2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
3. 在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，若质点移动次之后又回到原点，则该质点移动的轨迹有种．( )
A. B. C. D.
5. 甲、乙、丙、丁、戊、己共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次，已知甲不是第名，乙既不是第名也不是第名，则这人的名次排列可能有种不同的情况( )
A. B. C. D.
6. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集组数据，作如图所示的散点图若去掉后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数变小 B. 决定系数变小
C. 残差平方和变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强
7. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
8. 现有两种卡片和若干两种卡片大小形状完全一致，只有上面的字母不同，安排部分同学每人随机抽取两张卡片，则抽出的三种情况，，的近似比为：：，如果任选两名抽取了卡片的同学，并从这两名同学手中各抽取张卡片，那么抽到的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题正确的是( )
A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强
B. 已知由一组样本数据得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
C. 在回归分析中，相关指数越大，说明回归效果越好
D. 已知，若根据列联表得到的观测值为，则根据小概率值的独立性检验认为两个分类变量有关
10. 已知当随机变量时，随机变量也服从正态分布若，，则下列结论正确的是( )
A. 为定值
B.
C. 当减小，增大时，减
D. 当，都增大时，增大
11. 设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D. 若，则
12. 设随机变量，，则下列说法正确的是( )
A. ，服从二项分布
B.
C. 当且仅当时，取最大值
D. 使成立的实数对共有对
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数满足，则，则 ______ ．
14. 的展开式中，含项的系数是______ 用数字表示．
15. 甲、乙两人向同一目标各射击次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中次，则甲命中目标的概率为______ ．
16. 设数列为等比数列，且每项都大于，则值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知：，求；
解不等式：，其中．
18. 本小题分
年月日，神州十六号载人飞船在长征二号运载火箭的托举下，在酒泉卫星发射中心成功发射，神州十六号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功某校组织学生观看了火箭发射的全过程，并对其中名学生进行了“航空航天”问卷调查，其中被调查的男女学生比例为：近两个月关注“航空航天”信息达次及以上者为航天关注者，未达到次的为非航天关注者，得到如下等高条形图．
航天关注者 非航天关注者 合计
男
女
合计
完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天关注者”与性别有关联？
从名学生中按男女比例进行分层抽样，随机抽取名学生，再从这名学生中随机抽取人进行座谈记被抽取的名学生中男生的人数为随机变量，求的数学期望和方差．
附其中．
19. 本小题分
已知各项均为正数的数列满足：，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项的和．
20. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，求证：．
21. 本小题分
某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表．
年份
年份代码
新建社区养老机构
已知两个变量与之间的样本相关系数，请求出关于的经验回归方程，并据此估计年即时，该地区新建社区养老机构的数量；结果按四舍五入取整数
若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？结果按四舍五入取整数
参考公式与数据：
，
若随机变量，则，，
，
22. 本小题分
某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关．
闯关选手依次挑战第一位闯关选手开始第一轮挑战若第位选手在分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战．
若第位选手在分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关若该选手在分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战．
闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关．
令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关．
求随机变量的分布列；
若把闯关规则去掉，换成规则：闯关的选手先闯第一关，若有选手在分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关．
令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关．
(ⅰ)求随机变量的分布列
(ⅱ)证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：等比数列中，设它的公比为，则根据，，
可得，则．
故选：．
由题意，利用等比数列的通项公式，计算求得结果．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，
．
故选：．
根据题意，由分布列，由此计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列，注意分布列中概率的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在的展开式中，
的系数为，
故选：．
由题意可得，的系数等于各个因式的根之和，计算求得结果．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：质点移动次之后又回到原点，说明次移动过程中有次向右次向左移动，
即．
故选：．
根据组合数的定义直接进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用组合数公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：乙既不是第名也不是第名，
乙可能是，，，，四种位置选一个，则甲可能从乙剩余个名次和第，种情况，选个，剩余人进行全排列，
则有种不同的情况．
故选：．
利用元素优先法进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法或位置优先法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由散点图知，去掉点后，与的线性相关性加强，
则相关系数变大，A错误，
相关指数变大，B错误，
残差平方和变小，C错误，
解释变量与预报变量的相关性变强，D正确．
故选：．
由散点图知，去掉离群点后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系求解即可．
本题考查两个变量相关性强弱的判断：涉及相关系数，相关指数及残差平方和，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，而，即，
设，则时，，
故时，单调递减，故，
即时，，于是，
故．
故选：．
根据自然底数值可比较，的大小，借助函数可比较，的大小．
本题主要考查对数值大小的比较，考查导数的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据，，的近似比为：：，可知抽取卡片的同学手里抽到，，的近似比为：：，
记两名同学抽到，，分别为事件，，和，，，
且，，，
从两名同学手中各抽取张卡片，抽到和分别为事件，和，，
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，
此时抽到的概率为，
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，
此时抽到的概率为，
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，
此时抽到的概率为，
当第一名同学手里的卡片为，第二名同学手里的卡片为时，
此时抽到的概率为，
所以抽到的概率为．
故选：．
利用古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，
，乙组数据的线性相关性更强，故A正确；
回归直线方程为，，则，
即样本点的中心的坐标为，这组样本数据中不一定有，故B错误；
在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，说明回归效果越好，故C正确；
已知，若根据列联表得到的观测值为，
则根据小概率值的独立性检验认为两个分类变量有关，故D正确．
故选：．
由相关系数绝对值的大小判断；由线性回归方程的性质判断；由相关指数的大小与回归效果间的关系判断；由独立性检验判断．
本题考查线性回归方程及独立性检验，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对任意正态分布，，则，可知A正确；
由于，结合正态分布的对称性可得，
可知B正确；
已知正态分布，对于给定的，
是一个只与有关的定值，所以、D错误．
故选：．
根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误．
本题考查正态分布的对称性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项，，A正确；
选项，，相互独立时，，B错误；
选项，由全概率公式可得，C错误；
选项，，则，，，则，D正确．
故选：．
根据条件概率公式可判断；根据相互独立事件的定义判断；根据全概率公式可判断；根据包含事件的关系可判断．
本题考查条件概率，考查全概率公式，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，随机变量，，则，服从二项分布，A正确；
对于，随机变量，则，B正确；
对于，随机变量，有，即当或时，取最大值，C错误；
对于，随机变量，
则，，，
，，，
，，，
，
则，，，
，，，
，，，
其中满足的有、、、、、、、
、、、，共对，D正确．
故选：．
根据题意，由二项分布的定义可得A正确，由于，计算可得B正确，由二项分布概率的性质可得C错误，分析、的分布列，比较可得D正确，综合可得答案．
本题考查二项分布的性质以及应用，涉及概率的计算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
则，
令得，，
解得，
，
．
故答案为：．
先求出，令可求出的值，进而得到的解析式，求出的值即可．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：的展开式中，
含项的系数是．
故答案为：．
利用二项式定理展开二项式，找出含有的项，即可求得项的系数．
本题考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设甲命中目标为事件，目标至少被命中次为事件，事件包括甲命中乙不命中，甲不命中乙命中、甲乙都命中，
则，则．
故答案为：．
设甲命中目标为事件，目标至少被命中次为事件，由条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，由题意可知，
则原式，
又
，
，
所以原式．
故答案为：．
由题意可知数列公比大于，设，代入原式进行化简即可．
本题主要考查等比数列的相关性质及对数的运算，属中档题．
17.【答案】解：对原式展开得，
化简得，
即，
解得或舍去，
所以；
由题意得，
化简得，
即，
解得，
因为且，
所以或，
所以不等式的解集为
【解析】根据定义对等式进行展开而后求解；
根据定义对等式进行展开而后求解．
本题主要考查排列组合的公式运算，属中档题．
18.【答案】解：依题意得列联表如下：
航天关注者 非航天关注者 合计
男
女
合计
，
所以根据小概率值的独立性检验，认为“航天关注者”与性别无关．
由题意，这名学生中男生人，女生人，
的可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
，
．
【解析】根据题意完成列联表，求得，即可得出结论；
求得的可能取值及对应概率，根据期望和方差的公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查独立性检验，是中档题．
19.【答案】解：由题意，当时，，
则，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
故数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
当为奇数时，令，则，
此时，
当为偶数时，令，则，
此时，
．
由题意及，
可得数列的前项和为：
．
【解析】先将代入题干递推公式计算出值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，偶数项是以为首项，为公差的等差数列，然后分为奇数与偶数两种情况分别推导出通项公式，最后综合两种情况即可得到数列的通项公式；
根据题意及第题的结果运用分组求和法，以及等差数列的求和公式即可计算出数列的前项的和．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，换元法，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：易知，则切点坐标为，
又，
则，即切线的斜率为，
所以切线方程是，即；
证明：设，
则，
令，
则，
在上单调递减，在上单调递增．
则，
，在上单调递增．
，
即时，成立．
【解析】对函数求导，再根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可得解；
构造函数，利用导数可知在上的单调性，由此容易得证．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：，
，，
由，
得，
，
，，
则．
关于的线性回归方程，
当时，，
估计年该地区新建社区养老机构的数量为个；
由题可知，．
估计该地参与社区养老的老人有人．
估计该地参与社区养老的老人约有人．
【解析】由已知求得结合相关系数求得，进一步求得与的值，可得线性回归方程，取求解值即可；
由已知求得的值，结合题意即可求得该地参与社区养老的老人数．
本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】解：由题意得，的可能取值为，，，，
，，，，
所以的分布列为：
，第人必答对第二题，
前面人都没有一人答对第一题的概率为，
前面人有一人答对第一题的概率为，
故，
当时，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故，
故的分布列为：
证明：，
，
故E，
求得，
故E，
，
，
得，，
故E．
【解析】求得的可能取值及对应概率，即可求得分布列；
求得的可能取值及对应概率，即可求得分布列；
求得，先判断单调性，再利用错位相减和放缩法证明即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
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