2022-2023学年重庆市长寿区高二（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

2022-2023学年重庆市长寿区高二（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数( )
A. B. C. D.
2. 某射击运动员连续射击次，命中环数如表：
命中球数
频数
则这组数据的中位数和众数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
4. 某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取人进行调查，已知该校高一年级学生有人，高二年级学生有人，高三年级学生有人，则抽取的学生中，高三年级有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
5. 的内角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6. 对于任意实数，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 袋子中有个大小相同的球，其中红球个，白球个，依次从中不放回的取球，若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是( )
A. B. C. D.
8. 在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
9. 已知是的边上的点，且，则向量( )
A. B. C. D.
10. 已知圆台上、下底面的直径分别为和，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 设集合，，则 ______ ．
12. 为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班名学生进行了问卷调查，得到如表的列联表：
爱运动 不爱运动 合计
男生
女生
合计
则 ______ ， ______ ．
13. 若函数且，则函数恒过定点______ ．
14. 已知正实数，满足，则的最小值等于______ ．
15. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知向量．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
17. 本小题分
已知函数．
若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
若对一切实数都成立，求实数的取值范围．
18. 本小题分
某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生名女生，现从中选人去参加一项活动．
求选出的人中，恰有名男生的概率；
用表示选出的人中男生的个数，求的分布列．
19. 本小题分
若函数．
求函数的最小正周期；
若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．
20. 本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，，，分别为和的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
若，求二面角的平面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由已知该运动员射中环次，环次，环次，环次，
射中环的次数最多，所以命中环数的众数为，
将所有数据按从小到大排列可得，，，，，，，，，，
所以命中环数的中位数为．
故选：．
根据中位数和众数的定义求解．
本题主要考查中位数和众数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：选项，是奇函数，选项错误．
选项，是偶函数，选项正确．
选项，是非奇非偶函数，选项错误．
选项，是非奇非偶函数，选项错误．
故选：．
根据函数的奇偶性确定正确答案．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题可知，三个年级共有人，
抽样比例为，
则抽取的学生中，高三年级有人．
故选：．
根据分层抽样的定义求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题，
5.【答案】
【解析】解：因为，
则由正弦定理可得：，
又，且，
所以或．
故选：．
利用正弦定理以及大边对大角即可求解．
本题考查了正弦定理的应用，涉及到大边对大角，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，当时，可得，故充分性满足；
当时，由在上单调递增，可得，故必要性满足；
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
根据题意，由函数在上单调递增即可判断．
本题主要考查充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是．
故选：．
根据条件概型的知识求得正确答案．
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数，属于基础题．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数．
【解答】
解：的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得的系数为．
故选：．

9.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
根据可得出，然后根据向量的数乘运算即可用表示出．
本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图，作，在中，
，
即圆台的高为，
则该圆台的体积为．
故选：．
根据勾股定理求出圆台的高，直接代入圆台的体积公式即可
本题考查圆台的体积，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接利用交集运算的定义得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：依题意可得列联表如下：
经常打篮球 不经常打篮球 合计
男生
女生
合计
故，．
故答案为：；．
完善列联表，即可得解；
本题考查独立性检验相关知识，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由于，
所以函数恒过定点．
故答案为：．
根据对数函数的知识求得定点坐标．
本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，且，
则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值等于．
故答案为：．
根据题意，由基本不等式即可得到结果．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为是定义域为的奇函数，
所以，
所以，，
又当时，，
所以，，
所以，．
故答案为：．
由奇函数的性质可得，由此可求，再由，结合所给解析式求．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：因为，，
所以，
所以；
由已知，
则，解得：或．
【解析】根据向量平行的坐标表示列方程，解方程求即可；
根据向量加法运算及模的坐标表示列出方程，解方程求即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
17.【答案】解：因为函数在区间上是单调递增函数，且的对称轴为，
所以，解得，即的取值范围是．
若对一切实数都成立，
则，解得，
即实数的取值范围是．
【解析】利用对称轴和区间的关系，列不等式，解不等式即可；
利用判别式即可解决．
本题主要考查二次函数的图象与性质，函数恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：选出的人中恰有名男生的概率是；
的值可取，，，
则，，，
所以的分布列如下：

【解析】根据古典概型的概率公式结合组合知识和分步乘法原理，即可求解；
先求出随机变量的取值，求出其对应的概率，最后列出表格写出分布列即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
19.【答案】解：，
则函数的周期为；
函数的图象向右平移得：，
因为，所以，故，
当时，，当时，，
，故函数的值域为．
【解析】利用三角恒等变换得到，从而求出函数的最小正周期；
先求出的解析式，从而利用整体法求解函数的值域．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：证明：取的中点为，连接，，
则因为，分别是，的中点，所以，且，
又因为点是的中点，，，所以且，
所以且，即四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面．
取与的交点为点，连接，
因为，点是的中点，所以，
又因为四边形是菱形，所以，
由，，，平面，平面，
得平面．
又因为平面，所以平面平面．
因为 ，为的中点，所以，
又由知，
又，平面，平面，
所以平面，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图，
因为，所以在等边中，，
在直角中，，所以，
设平面的法向量为，
则，，，
由，得，
取，得．
设平面的法向量为，
则，，，
由，取，
所以，
由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的平面角的余弦值为．
【解析】利用已知条件和中位线的性质得线线平行，利用线面平行判定定理即可证明线面平行；
利用已知得出线面垂直，利用面面垂直判定定理即可证明面面垂直；
建立空间直角坐标系，由两法向量所成角的余弦值即可得到二面角的余弦值．
本题考查线面平行的证明，面面垂直的证明，向量法求解二面角问题，属中档题．
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