2023-2024学年数学人教版九年级上学期21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教学设计（表格式）

课题：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学 科：数学 执教教师：
执教班级：901 课时安排： 1个课时
教材分析 《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4的内容,一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具, 是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
学情分析 从学生心理特征来看，他们有一定的分析问题、归纳问题的能力。因此本节课，注重激发学生的求知欲，让他们真正成为学习的主人。所以在教学中我抓住这些特点一方面运用色彩绚丽的图片课件，激发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，我创造机会和条件，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，充分体现新课程所倡导的以学生为本的理念。
教学目标 1、让学生在理解的基础上理解并掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系解决待定字母及代数式求值问题； 2、通过韦达定理的学习，使学生经历观察、发现、猜想、证明等数学活动过程，进一步培养学生的创新意识和创新精神； 3、通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重难点 重点：一元二次方程根与系数关系。
难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，能运用根与系数的关系解决待定字母及代数式求值问题。
教学方法 讲授法、讨论法、启发法
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习回顾 思考并回答: 一元二次方程的一般形式 2、一元二次方程有实数根的条件 是什么 3当Δ>0，Δ=0，Δ<0根的情况如何 4、一元二次方程的求根公式是什么 教师强调: 第一个问题要注意条件“a≠0” 学生复习四个问题，交流各自的想法，并回答问题。 以问题串的形式，引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，为后面的学习作好铺垫。
情景引入 提出问题: 悟空和八戒在解一道题“若一元二次方程6x2+x-2=0的两根是x1，x2则x1+x2与x1x2的值分别是多少 ”当八戒苦思冥想时，悟空却随口就说出答案。你知道悟空是用什么诀窍计算出来的吗 本节课我们一起来探究“根与系数的关系”，了解这其中的秘诀! (板书) 学生动笔完成求解过程，并求出两根之和与两根之积。 达到抛砖引玉的效果，激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引出本节课要学习的课题.
探究新知 寻找规律，猜想公式 教师:检查学生完成情况，请三位学生代表完成表格，随后让学生根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根 x1，x2与a、b、c之间的关系. 请同学们分组完成这三个方程的求解，第一组第二组解第一个方程，第三、四组解第三个方程，三分钟后我找同学回答。(第二个方程在情景引入环节已解) 在复习旧知的基础上，学生很快完成表格，鼓励学生敢于发表自己的看法。在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律.
(二)合作探究，验证公式 刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系,那么是不是所有的一元二次方程根与系数都存在这样的关系呢 , . 教师:你能证明上面的猜想吗 请证明，并用文字语言叙述说明。 推导一: 教师提示:公式法是万能法，可 借用求根公式推导。学生尝试在 练习本上作出推理证明，教师引 导，点拨，随后课件展示推理过 程。 推导二: 师:如果不用求根公式，你能用其他方法证明一元二次方程两根和，两根积与方程系数的关系吗 学生思考，畅所欲言。如果想不到，教师就提示: 方程的二次项系数可以化为1，得: 由于方程有两根、，由因式分解法知，方程可以化为,去括号整理得，对比两个方程即可得出。 归纳总结： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个根x1，x2，那么 , . 教师板书公式，达成共识. 解决问题: 解决“情景引入”环节的疑惑。 悟空和八戒在解一道题“若一元二次方程6x2+x-2=0的两根是x1，x2则x1+x2与x1x2的值分别是多少 ”当八戒苦思冥想时，悟空却随口就说出答案。你知道悟空是用什么诀窍计算出来的吗 学生观察，思考，发现问题，小组讨论解决问题，并尝试在练习本上作出推理证明。 学生思考，畅所欲言。 推导二学生可能想不到，教师可做引导，点拨，学生动手尝试，对比两个方程，得出关系。 有了公式做保障，这个问题学生很快得到解决。 采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动 手、动脑、又动口，提高学生参与度。 两种不同的推理证明，从不同的方向验证了公式的准确性，说服力强。鼓励学生在独立思考的同时积极投入到研讨中来。培养学生分析问题，解决问题的能力。 疑惑的解决，增强学生自信心，调动学生积极性，提高了学生参与度，活跃课堂气氛。
尝试发展 尝试题1:根据根与系数的关系写 出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1、x2，k是常数) ， . ， . ， . ， . 学生迅速演算或口算. 尝试题2:若一元二次方程2x2-3x +5=0的两个根分别为、，利用根与系数的关系求下列各式的值。 ； ； ; . 尝试题3:方程的一根为1，求它的另一个根及k的值. 抢答形式，看谁回答的又快又准。 强调:第(3)小题要先将方程化为一般形式再进行计算，(学生先回答，发现问题后再强调) 小组合作交流，需明确现将代数式变形，转化为两根和与积的形式后再代值.每组各请一位学生代表板演，其他学生在课堂练习本上完成。 学生自己独立完成, 老师投屏两种不同的解题思路。通过对比，学生明确此类题的最佳解法，简化计算。 在“练中学”，训练的不仅是思维，更是运算技能的培养。 引导学生及时巩固本节所学的新知，培养学生思维严谨性和批判性. 体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。
拓展训练 已知关于x的方程x2+(2k-1)x +k2-1=0有两个实数根x1、x2，若 ，求k 的值， 学生独立完成，同桌交换批阅，教师讲解，发现错误率较高，教师强调“验根”的必要性。 2.利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和-3. 学生在先做后纠的情况下完成练习，记忆深刻，“验根”需牢记。 问题的难度逐渐增大，让学生体会到了这一公式可以巧妙的用于求根、验根、简化计算等，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷。
感悟收获 （1）一元二次方程根与系数的关系是什么 （2）我们是如何得到根与系数的关系的？ 回答：若一元二次方程ax + bx +c = 0 (a≠0)的两个根x1、x2和系数 a，b，c 有如下关系： 回答：研究方法有 特殊------ 一般 未知 -------已知 通过小结使学生梳理本节所学内容，把握本节课的核心，并体验教学活动充满着探索性与创造性。
布置作业 课堂作业：课本17页第4题 ； 家庭作业：完成基础训练本课时。