2022-2023学年天津重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 若，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6. 已知为函数的极小值点，则的极大值为( )
A. B. C. D.
7. 函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8. 第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，甲、乙等名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 书包中装有大小相同的本数学书和本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为( )
A. B. C. D.
10. 若函数有两个极值点，，且，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 是虚数单位，则复数 ______ ．
12. 若，则______
13. 若，则 ______ ．
14. 一个盒子里装有大小相同的个黑球，个红球，个白球，从中任取个，其中红球的个数记为，则 ______ ．
15. 已知函数存在减区间，则实数的取值范围为______ ．
16. 给图中、、、、、六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有种颜色可供选择，则共有______种不同的染色方案．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，．
当时，求函数的极值；
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
18. 本小题分
为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”篮球比赛，甲、乙两队进入决赛规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规次以上的概率为．
求甲队第二场比赛获胜的概率；
用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；
已知球员在第一场比赛中犯规次以上，求甲队比赛获胜的概率．
19. 本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
比较与的大小，并加以证明．
20. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项；
求证：，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合的运算，考查转化思想，属于基础题．
求出集合，中的元素，求出，的交集即可．
【解答】
解：，
，
则，
故选：．

2.【答案】
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，
由命题：，，
可得为：，．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由得或，
即“”是“”的充分不必要条件，
故选：

4.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为，
则，，
从而的展开式中的系数为．
故选：．
求出的展开式的通项，再令的指数等于和，即可得解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为的导数为，
所以．
因为，所以曲线在点处的切线方程为，
即．
故选：．
求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得所求切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数的导数，
由题意得，，即，．
，，
由，得或；，得，
故取极小值，取极大值，且为．
故选：．
求出导数，由题意得，，解出，再由单调性，判断极大值点，求出即可．
本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：定义域为，
因为，
所以为偶函数，
不妨只研究的函数图象，此时，
所以，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
只有选项C符合题意．
故选：．
根据函数奇偶性的概念可判断为偶函数，于是可只研究的函数图象，利用导数，求出函数的单调区间，即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性，考查数形结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：游泳场地安排人，则不同的安排方法有种，
游泳场地只安排人，则不同的安排方法有种，
所以不同的安排方法有种．
故选：．
本题只需考虑游泳场有名志愿者和名志愿者两种情况即可．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书，
则．
故选：．
根据条件概率公式可求出结果．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由函数，可得，
因为函数存在两个极值点，，所以，是方程的两个正根，
即的两个正根为，．
所以，即，
所以，
，
所以，可得，因为，所以．
故选：．
利用函数的导数，结合函数的两个极值，推出的范围，利用函数的极值的和，转化求解即可．
本题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：令，可得；
令，可得，
即 ；
令，可得，
即 ，
将和相加可得，，
所以，
所以．
故答案为：．
利用特殊值法，令，，，将所得结果进行运算可得解．
本题考查二项式定理系数的关系，属于一般基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
则，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解．
本题主要考查组合数、排列数的公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，则．
故答案为：．
由题意可知随机变量，根据二项分布的期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得函数定义域为，且，
函数存在减区间，
在上有解，即有解，
令，则，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
有解，
，解得，
故实数的取值范围为
故答案为：
由题意得函数定义域为，且，题意转化为在上有解，即有解，构造函数，则，求出的最小值，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，该题是中档题．
【解答】
解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有种方案不同色或不同色或不同色，先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．
故答案为．
17.【答案】解：当时，，
则，
令，得，令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数的极大值为，无极小值；
，
当时，，则是增函数．
当时，，则是减函数，
的最大值为，
恒成立，
，
解得，
的取值范围为．
【解析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
利用导数求出函数的最大值，依题意可得，解得即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：设为“第场甲队获胜“，为“球员第场上场比赛“，，，，
根据全概率公式可得
；
由题意可得，，
又，由知，
，，
，
，
；
，此时，
所求概率为：
．
【解析】根据全概率公式，即可求解；
由题意可得，，从而再根据对立事件的概率与独立事件的概率公式，数学期望的概念，即可求解；
根据对立事件与独立事件的概率公式，条件概率公式，即可求解．
本题考查全概率公式，对立事件的概率公式，离散型随机变量的期望的求解，属中档题．
19.【答案】解：，
令，得，；
令，得或；
令，得．
故在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增．
．
证明如下：
设，为增函数，
可设，，，．
当时，；当时，．
，
又，，
，
，，
，．
【解析】求出函数的导数，解关于函数的导数，求出函数的单调区间即可；
设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而证明结论．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．
20.【答案】解：已知，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；在上单调递减；
证明：因为若函数有两个零点，
由知时满足条件，
因为，
所以曲线在和处的切线分别为：
：，
联立，
解得，
要证小于和的等差中项，
需证，
即证，
因为，
所以，
整理得，
要证，
即证，
令，，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递减，
此时，
故小于和的等差中项；
证明：不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
则在上恒成立，
此时，当且仅当时等号成立，
令，
代入上式可得：，
即，
所以
，
综上，，．
【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可；
结合导数的几何意义求出曲线在和处的切线，联立求出的表达式，将问题转化成求证，根据，得到，此时求出即可，利用换元法，令，，即证，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求证；
先求证成立，再利用的结论进行求证即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
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