因式分解[下学期]
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文档简介
同底数幂的除法
目标：1．掌握同底数幂的除法运算法则；
2．会正确的运用同底数幂除法的运算性质进行运算，并能说出每一步运算的依据
重难点：同底数幂的除法法则的推导及应用
练习导入：
1、 计算题：
１． ２．
３． ４．
①先认定是什么运算，再选择运算方法；
②整式加法、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是极易混淆的概念，计算时要特别小心.
２、一颗人造地球卫星运行的速度是7.9×103 m/s,一架喷气式飞机的速度是1．0×103 km/h.人造卫星的速度是飞机速度的倍？
新课导入：
做一做：
计算下列各式：
（1） ＝ ＝
（2）＝ ＝
（3）＝ ＝
（４）＝ ＝
你发现了什么？
同底数幂的除法法则的推导
当a≠0 , m 、n是正整数 , 且m ＞n时
归纳法则：
同底数幂的除法：
★ 。
例题：
（1）、 （2）、
（３）、 （４）、
如果将上题中的第四小问中的改为又该怎么计算了？
（５）
本节课开始的问题：
＝
课堂练习：
１、如果,则m,n的关系是( )
A、m=2n B、m=-2n C、m-2n=1 D、m-2n=1
２、计算：
（１）、 （２）、
（３）、 （４）、
（５）、 （６）、
（７）、 （８）、
（９）、
课后练习：
１、月球距离地球大约3.84 ×105千米，一架飞机的速度约为8×102千米/小时，如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？
２计算题：
（1） (a3 ．a2 ) 3÷(-a2 ) 2 ÷a２
（2） (x4 ) 2÷(x4 ) 2 (x2 ) 2 ·x2
（３）若 xm = 2 , xn = 5 ,
则xm+n = , xm-n =
（4）计算：
（5）计算：(ab ) 12÷[(ab ) 4÷(ab ) 3] 2
教学反思： 把同底数幂乘法与同底数幂相除进行比较，并且要把同底数幂乘法与同底数幂相除进行区分。
提取公因式
教学目的：
1. 在上节课的基础上，使学生进一步理解分解因式中，不仅可以表示单项式，也可表示多项式，并能熟练地找出公因式。
2. 通过公因式是多项式的多项式的因式分解，进一步培养学生整体思想、化归的数学思想。
教学重点：公因式是多项式的提取公因式法的因式分解。
教学难点：在确定公因式时的符号的变换。
教学过程：
一、复习提问:
1. 因式分解的定义，强调结论一定是积的形式。
2. 提取公因式法时，公因式及另一个因式的确定方法。
3. 通过讲评作业，进一步复习、巩固上节课所学内容。
4. 练习：P10 练习1。
二、新课讲解:
1. 引例：将进行因式分解。然后将替换成。
2. 例1：把分解因式。
分析：由引例可知，若设，这样就可将问题归结是公因式是单项式的因式，就可用提取公因式法进行因式分解，则原式可分解成，再将换回，就能对原式进行因式分解了。这种变换思想是整体变换的数学思想，在解一些数学问题中常常用到。
解：
3. 练习：把下列各多项式进行因式分解：
⑴
⑵
⑶
⑷
4. 结合所做的P10练习1，问：多项式是否有公因式？
答：如果将多项式中的第二项变为，则多项式就有公因式。
5. 例2：把分解因式。
分析：因为与只差一个符号，如果将变号，即，就有公因式。
解：
6. 例3：把分解因式。
分析：根据上节课所讲的公因式的确定方法及结合前面所讲的公因式也可为多项式的内容，可确定原多项式的公因式为。
解：
注意：一般情况下，括号为单重，若遇双重括号，应进行化简。
7. 例4：把分解因式。
分析：要找出多项式的公因式，关键在于的变形，在变形过程中，要特别注意符号的变化规律，即：。
解：
=
8. 练习：P10—11，练习2，3。
三、课堂小结：
1. 在运用提取公因式法进行因式分解时，首先要观察多项式的结构特点，确定公因式。当多项式各基的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可将这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式。当多基式的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。
2. 在提取公因式时，关键在于确定公因式。在确定公因式时，若系数是整数时为最大公约数；若系数是分数时为它们分母的最小公倍数；若首项符号为“－”时系数为负，目的是使另一个因式的所有系数为整数，且第一项为正，以利于下一步有可能进一步分解因式。
教学反思： 理解公因式的概念等，并且准确提取公因式进行因式分解。
运用“平方差公式”分解因式
一、教学目的和要求
1. 使学生进一步了解因式分解的意义，乘法公式和因式分解的区别与联系。
2. 使学生掌握平方差公式的特点，并能熟练地运用公式将多项式进行因式分解。
3. 进一步培养学生的逆向思维及转化的思想。
二、教学重点和难点
重点：掌握平方差公式的特点。
难点：准确熟练地运用公式把多项式分解因式。
三、教学过程
（一）复习、引入
提问：
1. 什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？（是一种互逆的运算）。
2. 上节课讲了哪种因式分解的方法？在分解时，要注意什么问题？（提取公因式法，要注意把公因式提干净，提出负号各项要变号）。
练习：把下列各式分解因式
1题提出公因式后，剩下的因式还可以分解吗？
（二）新课
我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用这种关系，可以得到因式分解的方法。
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法，今天我们研究公式中的一种。
板书“平方差公式”。
把乘法公式
反过来，就得到
这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
平方差公式特点是，等号左边项数二项，且符号相反，每项可以写成完全平方的形式，等号右边分解成两个因式，每个因式的第一项相等，第二项互为相反数。
下面我们举例说明，如何利用平方差公式分解因式：
注意：要先将每项都变为平方的形式，才可使用公式分解，值得指出的是：平方差公式中的字母不仅可以表示数，而且可以表示代数式。
例1 把下列各式分解因式
例2 把下列各式分解因式
分析：把各看成一个数，则符合平方差公式，可以因式分解。
看成是两数的平方差。
解：
注意：分解后的因式中的同类项要合并整理，合并后的多项式因式要使首项为正。
例3 把下列各式分解因式
分析：(1) 小题的两项不是平方差形式，但发现系数及字母都有公因式，提出公因式后则成为平方差形式，可以进一步分解。
注意：如果多项式的各项含有公因式，那么先提出这个公因式，再进一步分解因式，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（三）巩固练习
把下列各式分解因式
（四）小结
1. 利用平方差公式分解因式，首先要掌握好公式的特点。即项数－－2项，符号－－相反，次数－－偶数。要熟记1～20的平方数.
2. 有些多项式需要先提取公因式，然后再用公式法分解，注意一定要分解到使每个多项式因式都不能再分解为止。
3. 分解中易出现的错误是：
（1）系数不分解为平方数，如
（2）分解后的因式不整理，如：，还可提取公因式得到。
（五）作业
把下列各式分解因式
教学反思： 利用平方差公式进行因式分解，当公式里的a和b是多项式的时候，要会用整体思想。
运用完全平方公式分解因式
教学目标
1．使学生巩固地掌握用完全平方公式分解因式。
2．使学生学习多步骤、多方法的分解因式。
重点难点
重点：掌握多步骤、多方法的方法。
难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤、恰当地选用方法分解因式。
教学过程
1、 复习
1．提问：什么是完全平方公式法分解因式？
2．练习：把下列各式分解因式：
（1） x2y3–x3y2–xy；
（2） 9(a+b)2–(a–b)；
（3）(s+t)2–18(s+t)+81；
（4）x2y2–8xyz+16z2；
（5）a6–25a4；
（6）–10mn–25n2–m2。
以上6道题目的因式分解，有的是一个步骤完成的，如（1）、（3）、
（4）用完全平方公式法。有的要用两个步骤完成的，如（2）、（5）、（6）都先经过提公因式，再分别用平方差公式、或完全平方公式。还有的如（2），先用平方差公式，再用提公因式法提数字公因式。通过这几道题目的复习练习，我们要知道做因式分解的目的，首先，要有观察力，能发现多项式的公因式，会识别它可以用什么公式进行因式分解。其次，要将因式分解进行到底。只要因式中有多项式，而这个多项式还可以因式分解，包括有公因数我们就要把工作进行下去，直到因式的各项不能再分解为止。
2、 范例讲解
例6 把3ax2+6axy+3ay2分解因式。
[教学要点]让学生观察后发现：（1）这是一个三项式；（2）各项有公因式3a。其次，在提出公因式后，让学生继续发现括号内三项是一个完全平方式。因此，还可以用完全平方公式继续分解为二项式的平方。
例（补充）把–16x4y6+24x3y5–9x2y4分解因式。
[教学要点]让学生发现；（1）这是一个三项式；（2）各项有公因式x2y4；（3）为了适应完全平方公式的形式，各项还要变号，为此提一个含有“–”的公因式–x2y4：
–16x4y6+24x3y5–9x2y4
=–x2y4（16x2y2–24xy+9）
=–x2y4(4x–3)2。
例（补充）把(x2+y2)2–4x2y2因式分解。
[教学要点]（1）让学生发现原式是二项平方差。因此可用平方差公式分解因式；（2）用平方差公式分解因式后，两个因式都是三项式，它们又都是完全平方式，因此可继续用完全平方公式在分解。
(x2+y2)2–4x2y2
=[(x2+y2)+2xy][ (x2+y2)–2xy]
=(x+y)2(x–y)2。
学生易出现的错误是，在用平方差完成分解因式后，不再继续分解下去。因此要特别强调第二步的观察。让学生发现还可以用完全平方公式继续分解，否则不算做完这题。
3、 课堂练习（补充）
1．把下列各式分解因式：
（1）–4xy–4x2–4y2；
（2）3ab2+6a2b+3a3；
（3）(s+t)2–10(s+t)+25；
（4）0.25a2b2–abc+c2。
2．把下列各式分解因式：
（1）x2y–6xy+9y；
（2）2x3y2–16x2y+32x；
（3）16x5+8x3y2+xy4；
（4）(a2+3a)2 –(a–1)2。
四、作业设计
1．复习乘法的平方差公式，乘法的完全平方公式计算：
（1）(3m+2n)(2n–3m);
（2）(2a3–b2)(b2+2a3);
（3）(–a+2b)( –a–2b);
（4）(–4x–3)( 4x–3);
（5）(–b2+4a2)2;
（6）(t2+)2;
（7）(a+b)( a2–b2)(a–b);
（8）(a+2b–3)(a+2b+3)。
2．把下列各式分解因式：
（1）2a4b2–4a3b2+10ab4;
（2）16x4y–8x2y2;
（3）10(x–y)2–5(x–y)3;
（4）6(x–2)2+5(2–x);
（5）5(m–n)3+10(n–m)5;
（6）(a–1)+x2(1–a);
*（7）ab–(a2+b2);
（8）(x+y)2+4(x+y)z+4z2。
3．把下列各式分解因式：
（1）16x–x3;
（2）9(x+a)2+30(x+a)(x+b)+25(x+b)2;
（3）a3+4ab2–4a2b;
（4）–mn+2m2n–m3n;
*（5）(s2+2s)2–(2s+4t2)2;
*（6）(x2+y2)2–(y2+z2)2;
（7）(a–b)(a2–c2)+(b–a)(b2–c2);
（8）2(5m–17)2–128(m–1)2。
教学反思：区别平方差公式和完全平方公式，并会灵活应用它们进行因式分解。另外当公式中的a和b是一个多项式时，我们要会用整体思想。
注意
目标：1．掌握同底数幂的除法运算法则；
2．会正确的运用同底数幂除法的运算性质进行运算，并能说出每一步运算的依据
重难点：同底数幂的除法法则的推导及应用
练习导入：
1、 计算题：
１． ２．
３． ４．
①先认定是什么运算，再选择运算方法；
②整式加法、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是极易混淆的概念，计算时要特别小心.
２、一颗人造地球卫星运行的速度是7.9×103 m/s,一架喷气式飞机的速度是1．0×103 km/h.人造卫星的速度是飞机速度的倍？
新课导入：
做一做：
计算下列各式：
（1） ＝ ＝
（2）＝ ＝
（3）＝ ＝
（４）＝ ＝
你发现了什么？
同底数幂的除法法则的推导
当a≠0 , m 、n是正整数 , 且m ＞n时
归纳法则：
同底数幂的除法：
★ 。
例题：
（1）、 （2）、
（３）、 （４）、
如果将上题中的第四小问中的改为又该怎么计算了？
（５）
本节课开始的问题：
＝
课堂练习：
１、如果,则m,n的关系是( )
A、m=2n B、m=-2n C、m-2n=1 D、m-2n=1
２、计算：
（１）、 （２）、
（３）、 （４）、
（５）、 （６）、
（７）、 （８）、
（９）、
课后练习：
１、月球距离地球大约3.84 ×105千米，一架飞机的速度约为8×102千米/小时，如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？
２计算题：
（1） (a3 ．a2 ) 3÷(-a2 ) 2 ÷a２
（2） (x4 ) 2÷(x4 ) 2 (x2 ) 2 ·x2
（３）若 xm = 2 , xn = 5 ,
则xm+n = , xm-n =
（4）计算：
（5）计算：(ab ) 12÷[(ab ) 4÷(ab ) 3] 2
教学反思： 把同底数幂乘法与同底数幂相除进行比较，并且要把同底数幂乘法与同底数幂相除进行区分。
提取公因式
教学目的：
1. 在上节课的基础上，使学生进一步理解分解因式中，不仅可以表示单项式，也可表示多项式，并能熟练地找出公因式。
2. 通过公因式是多项式的多项式的因式分解，进一步培养学生整体思想、化归的数学思想。
教学重点：公因式是多项式的提取公因式法的因式分解。
教学难点：在确定公因式时的符号的变换。
教学过程：
一、复习提问:
1. 因式分解的定义，强调结论一定是积的形式。
2. 提取公因式法时，公因式及另一个因式的确定方法。
3. 通过讲评作业，进一步复习、巩固上节课所学内容。
4. 练习：P10 练习1。
二、新课讲解:
1. 引例：将进行因式分解。然后将替换成。
2. 例1：把分解因式。
分析：由引例可知，若设，这样就可将问题归结是公因式是单项式的因式，就可用提取公因式法进行因式分解，则原式可分解成，再将换回，就能对原式进行因式分解了。这种变换思想是整体变换的数学思想，在解一些数学问题中常常用到。
解：
3. 练习：把下列各多项式进行因式分解：
⑴
⑵
⑶
⑷
4. 结合所做的P10练习1，问：多项式是否有公因式？
答：如果将多项式中的第二项变为，则多项式就有公因式。
5. 例2：把分解因式。
分析：因为与只差一个符号，如果将变号，即，就有公因式。
解：
6. 例3：把分解因式。
分析：根据上节课所讲的公因式的确定方法及结合前面所讲的公因式也可为多项式的内容，可确定原多项式的公因式为。
解：
注意：一般情况下，括号为单重，若遇双重括号，应进行化简。
7. 例4：把分解因式。
分析：要找出多项式的公因式，关键在于的变形，在变形过程中，要特别注意符号的变化规律，即：。
解：
=
8. 练习：P10—11，练习2，3。
三、课堂小结：
1. 在运用提取公因式法进行因式分解时，首先要观察多项式的结构特点，确定公因式。当多项式各基的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可将这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式。当多基式的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。
2. 在提取公因式时，关键在于确定公因式。在确定公因式时，若系数是整数时为最大公约数；若系数是分数时为它们分母的最小公倍数；若首项符号为“－”时系数为负，目的是使另一个因式的所有系数为整数，且第一项为正，以利于下一步有可能进一步分解因式。
教学反思： 理解公因式的概念等，并且准确提取公因式进行因式分解。
运用“平方差公式”分解因式
一、教学目的和要求
1. 使学生进一步了解因式分解的意义，乘法公式和因式分解的区别与联系。
2. 使学生掌握平方差公式的特点，并能熟练地运用公式将多项式进行因式分解。
3. 进一步培养学生的逆向思维及转化的思想。
二、教学重点和难点
重点：掌握平方差公式的特点。
难点：准确熟练地运用公式把多项式分解因式。
三、教学过程
（一）复习、引入
提问：
1. 什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？（是一种互逆的运算）。
2. 上节课讲了哪种因式分解的方法？在分解时，要注意什么问题？（提取公因式法，要注意把公因式提干净，提出负号各项要变号）。
练习：把下列各式分解因式
1题提出公因式后，剩下的因式还可以分解吗？
（二）新课
我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用这种关系，可以得到因式分解的方法。
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法，今天我们研究公式中的一种。
板书“平方差公式”。
把乘法公式
反过来，就得到
这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
平方差公式特点是，等号左边项数二项，且符号相反，每项可以写成完全平方的形式，等号右边分解成两个因式，每个因式的第一项相等，第二项互为相反数。
下面我们举例说明，如何利用平方差公式分解因式：
注意：要先将每项都变为平方的形式，才可使用公式分解，值得指出的是：平方差公式中的字母不仅可以表示数，而且可以表示代数式。
例1 把下列各式分解因式
例2 把下列各式分解因式
分析：把各看成一个数，则符合平方差公式，可以因式分解。
看成是两数的平方差。
解：
注意：分解后的因式中的同类项要合并整理，合并后的多项式因式要使首项为正。
例3 把下列各式分解因式
分析：(1) 小题的两项不是平方差形式，但发现系数及字母都有公因式，提出公因式后则成为平方差形式，可以进一步分解。
注意：如果多项式的各项含有公因式，那么先提出这个公因式，再进一步分解因式，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（三）巩固练习
把下列各式分解因式
（四）小结
1. 利用平方差公式分解因式，首先要掌握好公式的特点。即项数－－2项，符号－－相反，次数－－偶数。要熟记1～20的平方数.
2. 有些多项式需要先提取公因式，然后再用公式法分解，注意一定要分解到使每个多项式因式都不能再分解为止。
3. 分解中易出现的错误是：
（1）系数不分解为平方数，如
（2）分解后的因式不整理，如：，还可提取公因式得到。
（五）作业
把下列各式分解因式
教学反思： 利用平方差公式进行因式分解，当公式里的a和b是多项式的时候，要会用整体思想。
运用完全平方公式分解因式
教学目标
1．使学生巩固地掌握用完全平方公式分解因式。
2．使学生学习多步骤、多方法的分解因式。
重点难点
重点：掌握多步骤、多方法的方法。
难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤、恰当地选用方法分解因式。
教学过程
1、 复习
1．提问：什么是完全平方公式法分解因式？
2．练习：把下列各式分解因式：
（1） x2y3–x3y2–xy；
（2） 9(a+b)2–(a–b)；
（3）(s+t)2–18(s+t)+81；
（4）x2y2–8xyz+16z2；
（5）a6–25a4；
（6）–10mn–25n2–m2。
以上6道题目的因式分解，有的是一个步骤完成的，如（1）、（3）、
（4）用完全平方公式法。有的要用两个步骤完成的，如（2）、（5）、（6）都先经过提公因式，再分别用平方差公式、或完全平方公式。还有的如（2），先用平方差公式，再用提公因式法提数字公因式。通过这几道题目的复习练习，我们要知道做因式分解的目的，首先，要有观察力，能发现多项式的公因式，会识别它可以用什么公式进行因式分解。其次，要将因式分解进行到底。只要因式中有多项式，而这个多项式还可以因式分解，包括有公因数我们就要把工作进行下去，直到因式的各项不能再分解为止。
2、 范例讲解
例6 把3ax2+6axy+3ay2分解因式。
[教学要点]让学生观察后发现：（1）这是一个三项式；（2）各项有公因式3a。其次，在提出公因式后，让学生继续发现括号内三项是一个完全平方式。因此，还可以用完全平方公式继续分解为二项式的平方。
例（补充）把–16x4y6+24x3y5–9x2y4分解因式。
[教学要点]让学生发现；（1）这是一个三项式；（2）各项有公因式x2y4；（3）为了适应完全平方公式的形式，各项还要变号，为此提一个含有“–”的公因式–x2y4：
–16x4y6+24x3y5–9x2y4
=–x2y4（16x2y2–24xy+9）
=–x2y4(4x–3)2。
例（补充）把(x2+y2)2–4x2y2因式分解。
[教学要点]（1）让学生发现原式是二项平方差。因此可用平方差公式分解因式；（2）用平方差公式分解因式后，两个因式都是三项式，它们又都是完全平方式，因此可继续用完全平方公式在分解。
(x2+y2)2–4x2y2
=[(x2+y2)+2xy][ (x2+y2)–2xy]
=(x+y)2(x–y)2。
学生易出现的错误是，在用平方差完成分解因式后，不再继续分解下去。因此要特别强调第二步的观察。让学生发现还可以用完全平方公式继续分解，否则不算做完这题。
3、 课堂练习（补充）
1．把下列各式分解因式：
（1）–4xy–4x2–4y2；
（2）3ab2+6a2b+3a3；
（3）(s+t)2–10(s+t)+25；
（4）0.25a2b2–abc+c2。
2．把下列各式分解因式：
（1）x2y–6xy+9y；
（2）2x3y2–16x2y+32x；
（3）16x5+8x3y2+xy4；
（4）(a2+3a)2 –(a–1)2。
四、作业设计
1．复习乘法的平方差公式，乘法的完全平方公式计算：
（1）(3m+2n)(2n–3m);
（2）(2a3–b2)(b2+2a3);
（3）(–a+2b)( –a–2b);
（4）(–4x–3)( 4x–3);
（5）(–b2+4a2)2;
（6）(t2+)2;
（7）(a+b)( a2–b2)(a–b);
（8）(a+2b–3)(a+2b+3)。
2．把下列各式分解因式：
（1）2a4b2–4a3b2+10ab4;
（2）16x4y–8x2y2;
（3）10(x–y)2–5(x–y)3;
（4）6(x–2)2+5(2–x);
（5）5(m–n)3+10(n–m)5;
（6）(a–1)+x2(1–a);
*（7）ab–(a2+b2);
（8）(x+y)2+4(x+y)z+4z2。
3．把下列各式分解因式：
（1）16x–x3;
（2）9(x+a)2+30(x+a)(x+b)+25(x+b)2;
（3）a3+4ab2–4a2b;
（4）–mn+2m2n–m3n;
*（5）(s2+2s)2–(2s+4t2)2;
*（6）(x2+y2)2–(y2+z2)2;
（7）(a–b)(a2–c2)+(b–a)(b2–c2);
（8）2(5m–17)2–128(m–1)2。
教学反思：区别平方差公式和完全平方公式，并会灵活应用它们进行因式分解。另外当公式中的a和b是一个多项式时，我们要会用整体思想。
注意