诈骗意识”合格，请估计该校2000名学生中"防诈骗意识”合格的学生有多少人？
18．（2023·潜江）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
19．（2023·潜江）已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
（1）在图1中作出以为对角线的一个菱形；
（2）在图2中作出以为边的一个菱形．
20．（2023·潜江）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
21．（2023·潜江）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（2023·潜江）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
时间：第x（天）
日销售价（元/件） 50
日销售量（件）
（，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式 ；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
23．（2023·潜江）如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
24．（2023·潜江）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
（1）抛物线的解析式为 ；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；
（3）如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：-的绝对值为.
故答案为：D.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数进行解答.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：12910000=1.291×107.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据三视图可得该立体图形为圆锥.
故答案为：D.
【分析】根据常见几何体的三视图进行判断.
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式3x-1≥x+1，得x≥1；
解不等式x+4>4x-2，得x<2，
∴不等式组的解集为1≤x<2.
故答案为：A.
【分析】分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据按照由小到大的顺序排列为：3，3，4，4，5，6，6，6，7，
∴中位数为5，众数为6.
故答案为：B.
【分析】将数据按照由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1<0∴反比例函数的图象位于一、三象限，
∴4-k>0，
∴k<4.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：反比例函数的图象位于一、三象限，则4-k>0，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心.
由图可得：OA2=12+22=5，OC2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC=-××-×2×1=-.
故答案为：D.
【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心，由勾股定理逆定理可得△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC进行计算.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD=BC+CD=6，
∴AD=3，CD=2.
作DE⊥BC于点E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，CE=，
∴BE=，
∴BD==.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得AC=5，则△ABC的周长为3+4+5=12，根据BD平分△ABC的周长可得AB+AD=BC+CD=6，据此可得AD、CD的值，作DE⊥BC于点E，则AB∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质可得DE、CE，然后求出BE，再利用勾股定理计算即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过点A（-3，0），B（1，0），
∴y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，
∴b=2a<0，c=-3a>0，
∴abc>0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过点A（-3，0），B（1，0），
∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac>0，故②正确；
∵b=2a，c=-3a，
∴3b+2c=6a-6a=0，故③正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过点A（-3，0），B（1，0），
∴对称轴为直线x=-1.
∵点P（m-2，y1）、Q（m，y2）在抛物线上，且y1∴m≤-1或，
解得m<0，故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线过点A（-3，0），B（1，0）可得y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，则b=2a<0，c=-3a>0，据此判断①③；根据抛物线过点A、B可得ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，据此判断②；根据开口向下可得距离对称轴越远的点，对应的函数值越小，据此判断④.
10．【答案】C
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据图象知：t=t1时，铁桶注满水，0≤t≤t1，y1是一条斜线段，t>t1时，y1是一条水平线段；
当t=t1时，长方体水池开始注入水，当t=t2时，长方体水池中的水摸过铁桶，水池中水绵高度比开始变得平缓；当t=t3时，长方体水池注满了水，
∴y2开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
观察图象可得：选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分0≤t≤t1、t111．【答案】1
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=-+1=1.
故答案为：1.
【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念可得原式=-+1，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
12．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象过点A（-1，-2）和点B（2，m），
∴-1×(-2)=2m，
∴m=1，
∴B（2，1）.
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x-1，
令x=0，得y=-1，
∴直线AB与y轴的交点为（0，-1.），
∴S△AOB=×1×1+×1×2=.
故答案为：.
【分析】根据点A、B在反比例函数图象上可得-1×(-2)=2m，求出m的值，得到B（2，1），利用待定系数法求出直线AB的解析式，令x=0，求出y的值，得到与y轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
13．【答案】度
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H.
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA.
∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=110°，
∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°.
∵⊙O与AB、BC分别切于点D、E，
∴BD=BE.
∵OD=OE，
∴OB为DE的垂直平分线，
∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，
∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=125°-90°=35°.
故答案为：35°.
【分析】连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H，由题意可得OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，根据角平分线的概念以及内角和定理可得∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°，由切线长定理可得BD=BE，进而推出OB为DE的垂直平分线，得到∠OHF=90°，根据外角的性质可得∠OHF+∠AFD=∠AOH，据此计算.
14．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中，属于中心对称图形的有平行四边形，圆，
将等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别记为A、B、C、D，画出树状图如下：
共有12种情况，其中抽到B、D的有2种，
∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为=.
故答案为：.
【分析】属于中心对称图形的有平行四边形，圆，将等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别记为A、B、C、D，画出树状图，找出总情况数以及抽到B、D的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．【答案】①③④
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△BAC、△DEB均为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，即∠EBC=∠DBA，故①正确；
∵△DEB、△AEF均为等腰直角三角形，
∴BE=DE，AE=EF，∠BED=∠AEF=90°，
∴∠BEA=∠DEF，
∴△BEA≌△DEF（SAS），
∴AB=DF，∠ABE=∠EDF，∠BAE=∠DFE，故③正确；
∵∠BEH+∠GEF=90°，
∴∠ABE+∠BHE=90°，∠EGF+∠DFE=90°.
∵BE>AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠ABE≠∠DFE，
∴∠BHE≠∠EGF，故②错误.
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°.
∵∠AFD+∠EFG=45°，
∴∠DFA=∠FAC，
∴DF∥AC.
∵AB=DF，AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形DFCA为平行四边形，
∴DA=CF，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DBE=45°，结合角的和差关系可判断①；根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，AE=EF，∠BED=∠AEF=90°，利用SAS证明△BEA≌△DEF，根据全等三角形的性质即可判断③；易得∠ABE+∠BHE=90°，∠EGF+∠DFE=90°，根据BE>AE可得∠ABE≠∠AEB，则∠ABE≠∠DFE，进而判断②；根据角的和差关系可得∠DFA=∠FAC，推出DF∥AC，结合AB=DF，AB=AC可得DF=AC，推出四边形DFCA为平行四边形，据此判断④.
16．【答案】（1）解：原式=4x3+2x-4x3-4x2=2x-4x2.
（2）解：两边乘以，得．
解得：．
检验，将代入．
∴是原分式方程的解．
【知识点】整式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则以及积的乘方法则可得原式=4x3+2x-4x2(x+1)，然后根据单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则进行计算；
（2）给方程两边同时乘以x(x+1)(x-1)，得5(x-1)-(x+1)=0，求出x的值，然后进行检验.
17．【答案】（1）100
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴，
补全条形统计图如下：
（3）解：由题意得：
（人）．
∴估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有1300人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）20÷20%=100.
故答案为：100.
【分析】（1）利用C的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数可求出a+b的值，结合a：b=1：2可得a、b的值，据此可补全条形统计图；
（3）利用A、B、C的人数之和除以调查的总人数，然后乘以2000即可.
18．【答案】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF是矩形，根据三角函数的概念可得DE，即为AF，结合i=3：4以及勾股定理可得AB的值.
19．【答案】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：
（2）解：如图，菱形即为所求．
是菱形，且要求为边，
当为上底边的时候，作，且，向右下偏移，如图所示，
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）连接AE、BF交于点M，连接BD、CE交于点N，进而可得菱形BMEN；
（2）当BE为上底边的时候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，BQ向右下偏移，据此可得菱形BEPQ.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△=[-(2m+1)2]-4×(m2+m)，判断出其符号，进而可确定方程根的情况；
（2）由根与系数的关系可得a+b=2m+1，ab=m2+m，然后结合(2a+b)(a+2b)=2(a+b)2+ab=20可求出m的值.
21．【答案】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，结合等角的余角相等可得∠BMP=∠MBC，根据正方形以及平行线的性质可得∠AMB=∠MBC，据此证明；
（2）延长MN、BC交于点Q，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DMP∽△CQP，由相似三角形的性质可得QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x，易得MQ=BQ=3+2x，则MP=MQ=，然后在Rt△DMP中，利用勾股定理计算即可.
22．【答案】（1）
（2）解：当时，；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，（元）．
当时，，随增大而减小，
∴当时，（元）．
∵，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当1≤x≤30时，W=(0.5x+35-30)×(124-2x)=-x2+52x+620；
当31≤x≤60时，W=(50-30)×(124-2x)=-40x+2480，
∴.
【分析】（1）分1≤x≤30、31≤x≤60，根据(日销售价-进价)×日销售量=总利润可得W与x的关系式；
（2）分1≤x≤30、31≤x≤60，结合二次函数、一次函数的性质进行求解.
23．【答案】（1）证明，∵，
∴．
又，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
作于．
又∵，
∴为的垂直平分线．
∴点在上．
∴．
即．又点在上，
∴为的切线；
（2）解：过点作于，连接．
∵为的垂直平分线，
∴．
∴．∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴，
又，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABD=∠CED，∠BAD=∠ECD，根据中线的概念可得AD=CD，利用AAS证明△ABD≌△CED，得到AB=CE，推出四边形ABCE是平行四边形，得到AE∥BC，作AH⊥BC于H，则AH为BC的垂直平分线，进而得到OA⊥AE，据此证明；
（2）过点D作DM⊥BC于M，连接OB，由垂直平分线的性质可得BH=HC=3，由勾股定理可得OH，然后求出AH、AB、CD，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得DM ∥AH，证明△CMD∽△CHA，由相似三角形的性质可得MH、DM，然后求出BM、BD，由圆周角定理可得∠CFD=∠BAD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△FCD∽△ABD，由相似三角形的性质就可求出FC.
24．【答案】（1）
（2）解：∵点，点，
设直线的解析式为：．
∴，
∴，
直线的解析式为：．
同上，由点，可得直线的解析式为：．
令，得．
∴点的坐标为．
由题意可得：．
∴．
如图1，过点E作轴于点F．
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
即．
（3）解：设点的坐标为，点的坐标为．
∵直线与不重合，
∴且且．
如图3，由点，点，
可得到直线的解析式为：．
∵，
∴可设直线的解析式为：．
将代入，
得．
∴．
∴点的坐标可以表示为．
设直线的解析式为：，
由点，点，得
，
解得．
∴直线的解析式为：．
同上，由点，点，
可得到直线的解析式为：．
∴．
∴．
∴．
∴点的横坐标为定值3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）将A（-2，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx-6中可得，
解得，
∴y=x2-2x-6.
【分析】（1）将A（-2，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx-6中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AC、DB的解析式，联立求出x、y的值，得到点E的坐标，由题意可得OA=2，OB=OC=6.AB=8，由勾股定理可得AC的值，过点E作EF⊥x轴于点F，由勾股定理可得AE，推出，由对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AEB，得到∠ABC=∠AEB，易得∠ABC=45°，据此求解；
（3）设M（m，m2-2m-6），N（n，n2-2n-6），利用待定系数法求出直线BC的解析式，结合MN∥BC可得直线MN的解析式，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得m+n=6，则N（6-m，m2-4m），表示出直线CN、BM的解析式，联立可得x的值，据此解答.
1 / 1湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分）
1．（2023·潜江）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：-的绝对值为.
故答案为：D.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数进行解答.
2．（2023·潜江） 2023年全国高考报名人数约12910000人，数12910000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：12910000=1.291×107.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．（2023·潜江）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据三视图可得该立体图形为圆锥.
故答案为：D.
【分析】根据常见几何体的三视图进行判断.
4．（2023·潜江）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式3x-1≥x+1，得x≥1；
解不等式x+4>4x-2，得x<2，
∴不等式组的解集为1≤x<2.
故答案为：A.
【分析】分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集.
5．（2023·潜江）某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，4 B．5，6 C．6，5 D．6，6
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据按照由小到大的顺序排列为：3，3，4，4，5，6，6，6，7，
∴中位数为5，众数为6.
故答案为：B.
【分析】将数据按照由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数.
6．（2023·潜江）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1<0∴反比例函数的图象位于一、三象限，
∴4-k>0，
∴k<4.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：反比例函数的图象位于一、三象限，则4-k>0，求解即可.
7．（2023·潜江）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心.
由图可得：OA2=12+22=5，OC2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC=-××-×2×1=-.
故答案为：D.
【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ交于点O，连接OA、OB、OC，则点O为△ABC外接圆的圆心，由勾股定理逆定理可得△OAC为等腰直角三角形，且∠AOC=90°，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC-S△ABC进行计算.
8．（2023·潜江）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD=BC+CD=6，
∴AD=3，CD=2.
作DE⊥BC于点E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，CE=，
∴BE=，
∴BD==.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得AC=5，则△ABC的周长为3+4+5=12，根据BD平分△ABC的周长可得AB+AD=BC+CD=6，据此可得AD、CD的值，作DE⊥BC于点E，则AB∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质可得DE、CE，然后求出BE，再利用勾股定理计算即可.
9．（2023·潜江）拋物线与轴相交于点．下列结论：
①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过点A（-3，0），B（1，0），
∴y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，
∴b=2a<0，c=-3a>0，
∴abc>0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过点A（-3，0），B（1，0），
∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac>0，故②正确；
∵b=2a，c=-3a，
∴3b+2c=6a-6a=0，故③正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过点A（-3，0），B（1，0），
∴对称轴为直线x=-1.
∵点P（m-2，y1）、Q（m，y2）在抛物线上，且y1∴m≤-1或，
解得m<0，故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线过点A（-3，0），B（1，0）可得y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，则b=2a<0，c=-3a>0，据此判断①③；根据抛物线过点A、B可得ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，据此判断②；根据开口向下可得距离对称轴越远的点，对应的函数值越小，据此判断④.
10．（2023·潜江）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据图象知：t=t1时，铁桶注满水，0≤t≤t1，y1是一条斜线段，t>t1时，y1是一条水平线段；
当t=t1时，长方体水池开始注入水，当t=t2时，长方体水池中的水摸过铁桶，水池中水绵高度比开始变得平缓；当t=t3时，长方体水池注满了水，
∴y2开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
观察图象可得：选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分0≤t≤t1、t1二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分，请将答案直接填在答线卡对应的横线上）
11．（2023·潜江）计算的结果是 ．
【答案】1
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=-+1=1.
故答案为：1.
【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、算术平方根的概念可得原式=-+1，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
12．（2023·潜江）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象过点A（-1，-2）和点B（2，m），
∴-1×(-2)=2m，
∴m=1，
∴B（2，1）.
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x-1，
令x=0，得y=-1，
∴直线AB与y轴的交点为（0，-1.），
∴S△AOB=×1×1+×1×2=.
故答案为：.
【分析】根据点A、B在反比例函数图象上可得-1×(-2)=2m，求出m的值，得到B（2，1），利用待定系数法求出直线AB的解析式，令x=0，求出y的值，得到与y轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
13．（2023·潜江）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
【答案】度
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H.
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA.
∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=110°，
∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°.
∵⊙O与AB、BC分别切于点D、E，
∴BD=BE.
∵OD=OE，
∴OB为DE的垂直平分线，
∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，
∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=125°-90°=35°.
故答案为：35°.
【分析】连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H，由题意可得OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，根据角平分线的概念以及内角和定理可得∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°，由切线长定理可得BD=BE，进而推出OB为DE的垂直平分线，得到∠OHF=90°，根据外角的性质可得∠OHF+∠AFD=∠AOH，据此计算.
14．（2023·潜江）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中，属于中心对称图形的有平行四边形，圆，
将等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别记为A、B、C、D，画出树状图如下：
共有12种情况，其中抽到B、D的有2种，
∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为=.
故答案为：.
【分析】属于中心对称图形的有平行四边形，圆，将等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别记为A、B、C、D，画出树状图，找出总情况数以及抽到B、D的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．（2023·潜江）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△BAC、△DEB均为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，即∠EBC=∠DBA，故①正确；
∵△DEB、△AEF均为等腰直角三角形，
∴BE=DE，AE=EF，∠BED=∠AEF=90°，
∴∠BEA=∠DEF，
∴△BEA≌△DEF（SAS），
∴AB=DF，∠ABE=∠EDF，∠BAE=∠DFE，故③正确；
∵∠BEH+∠GEF=90°，
∴∠ABE+∠BHE=90°，∠EGF+∠DFE=90°.
∵BE>AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠ABE≠∠DFE，
∴∠BHE≠∠EGF，故②错误.
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°.
∵∠AFD+∠EFG=45°，
∴∠DFA=∠FAC，
∴DF∥AC.
∵AB=DF，AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形DFCA为平行四边形，
∴DA=CF，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DBE=45°，结合角的和差关系可判断①；根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，AE=EF，∠BED=∠AEF=90°，利用SAS证明△BEA≌△DEF，根据全等三角形的性质即可判断③；易得∠ABE+∠BHE=90°，∠EGF+∠DFE=90°，根据BE>AE可得∠ABE≠∠AEB，则∠ABE≠∠DFE，进而判断②；根据角的和差关系可得∠DFA=∠FAC，推出DF∥AC，结合AB=DF，AB=AC可得DF=AC，推出四边形DFCA为平行四边形，据此判断④.
三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．（2023·潜江）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：原式=4x3+2x-4x3-4x2=2x-4x2.
（2）解：两边乘以，得．
解得：．
检验，将代入．
∴是原分式方程的解．
【知识点】整式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则以及积的乘方法则可得原式=4x3+2x-4x2(x+1)，然后根据单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则进行计算；
（2）给方程两边同时乘以x(x+1)(x-1)，得5(x-1)-(x+1)=0，求出x的值，然后进行检验.
17．（2023·潜江）为了解学生“防诈骗意识”情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果将“防诈骗意识”按A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）分为五个等级．将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表．
等级 人数
A（很强） a
B（强） b
C（一般） 20
D（弱） 19
E（很弱） 16
（1）本次调查的学生共 人；
（2）已知，请将条形统计图补充完整；
（3）若将A，B，C三个等级定为“防诈骗意识”合格，请估计该校2000名学生中"防诈骗意识”合格的学生有多少人？
【答案】（1）100
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴，
补全条形统计图如下：
（3）解：由题意得：
（人）．
∴估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有1300人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）20÷20%=100.
故答案为：100.
【分析】（1）利用C的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数可求出a+b的值，结合a：b=1：2可得a、b的值，据此可补全条形统计图；
（3）利用A、B、C的人数之和除以调查的总人数，然后乘以2000即可.
18．（2023·潜江）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
【答案】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF是矩形，根据三角函数的概念可得DE，即为AF，结合i=3：4以及勾股定理可得AB的值.
19．（2023·潜江）已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
（1）在图1中作出以为对角线的一个菱形；
（2）在图2中作出以为边的一个菱形．
【答案】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：
（2）解：如图，菱形即为所求．
是菱形，且要求为边，
当为上底边的时候，作，且，向右下偏移，如图所示，
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）连接AE、BF交于点M，连接BD、CE交于点N，进而可得菱形BMEN；
（2）当BE为上底边的时候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，BQ向右下偏移，据此可得菱形BEPQ.
20．（2023·潜江）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△=[-(2m+1)2]-4×(m2+m)，判断出其符号，进而可确定方程根的情况；
（2）由根与系数的关系可得a+b=2m+1，ab=m2+m，然后结合(2a+b)(a+2b)=2(a+b)2+ab=20可求出m的值.
21．（2023·潜江）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，结合等角的余角相等可得∠BMP=∠MBC，根据正方形以及平行线的性质可得∠AMB=∠MBC，据此证明；
（2）延长MN、BC交于点Q，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DMP∽△CQP，由相似三角形的性质可得QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x，易得MQ=BQ=3+2x，则MP=MQ=，然后在Rt△DMP中，利用勾股定理计算即可.
22．（2023·潜江）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
时间：第x（天）
日销售价（元/件） 50
日销售量（件）
（，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式 ；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：当时，；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，（元）．
当时，，随增大而减小，
∴当时，（元）．
∵，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当1≤x≤30时，W=(0.5x+35-30)×(124-2x)=-x2+52x+620；
当31≤x≤60时，W=(50-30)×(124-2x)=-40x+2480，
∴.
【分析】（1）分1≤x≤30、31≤x≤60，根据(日销售价-进价)×日销售量=总利润可得W与x的关系式；
（2）分1≤x≤30、31≤x≤60，结合二次函数、一次函数的性质进行求解.
23．（2023·潜江）如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明，∵，
∴．
又，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
作于．
又∵，
∴为的垂直平分线．
∴点在上．
∴．
即．又点在上，
∴为的切线；
（2）解：过点作于，连接．
∵为的垂直平分线，
∴．
∴．∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴，
又，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABD=∠CED，∠BAD=∠ECD，根据中线的概念可得AD=CD，利用AAS证明△ABD≌△CED，得到AB=CE，推出四边形ABCE是平行四边形，得到AE∥BC，作AH⊥BC于H，则AH为BC的垂直平分线，进而得到OA⊥AE，据此证明；
（2）过点D作DM⊥BC于M，连接OB，由垂直平分线的性质可得BH=HC=3，由勾股定理可得OH，然后求出AH、AB、CD，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得DM ∥AH，证明△CMD∽△CHA，由相似三角形的性质可得MH、DM，然后求出BM、BD，由圆周角定理可得∠CFD=∠BAD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△FCD∽△ABD，由相似三角形的性质就可求出FC.
24．（2023·潜江）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
（1）抛物线的解析式为 ；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数；
（3）如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵点，点，
设直线的解析式为：．
∴，
∴，
直线的解析式为：．
同上，由点，可得直线的解析式为：．
令，得．
∴点的坐标为．
由题意可得：．
∴．
如图1，过点E作轴于点F．
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
即．
（3）解：设点的坐标为，点的坐标为．
∵直线与不重合，
∴且且．
如图3，由点，点，
可得到直线的解析式为：．
∵，
∴可设直线的解析式为：．
将代入，
得．
∴．
∴点的坐标可以表示为．
设直线的解析式为：，
由点，点，得
，
解得．
∴直线的解析式为：．
同上，由点，点，
可得到直线的解析式为：．
∴．
∴．
∴．
∴点的横坐标为定值3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）将A（-2，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx-6中可得，
解得，
∴y=x2-2x-6.
【分析】（1）将A（-2，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx-6中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AC、DB的解析式，联立求出x、y的值，得到点E的坐标，由题意可得OA=2，OB=OC=6.AB=8，由勾股定理可得AC的值，过点E作EF⊥x轴于点F，由勾股定理可得AE，推出，由对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△AEB，得到∠ABC=∠AEB，易得∠ABC=45°，据此求解；
（3）设M（m，m2-2m-6），N（n，n2-2n-6），利用待定系数法求出直线BC的解析式，结合MN∥BC可得直线MN的解析式，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得m+n=6，则N（6-m，m2-4m），表示出直线CN、BM的解析式，联立可得x的值，据此解答.
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