大连市 2022~2023学年度第二学期期末考试
高二数学
注意事项：
1.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
2.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列{an}中, a =1, a +a =18, 则{an}的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2.根据以下样本数据：
x 1 3 5 7
y 6 4.5 3.5 2.5
得到回归直线方程为y=bx+a，则( )
A. <0, b<0 B. >0, b>0
C. <0, b>0 D. >0, b<0
3.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题： “今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为( )
A. 5.51 B. 11.02 C. 22.05 D. 44.09
4.某企业有智能餐厅 A 和人工餐厅 B，员工甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去 A餐厅，那么第二天去 A 餐厅的概率为0.7； 如果第一天去 B 餐厅，那么第二天去 A 餐厅的概率为0.8.则员工甲第二天去A餐厅用餐的概率为( )
A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38
5.在 的展开式中常数项是( )
A. -120 B. 120 C. -20 D. 20
6.已知函数 (e为自然对数的底数)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的最小值为( )
A.1 B. C. e D. 2e
7.刚考入大学的小明准备向银行贷款 a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分 10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t.则小明每个月所要还款的钱数为( )元.
8.已知实数a, b, c∈(1,+∞),且 其中e为自然对数的底数，则( ) ·
A. a
C. b二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.下列说法中正确的是( )
A.在(1+x) 的展开式中，奇数项的二项式系数和为 64
B.已知事件A, B满足 P(A|B)=0.6, 且 则事件A与B相互独立
C.已知随机变量 X服从正态分布 N(3,1), 且P(2≤X≤4)=0.6826, 则P(X>4)=0.3174°
D.一个与自然数有关的命题，已知n=3时，命题成立，而且在假设 n=k(其中k≥3)时命题成立的前提下，能够推出n=k+1时命题也成立，那么n=90时命题一定成立，而 n=2时命题不一定成立
10.有甲、 乙、丙等6个人站成一排，则( )
A.共有120种不同的站法
B.如果甲和乙必须相邻，共有240种不同的站法
C.如果甲、乙、丙三人两两不相邻，共有144种不同的站法
D.如果甲不能站在首位，乙不能站在末位，共有480种不同的站法
11.已知函数f(x)=x -2x-2, 则( )
A. f(x)有三个零点
B. f(x)有两个极值点
C.点(0,-2)是曲线y=f(x)的对称中心
D.曲线y=f(x)有两条过点(-1,0)的切线
12.数列{an}满足 且n≥2),则( )
A.若a =1,则数列{an}是等比数列
B. 若 a ≠1,则数列 是等差数列
C. 若 a =2, 则数列{an}中存在最大项与最小项
D. 若1第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题5分，共 20分.
13.若离散型随机变量 且 则n= .
14.已知函数 e为自然对数的底数)的图象在点(0，f(0))处的切线与函数 g(x)=-x -x 的图象也相切，则该切线的斜率为 .
15.欧拉函数。 φ(n)(n∈N )的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如φ(1)=1, φ(3)=2, 数列{an}满足 若存在n∈N , 使得不等式 成立，则实数λ的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=lnx,若存在区间 (x ,x ),当x∈(x ,x )时, f(x) 的值域为( (kx ,kx ), 且[x ]+[x ]=4,其中[x]表示不超过x的最大整数，则k的取值范围为 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
设S 是公差不为0 的等差数列{an}的前n项和，已知 与 的等比中项为 且 与 的等差中项为
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 求数列{b }的前 n项和T .
18.(12分)
2023年世界乒乓球锦标赛决赛阶段比赛于 2023年5月20日至5月28日在南非德班国际会议中心举行，中国男女选手包揽了各项目的冠军，国球运动又一次掀起了热潮.为了进一步推动乒乓球运动的发展，增强学生的体质，某学校在高二年级举办乒乓球比赛，比赛采用了5局3胜制，每场 11分，每赢一球得 1分，比赛每方球员轮流发两球，发完后交换发球，谁先达到 11分谁获得该场胜利，进行下一局比赛.但当双方球员比分达到 10：10时，则需要进行附加赛，即双方球员每人轮流发一球，直至一方超过另一方两分则获得胜利.现有甲、乙两人进行乒乓球比赛.
(1)已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时乙得分的概率为 ，各球的结果相互独立，求该局比赛乙以11：9获胜的概率；
(2)已知在某场比赛中，第一局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X局比赛后比赛结束，求X的分布列与数学期望.
19.(12分)
已知函数 e为自然对数的底数), g(x)=2ln(x+l)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a0时, f(x)>g(x)+1-2ln2.
20.(12分)
某技术工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组： [50，60)，[60，70)，[70,80), [80,90), [90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图：
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率.
(2)规定日平均生产件数不少于 80件者为“生产技术能手”，请你根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”.
25周岁以上 25周岁以下
生产技术能手
非生产技术能手
(3)以样本中的频率作为概率，为了更好地了解该工厂工人日均生产量情况，从该厂随机抽取 20名工人进行一次日均生产量分析，若这 20名工人中有k名工人本次日均生产量在[80,90)之间的概率为P (0≤k≤20, k∈Z),求P 取得最大值时k的值.
附:
P(x ≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21.(12分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1是公差为 2的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若 数列{b }的前n项和为Tn,求证:
22.(12分)
已知函数f(x)=2cosx+ln(1+x)-1.
(1)判断函数f(x)在区间上零点和极值点的个数，并给出证明；
(2)若x≥0时,不等式f(x)≤ax+1恒成立,求实数a的取值范围.大连市 2022～2023 学年度第二学期期末考试
高二数学参考答案
一、选择题：
1．B 2．D 3. B 4. A 5．C 6. D 7. D 8. A
二、选择题：
9. BD 10. BC 11. BCD 12. ABD
三、填空题：
13. 4
14. 1
3
15. ( , )
64
ln3 1
16. ,
3 e
四、解答题：
17.解：(1)设数列{a }的公差为 d(d 0) . n
1 3 2 1 4 3 1 5 4
(3a1 + d) (4a1 + d) = [ (5a1 + d)]
2
3 2 4 2 5 2
由题意，得
1 3 2 1 4 3 5(3a1 + d) + (4a1 + d) = 2 ( ) 3 2 4 2 4
a1 = 5 a1 = 0解得 或 (舍)
d = 3 d = 0
所以数列{an}的通项公式为 an = 3n 8 …………………………………5分
1 1 1 1
(2) bn = = ( )
(3n 8)(3n 5) 3 3n 8 3n 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以Tn = [( ) ( )+ ( ) 1+1 + + + ]
3 5 2 2 4 3n 11 3n 8 3n 8 3n 5
1 1 1 n
= ( ) = …………………………………10分
3 5 3n 5 15n 25
18.解：(1)设事件 A为“该局比赛乙以 11：9获胜”
1 3 3 2则 P(A) =C (1 ) ( )2
3 2 2 2 13
2 + (1 ) (1 ) = . …………………………………6分
4 4 3 4 3 3 72
(2)随机变量 X 的所有可能取值为 2，3，4.
3 3 9
P(X = 2) = =
5 5 25
3 2 3 2 44
P(X = 3) =C1 32 + ( ) =
5 5 5 5 125
1 3 2 2 3 2 2 3 2 36P(X = 4) =C3 ( ) +C3 ( )
2 =
5 5 5 5 5 5 125
所以 X 的分布列为
X 2 3 4
9 44 36
P
25 125 125
…………………………………10分
高二数学参考答案 第1页 （共5页）
{#{QQABBQCAogCgAAIAARhCAQHgCgIQkAEACKgOgAAMIAIACRFABAA=}#}
9 44 36 294
E(X ) = 2 +3 + 4 = . …………………………………12分
25 125 125 125
x
19.解:(1)函数 f (x) = e ax的定义域为 R ，则 f (x) = ex a ， ………………………1分
当a 0 时 f (x) 0，故 f (x)在 R 上单调递增； …………………………………3分
当a 0时，令 f (x) 0 ， x ln a，令 f (x) 0，得 x ln a，
故 f (x)的减区间为 ( , ln a)，增区间为 (ln a,+ )． …………………………………6分
(2)若a e，则 f (x) ex ex，
x
设h(x) = e ex g(x) 1+2ln 2 ，
则h(x) = ex ex 2ln(x+1)+ x 1+2ln 2，
h (x) = ex
2
e +1，
x+1
又当 x 0 时，h (x)单调递增且h (1) = 0， ……………………………………9分
则当0 x 1时，h (x) 0，当 x 1时，h (x) 0，
故 h(x)的减区间为 (0,1)，增区间为 (1,+ )．
故h(x) h(1) = 0， ……………………………………11分
ex即 ex 2ln(x+1)+ x+1 2ln 2，
所以 f (x) g(x)+1 2ln 2． ……………………………………12分
注：其他解法，相应给分
300
20.（1）解：由题知，25周岁以上的工人抽取100 = 60人，其中日平均生产件数不足 60件的工人有
200+300
60 0.0050 10 = 3人，分别记为 A, B,C ；
200
25 周岁以下的工人抽取100 = 40人，其中日平均生产件数不足 60件的工人有40 0.0050 10 = 2人，
200+300
分别记为a,b； ……………………………2分
所以，从样本中日平均生产件数不足 60件的工人中随机抽取 2人，共有
(A, B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)共 10种情况；
其中，至少抽到一名“25周岁以下组”工人的情况有 (A,a) ,(A,b) ,(B,a) ,(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)，共 7种，
7
所以，所求事件的概率为P = ……………………………4分
10
（2）解：由题知，25周岁以上的工人抽中日平均生产件数不少于 80件的工人有60 (0.0050+0.02) 10 =15
人，少于 80件的工人有 45人，
高二数学参考答案 第2页 （共5页）
{#{QQABBQCAogCgAAIAARhCAQHgCgIQkAEACKgOgAAMIAIACRFABAA=}#}
25 周岁以下的工人抽中日平均生产件数不少于 80件的工人有40 (0.0325+0.0050) 10 =15人，少于 80 件的工
人有 25人 ……………………………6分
所以，有如下列联表：
25周岁以上 25 周岁以下
生产技术能手 15 15
非生产技术能手 45 25
2
100 (15 25 15 45) 25
所以， 2 = = 1.786 2.706
60 40 30 70 14
所以，没有 90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”. …………………8分
1
(3)从频率分布直方图可得样本中日均生产量在 80,90)的频率为0.2 0.6+0.325 0.4=0.25=
4
1
设在抽取的 20 名工人中，日均生产量在 80,90)的人数为 X ，则 X B(20, ) ，
4
1 3
所以 P(X = k ) =Ck k 20 k ， 20 ( ) ( )
4 4
Ck
1 k 3 20 k
P(X = k ) 20 ( ) ( )
设 t = = 4 4
21 k
= ，
P(X = k 1) Ck 1 1 3( )k 1( )21 k 3k20
4 4
当 t 1时， k 5.25，P(X = k 1) P(X = k)，
当 t 1时， k 5.25，P(X = k 1) P(X = k)，
所以当 k = 5时， P 最大. …………………………………12分 k
21.解：(1)因为 a1 = 2，所以 S = a = 2，3a1 2S1 = 21 1 ， …………………………………1分
又{3an 2Sn}是公差为 2的等差数列，
所以3an 2Sn = 2+ 2(n 1) = 2n， …………………………………………3分
故当n 2 时，3an 1 2Sn 1 = 2(n 1)，3an 3an 1 2Sn + 2Sn 1 = 2，整理得： an 3an 1 = 2 ，
即 an +1= 3(an 1 +1)，又 a a +1
n
1 +1= 3，所以 n 是以 3为首项，3为公比的等比数列，即an +1=3 ，
n
所以 an 的通项公式an = 3 1； …………………………………6分
a a +1 a b
(2)因为当 0 a b 时，有 = 0
b b+1 b(b +1)
因为3n = (1+ 2)n =1+C1n 2+C
2
n 2
2 + +Cn nn 2
n
所以3 1+ 2n （当且仅当 n =1时，等号成立）
2n 2n 2n +1
所以bn = =
a 3n 1 3n
n
3 5 7 2n +1
所以Tn + + +…+2 3 n ， ………………………………………8分 3 3 3 3
高二数学参考答案 第3页 （共5页）
{#{QQABBQCAogCgAAIAARhCAQHgCgIQkAEACKgOgAAMIAIACRFABAA=}#}
3 5 7 2n +1 1 3 5 7 2n +1
记Wn = + + +…+ W = + + +…+2 3 n ,则 n 2 3 4 n+1 , 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 1
(1 )
2 3 2 2 2 2 2n +1 32 3n 1 2n +1 4 1 2n +1 4Wn = + ( + + +…+ ) =1+ =
3 3 32 33 34 3n 3n+1 1 3n+1 3 3n 3n+1
，
3
1
3
所以Wn 2，Tn 2 . ……………………………………12分
22.解：(1) f (x)在 (0, )上只有一个极值点和一个零点.
2
1 1
证明如下： f (x) = 2sin x + ， f (x) = 2cos x
x +1 (x +1)2
当 x (0, ) 时， f (x) 0 所以 f (x)是单调递减函数
2
1 2
又 f (0) =1 0， f ( ) = 2+ = 2+ 0
2 +2
+1
2
所以存在唯一的 (0, )，使得 f ( ) = 0 ……………………………3分
2
所以当 x (0, )时， f (x) 0，当 x ( , ) 时， f (x) 0
2
所以 f (x)在 (0, ) 上单调递增，在 ( , )上单调递减
2
所以 为 f (x)的一个极大值点 ……………………………4分
因为 f (0) = 2 1=1 0 ， f ( ) f (0) 0， f ( ) = ln( +1) 1 0
2 2
所以 f (x)在 (0, ]上无零点，在 ( , )上有唯一零点；
2
所以 f (x) 在 (0, ) 上只有一个极值点和一个零点 ……………………………6分
2
(2)由 f (x) ax +1，得2cos x+ ln(1+ x) ax 2 0
令 g(x) = 2cos x+ ln(1+ x) ax 2 (x 0)，则 g(0) = 0
1
g (x) = 2sin x+ a ， g (0) =1 a
1+ x
①若a 1，则 a 1，当 x 0 时， ax x
1 x
令 h(x) = ln(x+1) x，则 h (x) = 1= ，
x +1 x +1
当 x 0时， h (x) 0，所以 h(x)在[0,+ ) 上单调递减，又 h(0) = 0
所以当 h(x) h(0)，所以 ln(x +1) x 0，即 ln(x +1) x
又 cos x 1 所以 g(x) 2+ x x 2 = 0
即当 x 0时， f (x) ax +1恒成立 ……………………………9分
②若0 a 1，因为当 x (0, )时， g (x)单调递减
2
高二数学参考答案 第4页 （共5页）
{#{QQABBQCAogCgAAIAARhCAQHgCgIQkAEACKgOgAAMIAIACRFABAA=}#}
1
且 g (0) =1 a 0 ， g ( ) = 2+ a 0
2
1+
2
所以存在唯一的 (0, )，使得 g ( ) = 0
2
当 x (0, )时， g (x) 0， g(x)在 (0, ) 上单调递增，不满足 g(x) 0恒成立；
③若a 0
4 4
因为 g(e 1) = 2cos(e 1)+ ln(e4) a(e4 1) 2 = 2 2cos(e4 1) a(e4 1) 0
不满足 g(x) 0恒成立；
综合所述，实数a的取值范围为[1,+ ) ……………………………12分
高二数学参考答案 第5页 （共5页）
{#{QQABBQCAogCgAAIAARhCAQHgCgIQkAEACKgOgAAMIAIACRFABAA=}#}