人教版数学八年级上册 第14章 整式的乘法与因式分：课题：14.2.1 平方差公式教案

课题：平方差公式
1．理解平方差公式，并能灵活运用公式进行计算．
2．通过了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
重点：平方差公式的运用．
难点：平方差公式的运用．
一、情景导入，感受新知
1．你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．计算：
(1)(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3；
(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9；
(3)(m＋n)(m－n)＝m2－n2．
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)教材P107探究：
1．计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x＋1)(x－1)＝x2－1；
(2)(m＋2)(m－2)＝m2－4；
(3)(2x＋1)(2x－1)＝4x2－1．
上面的几个运算都是形如a＋b的多项式与形如a－b的多项式相乘，由于
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2
∴对于具有此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
也就是说：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做平方差公式．
(二)阅读教材P107“思考”，认真思考，完成下面的填空：
观察教材P107“思考”中的图形，用两种方法求阴影部分的面积：
方法一：S阴影＝(a－b)(a＋b)，
方法二：S阴影＝(a)2－(b)2.
归纳：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．
②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．
③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
【合作探究】
例1：下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果：
(1)(2a－3b)(3b－2a)；
(2)(－2a＋3b)(2a＋3b)；
(3)(－2a－3b)(－2a＋3b)；
(4)(2a＋3b)(2a－3b)；
(5)(－2a－3b)(2a－3b)；
(6)(2a＋3b)(－2a－3b)．
【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方差公式．
解(1)(6)不能用平方差公式，(2)(3)(4)(5)可以用平方差公式．
(2)(－2a＋3b)(2a＋3b)＝(3b)2－(2a)2＝9b2－4a2.
(3)(－2a－3b)(－2b＋3b)＝(－2a)2－(3b)2＝4a2－9b2.
(4)(2a＋3b)(2a－3b)＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2.
(5)(－2a－3b)(2a－3b)＝(－3b)2－(2a)2＝9b2－4a2.
例2：利用平方差公式计算下列各题．
(1)(2x＋1)(2x－1)－3x2；
(2)(1－2x)(1＋2x)(1＋4x2)(1＋16x4)．
【分析】(1)中的乘法计算可用平方差公式；(2)应先进行(1－2x)(1＋2x)的计算．再逐步应用平方差公式求得结果．
解：(1)(2x＋1)(2x－1)－3x2＝4x2－1－3x2＝x2－1；
(2)(1－2x)(1＋2x)(1＋4x2)(1＋16x4)＝(1－4x2)(1＋4x2)(1＋16x4)＝(1－16x4)(1＋16x4)＝1－256x8.
①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．
②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．
③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．
四、课堂小结，回顾新知
阅读下列材料，回忆巩固平方差公式．
平方左公式的几何意义也就是利用图形来表示公式．如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图2)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
五、检测反馈、落实新知
1．填空：
(1)(a＋5)(a－5)＝a2－25；
(2)(2x＋3y)(2x－3y)＝4x2－9y2；
(3)(－3m－n)(3m－n)＝n2－9m2；
(4)(－1＋2x)(－2x－1)＝1－4x2．
2．计算：
(1)(a－3)(a2＋9)(a＋3)；
解：原式＝(a－3)(a＋3)(a2＋9)
＝(a2－9)(a2＋9)
＝a4－81；
(2)59.82－60.22.
解：原式＝(59.8＋60.2)(59.8－60.2)
＝120×(－0.4)＝－48.
3．先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
六、课后作业：巩固新知
(见学生用书)