2022-2023学年天津市西青区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市西青区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 解一道数学题有三种方法，有个人只会用第一种方法解答有个人只会用第二种方法解答，有个人只会用第三种方法解答，从这个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 下列函数求导正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知随机变量的分布列为，则实数( )
A. B. C. D.
4. 某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演现从歌唱祖国我的未来不是梦爱拼才会赢走进新时代这首独唱歌曲和光荣啊，中国共青团我爱你中国这首合唱歌曲中共选出首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5. 一颗骰子连续掷两次，设事件为“两次的点数不相等”，为“第一次为奇数点”，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为( )
A. B.
C. D.
7. 在的展开式中共有项，则下列叙述中正确的结论个数为( )
二项式系数之和为；
各项系数之和为；
二项式系数最大项为第四项；
的系数为．
A. B. C. D.
8. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是( )
A. 在儿子身高关于父亲身高的经验回归方程中，若父亲身高每增加，其儿子身高平均增加约
B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线
C. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于
D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为和，则模型乙的拟合效果更好
9. 已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
10. 已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 函数在点处的切线方程为______ ．
12. 已知随机变量服从两点分布，，则 ______ ，若随机变量，则 ______ ．
13. “碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”，某“碳中和”研究中心计划派名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派特名专家则分派方法的种数为______ 用数字作答
14. 的展开式中，常数项为______．
15. 主人出差，委托邻居浇水，设已知如果浇水，则树活着的概率为；如果不浇水，树活着的概率为，邻居很善于助人，有的把握确定邻居记得浇水那么主人出差回来树还活着的概率为______ ．
16. 已知函数是自然对数底数在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
今年是中国共产党建党周年，为庆祝中国共产党成立周年，某高中决定在全校约名高中生中开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，设置一、二、三等奖若干名，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了名学生作为样本，统计这名学生的获奖情况后得到如下列联表：
没有获奖 获奖 合计
选修历史
没有选修历史
合计
附：
参考公式：
Ⅰ完成上面列联表，并依据的独立性检验，能否认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；结果保留一位小数
Ⅱ从选修历史且获奖的学生中选取名男生和名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这名学生中随机选取人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望．
18. 本小题分
已知函数在处有极值．
Ⅰ求的值并判断是极大值点还是极小值点；
Ⅱ求函数在区间上的最值．
19. 本小题分
随着中国羽毛球队第次捧起苏迪曼杯，年世界羽毛球混合团体锦标赛在月日落下帷幕国家羽毛球队在面对东道主和卫冕冠军的双重压力下，多次面临困境，一度濒临绝境但最终都战胜了对手，站上了冠军领奖台，展现了队员们强大的心理素质和永不放弃、顽强，拼搏的中国精神，队员们圆梦经历也告诉我们：人生中会遇到很多逆境，只要逆境中坚定信心，永不放弃，一切皆有可能，就会有奇迹发生精彩的苏迪曼杯羽毛球比赛激发了某校同学们参加，羽毛球活动的热情，甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，若采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
Ⅰ求甲以：的比分获胜的概率；
Ⅱ设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望．
20. 本小题分
已知函数，且
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ当时，证明：；
Ⅲ，若在上恒成立，求实数取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据分类加法计数原理得：
不同的选法共有种．
故选：．
利用分类加法计数原理计算即可．
本题考查排列组合，考查学生的推理能力，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：对于，，A错误；
对于，，B错误；
对于，，C错误；
对于，，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数导数的计算，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：随机变量的分布列为，
，
解得实数．
故选：．
由随机变量的分布列的性质得：，由此能求出实数．
本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：先排最后一首歌有，然后从剩余个歌曲中，选个进行排列，则共有种．
故选：．
根据位置优先法，进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用位置优先法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题知，事件出现的情况有种，事件，同时出现的情况有种，
所以，，．
故选：．
根据已知条件先分析事件对应的情况数，然后分析事件，同时发生的情况数，由此求解出，的值，再根据公式求解出结果．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由的图象可知，函数先单调递增的速度由快到慢，再由慢到快，
由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于，
故符合题意的只有选项A．
故选：．
利用函数先单调递增的速度由快到慢，再由慢到快，结合导数的几何意义，判断即可．
本题考查了函数图象的识别，主要考查了函数与导数之间关系的应用，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在的展开式中共有项，，．
故二项式系数之和为，故错误．
令，可得各项系数之和为，故正确．
根据可得，当时，二项式系数最大，即第四项的二项式系数最大，故正确．
在通项公式中，令，求得，可得的系数为，故正确．
故选：．
由题意，利用二项式定理，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对于，父亲每增加，则儿子身高平均值增加约，故A正确，
对于，确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误，
对于，相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故C错误，
对于，是描述拟合效果的，越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D错误．
故选：．
根据回归方程的意义，逐项分析理解即可．
本题主要考查回归方程的意义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，
，
因为对任意的，都有，
所以对任意的，都有，
所以对任意的，都有，单调递增，
不等式可化为，进而可得，
所以，
所以，
故选：．
令，求导分析单调性，不等式可化为，进而可得，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，
，
则函数在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，随机变量服从两点分布，，
而，解可得，
若随机变量，则．
故答案为：；．
根据题意，由两点分布的性质可得，解可得的值，可得第一空答案，结合二项分布的性质可得第二空答案．
本题考查随机变量的期望，涉及两点分布、二项分布的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：人选人组，有种，然后进行全排列有种，
故答案为：．
将名专家分成组，其中有组有人，然后进行排列即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用先分组后排列的方法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
常数项为，
故答案为：．
把按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，邻居浇水树死的概率为，
邻居不浇水树死的概率为，
则树死亡的概率为，
那么主人出差回来树还活着的概率为．
故答案为：．
根据概率乘法公式求解即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，考查学生计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，由，可得，
当时，由，可得，
令，，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以当时，在区间上有两个零点，
由于在上有三个零点，
所以，解得．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
由的取值范围进行分类讨论，结合在上有三个零点以及导数，求得的取值范围．
本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ列联表：
没有获奖 获奖 合计
选修历史
没有选修历史
合计
则，
故依据的独立性检验，能认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；
Ⅱ若从选修历史且获奖的学生中选取名男生和名女生，
再这名学生中随机选取人，
可得男生宣讲员人数的所有取值为，，，
此时，，
故的分布列为：
则．
【解析】Ⅰ由题意，得到列联表，代入公式中即可求出的值，再将其与临界值进行比较即可得到答案；
Ⅱ得到的所有取值以及相对应的概率，进而得到分布列，根据数学期望公式进行求解即可．
本题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查了逻辑推理和运算能力．
18.【答案】解：Ⅰ，
若函数在时取得极值，
则，解得：，
时，，
令，解得：或，
令，解得：，
在递增，在递减，在递增；
是极小值点．
Ⅱ由Ⅰ得：，
在递减，在递增，
在最小值是，的最大值是．
【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出的值，从而求出函数的单调区间即可；
Ⅱ求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．
本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是中档题．
19.【答案】解：Ⅰ甲以：的比分获胜，则甲在前局胜局输局，第局胜利，
概率为：；
Ⅱ可能的取值为，，，
；
的分布列为：


．
【解析】Ⅰ甲以：的比分获胜，说明前局胜局输局，第局胜利，根据独立事件的乘法公式计算；
Ⅱ比赛可能打，，局才结束，分别根据独立事件的乘法公式计算分别的概率，然后再算期望．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ，，
，
当时，，单调递增，
当时，令得或舍去，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ证明：当时，，，
要证明，
需要证明，
令，，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
所以，
所以，得证．
Ⅲ，
若在上恒成立，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
【解析】Ⅰ求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．
Ⅱ当时，，，要证明，即证明，令，，求导分析单调性，最值，即可得出答案．
Ⅲ根据题意可得，若在上恒成立，则在上恒成立，在上恒成立，令，，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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