6.4.1平面几何中的向量方法 教学设计（表格式）

主备人 年级 高一
活动时间 2023年 3月6日 活动地点 高一年级备课室
课题 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 6.4.3（1）正弦定理 6.4.3（2）余弦定理 6.4.3（3）余弦定理、正弦定理的应用举例 单元测试 课时 5课时
参与研讨人员
课题 6.4.1 平面几何中的向量方法
教学目标 （一）知识与技能 明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。 （二）过程与方法 1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”； 2．明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。 （三）情感、态度与价值观 通过本节学习，深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃思维，发展创新意识，激发学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义。
教学重、 难点 教学重点：学会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题。 教学难点：明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。
教学方法 讲授法、讨论法、提问法
课型 新授课
教学过程 （一）创设情境，引入新课 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用． （二）探索新知，整体认知 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD． 求证：． 分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到， ，我们计算和． 证明：不妨设a，b，则 a+b，a-b，|a|2，|b|2． ∴ ( a+b)·( a+b) =a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2． ① 同理　|a|2-2a·b+|b|2． ② ①+②得 2(|a|2+|b|2)=2()． 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 师：你能用几何方法解决这个问题吗？ 生：（探索、研究得出本例的几何证法如右图）略． 师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度. 用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤， ⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系． 例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ 分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可． 解：设a，b，则a+b． 　　∵　与共线 　　∴　存在实数m，使得 =m(a+b)． 又　∵　与共线 　　∴　存在实数n，使得 =n= n(b- a)． 　　由= n，得 m(a+b)= a+ n(b- a)． 整理得　　　　　　a＋b＝0． 由于向量a、b不共线，所以有　，解得． 所以　　　　　　　　　　　． 同理　　　　　　　　　　　． 于是　　　　　　　　　　　． 所以　　　　　　　　　　　AR＝RT＝TC． 说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法． （三）初步应用，理论迁移 例3：已知△ABC三条高线AD、BE、CF，求证：AD、BE、CF交于一点． 分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题． 解：如图，以BC所在直线为x轴，过点A垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设A、B、C三点的坐标分别为 ，，， 且BE、CF交于点，则 ，，，． ∵　，， ∴　，解得　． 所以，点H在y轴上，即点H在AD上，AD、BE、CF交于一点． (四)课堂练习，及时反馈 (
CC
D
FC
BC
EC
A
P
)练习：如图3，已知正方形，为对角线上任意一点，于点，于点，连结、.那么，你能发现与关系吗？试证明你的结论. 图3 （五）梳理小结，深化理解 本节主要研究了用向量方法解决平面几何问题. 1．向量方法解决平面几何问题的步骤是：①几何问题向量化；②向量运算代数化；③向量结果几何化. 2．运用向量法的过程中，向量能够用坐标表示的，优先选择建立直角坐标系，通过坐标表示，转化成代数运算. 3．用向量方法解决平面几何问题的优点：向量能够运算，因此在解决某些问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，从而降低了思考问题的难度.它能比较轻松地解决平面几何中的距离（线段长度）、夹角、平行、垂直以及三点共线等问题。 （六）布置作业，深入研究 教材第9页练习第1-3题。
板书设计 1.平面几何中的向量方法 如果把代数方法简单地表述为： ［形到数］——［数的运算］——［数到形］， 则向量方法可以简单的表述为： ［形到向量］——［向量的运算］——［向量和数到形］。 2.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤 ⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系。 6.4.1 平面几何中的向量方法 课件展示 例1 例1 练习1
教学反思