湖北省鄂州市2023年数学中考试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（2023·鄂州）实数10的相反数等于（ ）
A．-10 B．+10 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数10的相反数为-10.
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．（2023·鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2·a3=a5 C．a2÷a3=a5 D．(a2)3=a5
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；
B、a2·a3=a5，故正确；
C、a2÷a3=a-1=，故错误；
D、(a2)3=a6，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同 的项可判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
3．（2023·鄂州）中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种.3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）
A．14×107 B．1.4×108 C．0.14×109 D．1.4×109
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140000000=1.4×108.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．（2023·鄂州）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据主视图是圆对每个选项一一判断即可。
5．（2023·鄂州）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE=60°，则∠EFD的度数是（ ）
A．60° B．30° C．40° D．70°
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
、
∴∠BGE=∠GEH，∠HEF=∠EFD.
∵∠GEF=∠GEH+∠HEF=90°，
∴∠BGE+∠EFD=90°.
∵∠BGE=60°，
∴∠EFD=30°.
故答案为：B.
【分析】过E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BGE=∠GEH，∠HEF=∠EFD，则
∠GEF=∠GEH+∠HEF=∠BGE+∠EFD=90°，据此求解.
6．（2023·鄂州）已知不等式组的解集是，则=（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2023
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x-a>2，得x>a+2；
解不等式x+1∴不等式组的解集为a+2∵不等式组的解集为-1∴a+2=-1，b-1=1，
∴a=-3，b=2，
∴(a+b)2023=(-1)2023=-1.
故答案为：B.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集，结合不等式组的解集为-17．（2023·鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（-2，-1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A．y=x+1 B．y=x-1 C．y=2x+1 D．y=2x-1
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵帅的坐标为（-2，-1），
∴马的坐标为（1，2）.
设经过帅和马所在的点的一次函数解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x+1.
故答案为：A.
【分析】根据帅的位置可得马的位置，设经过帅和马所在的点的一次函数解析式为y=kx+b，代入求出k、b的值，进而可得对应的函数解析式.
8．（2023·鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴BC=AB=，
∴OC=OD=OB=，
∴∠DOB=2∠C=60°，
∴S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB=×4×-×××-=-2π.
故答案为：C.
【分析】连接OD，易得BC=AB=，则OC=OD=OB=，根据圆周角定理可得∠DOB=2∠C=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB进行计算.
9．（2023·鄂州）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且过点（-1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若A（，），B（，）（其中＜）是抛物线上的两点，且+＞2，则＞，其中正确的选项是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象开口向下，对称轴为直线x==1，
∴a<0，b=-2a>0，
∴ab<0，故①正确；
∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，故②正确；
∵图象过点（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵b=-2a，
∴3a+c=0，故③错误；
∵x12，
∴点B（x2，y2）到对称轴的距离大于点A（x1，y1）到对称轴的距离，
∴y1>y2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由图象可得：开口向下，对称轴为直线x==1，则a<0，b=-2a>0，据此判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），则当x=2时，y>0，据此判断②；根据图象过点（-1，0）可得a-b+c=0，结合b=-2a可判断③；根据x12可得点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，据此判断④.
10．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=，点C为平面内一动点，BC=，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM∶MA=1∶2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点C为平面内的一动点，BD=，
∴点C在以B为圆心，为半径的圆B上.
在x轴负半轴上取点D（，0），连接BD，分别以C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，
∵OA=OB=，
∴AD=OD+OA=，
∴.
∵CM：MA=1：2，
∴.
∵∠OAM=∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可得当D、B、C东线时，且点B在线段DC上时，CD取得最大值.
∵OA=OB=，OD=，
∴BD==，
∴CD=BC+BD=9.
∵，
∴OM=6.
∵CF⊥OA，
∴∠DOB=∠DFC=90°.
∵∠BDO=∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴，
∴，
∴CF=.
同理可得△AEM∽△AFC，
∴，
∴，
∴ME=，
∴OE==，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标为（，）.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：点C在以B为圆心，为半径的圆B上，在x轴负半轴上取点D（，0），连接BD，分别以C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，易得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△OAM∽△DAC，则，推出当D、B、C东线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，由勾股定理可得BD，然后求出CD、OM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，根据相似三角形的性质可得CF、ME，利用勾股定理求出OE，据此可得点M的坐标.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（2023·鄂州）计算：= ．
【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：原式==4．
【分析】运用开平方定义化简．
12．（2023·鄂州）为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是 ．
【答案】90
【知识点】众数
【解析】【解答】解：90出现了2次，出现的次数最多，故众数为90.
故答案为：90.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
13．（2023·鄂州）若实数a、b分别满足a2-3a+2=0，b2-3b+2=0，且a≠b，则= ．
【答案】
【知识点】分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵实数a、b分别满足a2-3a+2=0，b2-3b+2=0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2-3x+2=0的两根，
∴a+b=3，ab=2，
∴=.
故答案为：.
【分析】由题意可得a、b可看作方程x2-3x+2=0的两根，根据根与系数的关系可得a+b=3，ab=2，对待求式进行通分可得，据此计算.
14．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是 ．
【答案】（3，1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且，
∴位似比为3：1.
∵A（9，3），
∴A1（9÷3，3÷3），即为（3，1）.
故答案为：（3，1）.
【分析】由题意可得：位似比为3：1，给点A的横纵坐标分别除以3就可得到点A1的坐标.
15．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=（其中k1·k2≠0）相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=（其中k1·k2≠0）相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，
∴k2=-2×3=-2m=-6，
∴m=3，
∴B（3，-2）.
∵BP∥x轴，
∴BP=3，
∴S△ABP=×3×(3+2)=.
故答案为：.
【分析】根据点A、B在反比例函数图象上可得k2=-2×3=-2m=-6，求出m的值，得到点B的坐标，据此可得BP的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
16．（2023·鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE∶EQ=3∶2，则的值是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∴BE=b，EH=b-a.
∵BE：EQ=3：2，
∴EQ=b，
∴QH=EH-EQ=a-b-b=a-b.
∵AH∥EC，
∴△AHQ∽△CEQ，
∴，
∴，
∴3a2-5ab-2b2=0，
∴a=2b，
∴BQ=BE+EQ=b+b=b.
∵∠BEC=90°，BE=b，CE=a=2b，
∴BC==b.
∵∠QEO=∠QCB=45°，∠EQO=∠CQB，
∴△QEO∽△QCB，
∴.
∵赵爽弦图是中心对称图形，
∴OP=OQ，
∴==.
故答案为：.
【分析】设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则BE=b，EH=b-a，EQ=b，QH=EH-EQ=a-b，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△AHQ∽△CEQ，根据相似三角形的性质可得a=2b，由勾股定理可得BC，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△QEO∽△QCB，由相似三角形的性质可得，据此求解.
三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72分）
17．（2023·鄂州）先化简，再求值：，其中a=2．
【答案】解：原式=
当a =2时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据同分母分式减法法则可得原式=，对分母进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将a=2代入计算即可.
18．（2023·鄂州）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：四边形AEFD是菱形.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形
∴ AD∥BC
∴∠DAF=∠AFC
∵ AF平分∠DAE
∴∠DAF=∠EAF
∴∠AFC=∠EAF
∴ AE=EF
∵ AD=AE
∴ AD=EF
又∵ AD∥EF
∴四边形AEFD是平行四边形
又∵ AD=AE
∴四边形AEFD是菱形.
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法进行作图；
（2）由矩形以及平行线的性质可得∠DAF=∠AFC，根据角平分线的概念可得∠DAF=∠EAF，进而推出AE=EF，由已知条件可知AD=AE，则AD=EF，然后根据菱形的判定定理进行解答.
19．（2023·鄂州） 2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如下两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）九（1）班共有 ▲ 名学生；并补全图1折线统计图；
（2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）解：50
补全图1折线统计图如下，
（2）解：
（3）解：根据题意，可列表如下：
A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
由上表可知，共有16种等可能的结果.其中两个同学选择相同主题（记为事件M）的结果有4种，所以P(M)=.
【知识点】扇形统计图；折线统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）九（1）班共有20÷40%=50（名）学生，选择主题D的人数有50-10-20-5=5.
故答案为：50.
【分析】（1）利用选择B主题的人数除以所占的比例可得总人数，进而求出选择主题D的人数，据此可补全折线统计图；
（2）利用D的人数除以总人数，然后乘以360°即可得到所占扇形圆心角的度数；
（3）画出表格，找出总情况数以及两个同学选择相同主题的情况数，然后利用概率公式进行计算.
20．（2023·鄂州）鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．
（1）求自动扶梯AD的长度；
（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）解：过点D作DH⊥AB于点H.
∵ tan∠DAB=
∴
即
∴ DH=20
∴ AD=
因此自动扶梯AD长25m.
（2）解：过点C作CM⊥AB于点M.则四边形DHMC是矩形.
∴HM=DC=45，CM=DH=20
∵CD∥AB
∴∠B=∠GCD=45°
∴BM=CM=20
∴FB=FA+AH+HM+MB=30+15+45+20=110
∵∠EAF=30°，AF=30
∴EF=30×tan30°=
∴GE=GF-EF=FB-EF=110-
因此大型条幅GE长(110-)m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据三角函数的概念可得DH，然后利用勾股定理计算即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，则四边形DHMC是矩形，HM=DC=45，CM=DH=20，根据平行线的性质可得∠B=∠GCD=45°，则BM=CM=20，FB=FA+AH+HM+MB=110，根据三角函数的概念可得EF，然后根据GE=GF-EF=FB-EF进行计算.
21．（2023·鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h.1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a= ，b ；
（2）请分别求出，与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？
【答案】（1）；30
（2）解：= x +10，x +20（0≤x≤60）
（3）解：||=5
解得 x=10或30
因此上升10min或30min时，两个气球的海拔竖直高度差为5m.
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：当x=20时，两球相遇，
y1=10+x=10+20=30，
∴b=30.
设2号探测气球解析式为y2=20+ax，
∵y2=20+ax过点（20，30），
∴30=20+20a，
解得a=.
故答案为：，30.
【分析】（1）由题意可得：当x=20时，两球相遇，则y1=10+x=10+20=30，据此可得b的值，设2号探测气球解析式为y2=20+ax，将（20，30）代入求解可得a的值；
（2）根据（1）可得y1、y2与x的函数关系式；
（3）令|y1-y2|=5，求出x的值即可.
22．（2023·鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE=1，DC=2，求⊙的半径长．
【答案】（1）证明：连接OC.
∵点C为的中点
∴∠DAC=∠CAB
又∵OA=OC
∴∠CAB=∠OCA
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AE
又∵AE⊥CD
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：连接CE、CB.
∵CD⊥AE
∴∠D=90°
在Rt△DCE中，EC=
∵点C为的中点
∴CB=CE=
∵∠AEC+∠ABC=180°，∠AEC+∠DEC=180°
∴∠DEC=∠ABC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠D
∴△EDC∽△BCA
∴
即
解得AB=5
∴⊙O的半径长是.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由中点以及圆周角定理可得∠DAC=∠CAB，由等腰三角形的性质可得∠CAB=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，推出OC∥AE，结合AE⊥CD可得OC⊥CD，据此证明；
（2）连接CE、CB，由勾股定理可得EC，根据弧、弦的关系可得CB=CE=，根据圆内接四边形的性质可得∠AEC+∠ABC=180°，结合邻补角的性质可得∠DEC=∠ABC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△EDC∽△BCA，然后由相似三角形的性质计算即可.
23．（2023·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=的距离PN （该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=．例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y=，其中PF=PN，FH=2OF=．
（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线l的方程： ， ；
（2）【技能训练】如图2，已知抛物线y=上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
（3）【能力提升】如图3，已知抛物线y=的焦点为F，准线方程为l．直线m：y=交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
（4）【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2（a＞0）平移至y=a(x-h)2+k（a＞0）．
抛物线y=a(x-h)2+k（a＞0）内有一定点F（h，），直线l过点M（h，）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y=的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
如图4，点D（-1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=-1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
【答案】（1）（0，1）；y =-1
（2）解：∵抛物线y=的焦点F（0，1），准线方程l：y = -1
P点到焦点F的距离等于它到准线y = -1的距离
∴PF =+1=3
∴=∴
解得＝或＝-（舍）
∴P（，）
（3）3-.
（4）解：过点D作直线y=-2E
∵y=的焦点是（0，0），准线方程是y=-2
P点到焦点的距离等于它到准线的距离
∴PO=PE
∴当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值
此时P点坐标是（，）
∴S△POD×1×（）
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；定义新运算；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）y=x2的焦点坐标为（0，1），准线方程为y=-1.
故答案为：（0，1），y=-1.
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，
∵直线PE与直线m垂直，故可设直线PE的解析式为y=x+b，
将F（0，1）代入可得b=1，
∴直线PE的解析式为y=x+1.
∵点P是直线PE和抛物线的交点，
∴联立y=x+1与y=x2，
解得x=-1，
∴P（-1，），
∴d1=-1=.
∵E是直线PE和直线m的交点，
∴联立y=x+1与y=x-3，
得x=4，
∴E（4，-1），
∴d2==，
∴d1+d2=+==3-，
∴d1+d2的最小值为3-.
【分析】（1）直接根据焦点坐标、准线方程的概念进行解答；
（2）由题意可得PF =y0+1=3y0，求出y0的值，代入抛物线解析式中求出x0的值，据此可得点P的坐标；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，易得直线PE的解析式为y=x+1，联立抛物线解析式求出x、y，得到点P的坐标，进而可得d1，联立PE与直线m的解析式求出x、y，得到点E的坐标，利用两点间距离公式可得d2，据此求解；
（4）过点D作直线y=-2的垂线，垂足为E，易得y=x2-1的焦点是（0，0），准线方程是y=-2，由题意可得PO=PE，故当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值，此时P点坐标是（-1，-），然后根据三角形的面积公式进行计算.
24．（2023·鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA=2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．
（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO=30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足=2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当时，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）A（0，2）
（2）解：∵l⊥y轴， OA=2， ∠ABO=30°
∴OB=4， AB=
∵点C为AB的中点
∴BC =
∵CP⊥AB
∴∠PCB=90°
∵△PCD是△BCD翻折所得
∴∠BCD=45°
过点D作DE⊥AB于点E．
设DE=x，则BE＝x，CE=x， BD=2x
∴x+x= 解得 x=
∴BD=3-
∴DQ=2-（3-）=-1
（3）解：如图3-1，当点O、E、F三点共线时，易证四边形AOEB是矩形，∴OE=AB=4，直线EB与x轴交点的坐标是（4，0）；
如图3-2，当点O、F、E三点共线时，易证△OAM≌△BEM.
设AM＝x，则EM＝x，MB=OM=4- x，
在Rt△AOM中，根据勾股定理得
22+x2 = (4-x)2 解得x =
∴MB=
∵MB∥ON
∴△EMB∽△EON
∴ 即 解得ON=
∴直线EB与x轴交点的坐标是（，0）
综合所述：直线EB与x轴交点的坐标是（4，0）或（，0）．
（4）（，2）.
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵OA=2，
∴A（0，2）.
（4） ∵直线l⊥y轴，AD⊥OB于点D，
∴∠AOC+∠ACO=90°，∠EOD+∠OED=90°，
又∵OC平分∠AOB交AB于点C，即：∠AOC=∠DOE，
∴∠ACO=∠OED．
又∵∠AEC=∠OED，
∴∠AEC=∠ACO．
∴AE=AC，
∵AF为△AEC的一条中线．
∴AF⊥EC，即：∠AFC=90°，
∵∠ACO=∠OED=∠ACO，∠OAC=∠ODE=∠AFC=90°，
∴△OAC∽△ODE∽△AFC，
∴设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．
∴，
∵，
∴，
∴2AF+OD=OA=，
∴2AF=-OD，
延长AF交OB于H点，如图4，
∵∠ACO=∠OED，AFO=∠HFO=90°，OF=OF，
∴△AFO≌△HFO（ASA），
∴OH=OA=2，AF=FH，
∴∴AH=2AF=-OD ，DH=OH-OD=2-OD，
∵AD2=OA2-OD2，AD2=AH2-DH2，
∴22-OD2= （- OD）2-（2-OD）2，
解得： OD1=（不合题意，舍去）， OD2=，
∴AD=，
∴tan∠AOD= ，
∴AB=OA tan∠AOB=，
∴点B的坐标为（，2）.
【分析】（1）根据OA=2可得点A的坐标；
（2）易得OB=4， AB=，根据中点的概念可得BC =，由折叠的性质可得∠BCD=45°，过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，则BE＝x，CE=x， BD=2x，根据BC=BE+CE可得x的值，然后求出BD，再根据DQ=QB-BD进行计算；
（3）当点O、E、F三点共线时，易证四边形AOEB是矩形，OE=AB=4，直线EB与x轴交点的坐标是（4，0）；当点O、F、E三点共线时，易证△OAM≌△BEM，设AM＝x，则EM＝x，MB=OM=4- x，由勾股定理可得x的值，证明△EMB∽△EON，由相似三角形的性质可得ON，据此可得直线EB与x轴交点的坐标；
（4）由已知可证明△OAC∽△ODE∽△AFC，进而可得，由此可得2AF+OD=OA=， 延长AF交OB于H点，可得AH=2AF=-OD ，DH=OH-OD=2-OD，然后由勾股求出OD=，进而求出点B坐标．
1 / 1湖北省鄂州市2023年数学中考试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（2023·鄂州）实数10的相反数等于（ ）
A．-10 B．+10 C． D．
2．（2023·鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2·a3=a5 C．a2÷a3=a5 D．(a2)3=a5
3．（2023·鄂州）中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种.3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）
A．14×107 B．1.4×108 C．0.14×109 D．1.4×109
4．（2023·鄂州）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·鄂州）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE=60°，则∠EFD的度数是（ ）
A．60° B．30° C．40° D．70°
6．（2023·鄂州）已知不等式组的解集是，则=（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2023
7．（2023·鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（-2，-1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A．y=x+1 B．y=x-1 C．y=2x+1 D．y=2x-1
8．（2023·鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·鄂州）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且过点（-1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若A（，），B（，）（其中＜）是抛物线上的两点，且+＞2，则＞，其中正确的选项是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
10．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=，点C为平面内一动点，BC=，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM∶MA=1∶2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（2023·鄂州）计算：= ．
12．（2023·鄂州）为了加强中学生“五项管理”，葛洪学校就“作业管理”、“睡眠管理”、“手机管理”、“读物管理”、“体质管理”五个方面对各班进行考核打分（各项满分均为100），九（1）班的五项得分依次为95，90，85，90，92，则这组数据的众数是 ．
13．（2023·鄂州）若实数a、b分别满足a2-3a+2=0，b2-3b+2=0，且a≠b，则= ．
14．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是 ．
15．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=（其中k1·k2≠0）相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
16．（2023·鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE∶EQ=3∶2，则的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，17~21题每题8分，22~23每题10分，24题12分，共计72分）
17．（2023·鄂州）先化简，再求值：，其中a=2．
18．（2023·鄂州）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
19．（2023·鄂州） 2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，鄂州市某中学九（1）班团支部组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：“北斗”，B：“5G时代”，C：“东风快递”，D：“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题．比赛结束后，该班团支部统计了同学们所选主题的频数，绘制成如下两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）九（1）班共有 ▲ 名学生；并补全图1折线统计图；
（2）请阅读图2，求出D所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若小林和小峰分别从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
20．（2023·鄂州）鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．
（1）求自动扶梯AD的长度；
（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）
21．（2023·鄂州）1号探测气球从海拔10m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以am/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h.1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）a= ，b ；
（2）请分别求出，与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5m？
22．（2023·鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE=1，DC=2，求⊙的半径长．
23．（2023·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=的距离PN （该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=．例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y=，其中PF=PN，FH=2OF=．
（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线l的方程： ， ；
（2）【技能训练】如图2，已知抛物线y=上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
（3）【能力提升】如图3，已知抛物线y=的焦点为F，准线方程为l．直线m：y=交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
（4）【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2（a＞0）平移至y=a(x-h)2+k（a＞0）．
抛物线y=a(x-h)2+k（a＞0）内有一定点F（h，），直线l过点M（h，）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y=的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
如图4，点D（-1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=-1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
24．（2023·鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，直线l⊥y轴，交y轴的正半轴于点A，且OA=2，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接OB．
（1）请直接写出点A的坐标；
（2）如图2，若动点B满足∠ABO=30°，点C为AB的中点，D点为线段OB上一动点，连接CD．在平面内，将△BCD沿CD翻折，点B的对应点为点P，CP与OB相交于点Q，当CP⊥AB时，求线段DQ的长；
（3）如图3，若动点B满足=2，EF为△OAB的中位线，将△BEF绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
（4）如图4，OC平分∠AOB交AB于点C，AD⊥OB于点D，交OC于点E，AF为△AEC的一条中线．设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．试探究：在B点的运动过程中，当时，请直接写出点B的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数10的相反数为-10.
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；
B、a2·a3=a5，故正确；
C、a2÷a3=a-1=，故错误；
D、(a2)3=a6，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同 的项可判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140000000=1.4×108.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据主视图是圆对每个选项一一判断即可。
5．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
、
∴∠BGE=∠GEH，∠HEF=∠EFD.
∵∠GEF=∠GEH+∠HEF=90°，
∴∠BGE+∠EFD=90°.
∵∠BGE=60°，
∴∠EFD=30°.
故答案为：B.
【分析】过E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BGE=∠GEH，∠HEF=∠EFD，则
∠GEF=∠GEH+∠HEF=∠BGE+∠EFD=90°，据此求解.
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x-a>2，得x>a+2；
解不等式x+1∴不等式组的解集为a+2∵不等式组的解集为-1∴a+2=-1，b-1=1，
∴a=-3，b=2，
∴(a+b)2023=(-1)2023=-1.
故答案为：B.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集，结合不等式组的解集为-17．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵帅的坐标为（-2，-1），
∴马的坐标为（1，2）.
设经过帅和马所在的点的一次函数解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x+1.
故答案为：A.
【分析】根据帅的位置可得马的位置，设经过帅和马所在的点的一次函数解析式为y=kx+b，代入求出k、b的值，进而可得对应的函数解析式.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴BC=AB=，
∴OC=OD=OB=，
∴∠DOB=2∠C=60°，
∴S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB=×4×-×××-=-2π.
故答案为：C.
【分析】连接OD，易得BC=AB=，则OC=OD=OB=，根据圆周角定理可得∠DOB=2∠C=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB进行计算.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象开口向下，对称轴为直线x==1，
∴a<0，b=-2a>0，
∴ab<0，故①正确；
∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，故②正确；
∵图象过点（-1，0），
∴a-b+c=0.
∵b=-2a，
∴3a+c=0，故③错误；
∵x12，
∴点B（x2，y2）到对称轴的距离大于点A（x1，y1）到对称轴的距离，
∴y1>y2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由图象可得：开口向下，对称轴为直线x==1，则a<0，b=-2a>0，据此判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），则当x=2时，y>0，据此判断②；根据图象过点（-1，0）可得a-b+c=0，结合b=-2a可判断③；根据x12可得点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，据此判断④.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点C为平面内的一动点，BD=，
∴点C在以B为圆心，为半径的圆B上.
在x轴负半轴上取点D（，0），连接BD，分别以C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，
∵OA=OB=，
∴AD=OD+OA=，
∴.
∵CM：MA=1：2，
∴.
∵∠OAM=∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可得当D、B、C东线时，且点B在线段DC上时，CD取得最大值.
∵OA=OB=，OD=，
∴BD==，
∴CD=BC+BD=9.
∵，
∴OM=6.
∵CF⊥OA，
∴∠DOB=∠DFC=90°.
∵∠BDO=∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴，
∴，
∴CF=.
同理可得△AEM∽△AFC，
∴，
∴，
∴ME=，
∴OE==，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标为（，）.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：点C在以B为圆心，为半径的圆B上，在x轴负半轴上取点D（，0），连接BD，分别以C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，易得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△OAM∽△DAC，则，推出当D、B、C东线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，由勾股定理可得BD，然后求出CD、OM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，根据相似三角形的性质可得CF、ME，利用勾股定理求出OE，据此可得点M的坐标.
11．【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：原式==4．
【分析】运用开平方定义化简．
12．【答案】90
【知识点】众数
【解析】【解答】解：90出现了2次，出现的次数最多，故众数为90.
故答案为：90.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
13．【答案】
【知识点】分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵实数a、b分别满足a2-3a+2=0，b2-3b+2=0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2-3x+2=0的两根，
∴a+b=3，ab=2，
∴=.
故答案为：.
【分析】由题意可得a、b可看作方程x2-3x+2=0的两根，根据根与系数的关系可得a+b=3，ab=2，对待求式进行通分可得，据此计算.
14．【答案】（3，1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且，
∴位似比为3：1.
∵A（9，3），
∴A1（9÷3，3÷3），即为（3，1）.
故答案为：（3，1）.
【分析】由题意可得：位似比为3：1，给点A的横纵坐标分别除以3就可得到点A1的坐标.
15．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=（其中k1·k2≠0）相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，
∴k2=-2×3=-2m=-6，
∴m=3，
∴B（3，-2）.
∵BP∥x轴，
∴BP=3，
∴S△ABP=×3×(3+2)=.
故答案为：.
【分析】根据点A、B在反比例函数图象上可得k2=-2×3=-2m=-6，求出m的值，得到点B的坐标，据此可得BP的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∴BE=b，EH=b-a.
∵BE：EQ=3：2，
∴EQ=b，
∴QH=EH-EQ=a-b-b=a-b.
∵AH∥EC，
∴△AHQ∽△CEQ，
∴，
∴，
∴3a2-5ab-2b2=0，
∴a=2b，
∴BQ=BE+EQ=b+b=b.
∵∠BEC=90°，BE=b，CE=a=2b，
∴BC==b.
∵∠QEO=∠QCB=45°，∠EQO=∠CQB，
∴△QEO∽△QCB，
∴.
∵赵爽弦图是中心对称图形，
∴OP=OQ，
∴==.
故答案为：.
【分析】设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则BE=b，EH=b-a，EQ=b，QH=EH-EQ=a-b，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△AHQ∽△CEQ，根据相似三角形的性质可得a=2b，由勾股定理可得BC，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△QEO∽△QCB，由相似三角形的性质可得，据此求解.
17．【答案】解：原式=
当a =2时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据同分母分式减法法则可得原式=，对分母进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将a=2代入计算即可.
18．【答案】（1）
（2）解：四边形AEFD是菱形.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形
∴ AD∥BC
∴∠DAF=∠AFC
∵ AF平分∠DAE
∴∠DAF=∠EAF
∴∠AFC=∠EAF
∴ AE=EF
∵ AD=AE
∴ AD=EF
又∵ AD∥EF
∴四边形AEFD是平行四边形
又∵ AD=AE
∴四边形AEFD是菱形.
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法进行作图；
（2）由矩形以及平行线的性质可得∠DAF=∠AFC，根据角平分线的概念可得∠DAF=∠EAF，进而推出AE=EF，由已知条件可知AD=AE，则AD=EF，然后根据菱形的判定定理进行解答.
19．【答案】（1）解：50
补全图1折线统计图如下，
（2）解：
（3）解：根据题意，可列表如下：
A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
由上表可知，共有16种等可能的结果.其中两个同学选择相同主题（记为事件M）的结果有4种，所以P(M)=.
【知识点】扇形统计图；折线统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）九（1）班共有20÷40%=50（名）学生，选择主题D的人数有50-10-20-5=5.
故答案为：50.
【分析】（1）利用选择B主题的人数除以所占的比例可得总人数，进而求出选择主题D的人数，据此可补全折线统计图；
（2）利用D的人数除以总人数，然后乘以360°即可得到所占扇形圆心角的度数；
（3）画出表格，找出总情况数以及两个同学选择相同主题的情况数，然后利用概率公式进行计算.
20．【答案】（1）解：过点D作DH⊥AB于点H.
∵ tan∠DAB=
∴
即
∴ DH=20
∴ AD=
因此自动扶梯AD长25m.
（2）解：过点C作CM⊥AB于点M.则四边形DHMC是矩形.
∴HM=DC=45，CM=DH=20
∵CD∥AB
∴∠B=∠GCD=45°
∴BM=CM=20
∴FB=FA+AH+HM+MB=30+15+45+20=110
∵∠EAF=30°，AF=30
∴EF=30×tan30°=
∴GE=GF-EF=FB-EF=110-
因此大型条幅GE长(110-)m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，根据三角函数的概念可得DH，然后利用勾股定理计算即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，则四边形DHMC是矩形，HM=DC=45，CM=DH=20，根据平行线的性质可得∠B=∠GCD=45°，则BM=CM=20，FB=FA+AH+HM+MB=110，根据三角函数的概念可得EF，然后根据GE=GF-EF=FB-EF进行计算.
21．【答案】（1）；30
（2）解：= x +10，x +20（0≤x≤60）
（3）解：||=5
解得 x=10或30
因此上升10min或30min时，两个气球的海拔竖直高度差为5m.
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：当x=20时，两球相遇，
y1=10+x=10+20=30，
∴b=30.
设2号探测气球解析式为y2=20+ax，
∵y2=20+ax过点（20，30），
∴30=20+20a，
解得a=.
故答案为：，30.
【分析】（1）由题意可得：当x=20时，两球相遇，则y1=10+x=10+20=30，据此可得b的值，设2号探测气球解析式为y2=20+ax，将（20，30）代入求解可得a的值；
（2）根据（1）可得y1、y2与x的函数关系式；
（3）令|y1-y2|=5，求出x的值即可.
22．【答案】（1）证明：连接OC.
∵点C为的中点
∴∠DAC=∠CAB
又∵OA=OC
∴∠CAB=∠OCA
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AE
又∵AE⊥CD
∴OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：连接CE、CB.
∵CD⊥AE
∴∠D=90°
在Rt△DCE中，EC=
∵点C为的中点
∴CB=CE=
∵∠AEC+∠ABC=180°，∠AEC+∠DEC=180°
∴∠DEC=∠ABC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠D
∴△EDC∽△BCA
∴
即
解得AB=5
∴⊙O的半径长是.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由中点以及圆周角定理可得∠DAC=∠CAB，由等腰三角形的性质可得∠CAB=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，推出OC∥AE，结合AE⊥CD可得OC⊥CD，据此证明；
（2）连接CE、CB，由勾股定理可得EC，根据弧、弦的关系可得CB=CE=，根据圆内接四边形的性质可得∠AEC+∠ABC=180°，结合邻补角的性质可得∠DEC=∠ABC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△EDC∽△BCA，然后由相似三角形的性质计算即可.
23．【答案】（1）（0，1）；y =-1
（2）解：∵抛物线y=的焦点F（0，1），准线方程l：y = -1
P点到焦点F的距离等于它到准线y = -1的距离
∴PF =+1=3
∴=∴
解得＝或＝-（舍）
∴P（，）
（3）3-.
（4）解：过点D作直线y=-2E
∵y=的焦点是（0，0），准线方程是y=-2
P点到焦点的距离等于它到准线的距离
∴PO=PE
∴当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值
此时P点坐标是（，）
∴S△POD×1×（）
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；定义新运算；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）y=x2的焦点坐标为（0，1），准线方程为y=-1.
故答案为：（0，1），y=-1.
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，
∵直线PE与直线m垂直，故可设直线PE的解析式为y=x+b，
将F（0，1）代入可得b=1，
∴直线PE的解析式为y=x+1.
∵点P是直线PE和抛物线的交点，
∴联立y=x+1与y=x2，
解得x=-1，
∴P（-1，），
∴d1=-1=.
∵E是直线PE和直线m的交点，
∴联立y=x+1与y=x-3，
得x=4，
∴E（4，-1），
∴d2==，
∴d1+d2=+==3-，
∴d1+d2的最小值为3-.
【分析】（1）直接根据焦点坐标、准线方程的概念进行解答；
（2）由题意可得PF =y0+1=3y0，求出y0的值，代入抛物线解析式中求出x0的值，据此可得点P的坐标；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，易得直线PE的解析式为y=x+1，联立抛物线解析式求出x、y，得到点P的坐标，进而可得d1，联立PE与直线m的解析式求出x、y，得到点E的坐标，利用两点间距离公式可得d2，据此求解；
（4）过点D作直线y=-2的垂线，垂足为E，易得y=x2-1的焦点是（0，0），准线方程是y=-2，由题意可得PO=PE，故当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值，此时P点坐标是（-1，-），然后根据三角形的面积公式进行计算.
24．【答案】（1）A（0，2）
（2）解：∵l⊥y轴， OA=2， ∠ABO=30°
∴OB=4， AB=
∵点C为AB的中点
∴BC =
∵CP⊥AB
∴∠PCB=90°
∵△PCD是△BCD翻折所得
∴∠BCD=45°
过点D作DE⊥AB于点E．
设DE=x，则BE＝x，CE=x， BD=2x
∴x+x= 解得 x=
∴BD=3-
∴DQ=2-（3-）=-1
（3）解：如图3-1，当点O、E、F三点共线时，易证四边形AOEB是矩形，∴OE=AB=4，直线EB与x轴交点的坐标是（4，0）；
如图3-2，当点O、F、E三点共线时，易证△OAM≌△BEM.
设AM＝x，则EM＝x，MB=OM=4- x，
在Rt△AOM中，根据勾股定理得
22+x2 = (4-x)2 解得x =
∴MB=
∵MB∥ON
∴△EMB∽△EON
∴ 即 解得ON=
∴直线EB与x轴交点的坐标是（，0）
综合所述：直线EB与x轴交点的坐标是（4，0）或（，0）．
（4）（，2）.
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵OA=2，
∴A（0，2）.
（4） ∵直线l⊥y轴，AD⊥OB于点D，
∴∠AOC+∠ACO=90°，∠EOD+∠OED=90°，
又∵OC平分∠AOB交AB于点C，即：∠AOC=∠DOE，
∴∠ACO=∠OED．
又∵∠AEC=∠OED，
∴∠AEC=∠ACO．
∴AE=AC，
∵AF为△AEC的一条中线．
∴AF⊥EC，即：∠AFC=90°，
∵∠ACO=∠OED=∠ACO，∠OAC=∠ODE=∠AFC=90°，
∴△OAC∽△ODE∽△AFC，
∴设△ACF，△ODE，△OAC的周长分别为C1，C2，C3．
∴，
∵，
∴，
∴2AF+OD=OA=，
∴2AF=-OD，
延长AF交OB于H点，如图4，
∵∠ACO=∠OED，AFO=∠HFO=90°，OF=OF，
∴△AFO≌△HFO（ASA），
∴OH=OA=2，AF=FH，
∴∴AH=2AF=-OD ，DH=OH-OD=2-OD，
∵AD2=OA2-OD2，AD2=AH2-DH2，
∴22-OD2= （- OD）2-（2-OD）2，
解得： OD1=（不合题意，舍去）， OD2=，
∴AD=，
∴tan∠AOD= ，
∴AB=OA tan∠AOB=，
∴点B的坐标为（，2）.
【分析】（1）根据OA=2可得点A的坐标；
（2）易得OB=4， AB=，根据中点的概念可得BC =，由折叠的性质可得∠BCD=45°，过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，则BE＝x，CE=x， BD=2x，根据BC=BE+CE可得x的值，然后求出BD，再根据DQ=QB-BD进行计算；
（3）当点O、E、F三点共线时，易证四边形AOEB是矩形，OE=AB=4，直线EB与x轴交点的坐标是（4，0）；当点O、F、E三点共线时，易证△OAM≌△BEM，设AM＝x，则EM＝x，MB=OM=4- x，由勾股定理可得x的值，证明△EMB∽△EON，由相似三角形的性质可得ON，据此可得直线EB与x轴交点的坐标；
（4）由已知可证明△OAC∽△ODE∽△AFC，进而可得，由此可得2AF+OD=OA=， 延长AF交OB于H点，可得AH=2AF=-OD ，DH=OH-OD=2-OD，然后由勾股求出OD=，进而求出点B坐标．
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