2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 记为等差数列的前项和若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
2. 已知，则的单调递减区间是( )
A. B.
C. D. 和
3. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4. 随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这个户外景点中随机选择个景点度周末记事件为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件为“两个家庭选择的景点不同”，则( )
A. B. C. D.
5. 某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩，如果按照，，，的比例将考试成绩由高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线应该是( )
参考数据：若，则，．
A. B. C. D.
6. 某外贸工厂今年的月份与订单单位：万元的几组对应数据如下：
月份
订单
变量，具有线性相关关系，其经验回归方程为：，则估计月份该厂的订单数为( )
参考数据：，，
参考公式：
A. B. C. D.
7. 下列说法正确的是( )
A. 在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数越大
B. 随机变量的方差为，则
C. 随机变量，若，，则
D. 安排名飞行员同时到所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有种
8. 已知，，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，函数的图象和函数的图象有两个公共点
B. 当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
C. 当或时，函数的图象和函数的图象没有公共点
D. 当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列关于的说法，正确的是( )
A. 展开式的各二项式系数之和是 B. 展开式各项系数之和是
C. 展开式的第项的二项式系数最大 D. 展开式的第项为
10. 设数列满足，，则( )
A. 为等比数列 B. 的通项公式为
C. 为递减数列 D. 的前项和
11. 费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线的左、右焦点，在双曲线右支上一点处的切线交轴于点，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的方程为
C. 过点作，垂足为，则
D. 点的坐标为
12. 已知函数，下列选项正确的是( )
A. 有最大值
B.
C. 若时，恒成立，则
D. 设，为两个不相等的正数，且，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中的系数是______ 用数字作答．
14. 在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误的接收为或已知发送信号时，接收到和的概率分别为和；发送给信号时，接收为和的概率分别为和假设发送信号和是等可能的，则接收的信号为的概率是______ ；若已知接收的信号为，则发送的信号是的概率是______ ．
15. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是______ ．
16. 已知数列满足，若，则数列的前项和 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，若，．
求的面积；
若，求．
18. 本小题分
已知数列满足，．
记，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
求的前项和．
19. 本小题分
为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：
性别 体育锻炼 合计
不经常 经常
女生
男生
合计
根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取人，再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的女生人数为，求的分布列和数学期望；
依据小概率值的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．
参考公式和数据如下：，
20. 本小题分
如图，矩形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，，是上异于，的点．
证明：平面平面；
当三棱锥的最大体积为时，求直线与平面所成角的余弦值．
21. 本小题分
随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试，随机抽取了名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取名学生的成绩，记成绩在的人数为，求的分布列和数学期望；
为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．
求第二次传球后彩球在乙手上的概率；
记第次传球后彩球在乙手上的概率为，求．
22. 本小题分
已知函数，，其中为实数，是自然对数的底数．
若时，证明：，，；
若在上有唯一的极值点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
解得，所以的公差．
故选：．
根据等差数列的求和公式可求得，再根据等差数列性质运算求解．
本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
令，解得：，
故的递减区间是．
故选：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
解：函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极大值，
当时，；
当时，；
当时，．
当时，；时，；
当时，；
当时，．
故选：．
【解答】
本题考查利用导数研究函数的极值的应用，属于中档题．
由题设条件知：当以及时，的符号；当时，；当时，符号．由此观察四个选项能够得到正确结果．

4.【答案】
【解析】解：根据题意，现有两个家庭，他们分别从这个户外景点中随机选择个景点度周末，有种选择方法，
若两个家庭中至少有一个家庭选择白云山，则有种选法，则，
若两个家庭选择的景点不同且至少有一个家庭选择白云山，有种选法，则，
故．
故选：．
根据题意，由古典概型公式求出、，进而由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意排列组合的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：数学测试成绩，
则，，
故，
故A等级的分数线应该是．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
．
关于的线性回归方程为，
取，可得．
故选：．
由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值即可．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于选项A：因为残差平方和越大，决定系数越小，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，解得，故C错误；
对于选项D：可知必有一个学校安排了两名飞行员，先分组有种不同安排方法，
再分配到个学校有种不同安排方法，
共有种不同安排方法，故D正确．
故选：．
对于：根据回归分析的相关概念理解判断；对于：根据方差的性质分析判断；对于：根据二项分布的期望和方差的计算公式运算求解；对于：利用分组分配法即得．
本题考查了回归分析的相关概念、方差的性质和二项分布的期望和方差的计算公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：已知，，，
不妨设，函数定义域为，
要求函数的图象和函数的图象的公共点的个数，
即求函数的零点个数，
可得，
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
易知，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则当时，，
不妨设，
可得，
当，时，函数单调递减，
此时，
所以当，时，函数的值域为，
当，时，
易知函数是开口向下的二次函数，
所以当时，，
则函数在上的值域为，
此时当，时，函数的值域为，
综上，当时，函数的值域为，
当，即时，
函数有两个零点，故选项A正确；
因为，
所以，
易知当或时，函数有两个零点，故选项C、D错误；
当时，
此时函数无零点，故选项B错误．
故选：．
由题意，构造函数，将函数的图象和函数的图象的公共点的个数，转化成函数的零点个数，对函数进行求导，结合导数的几何意义得到当时函数的值域，再对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：对于，
它的展开式的各二项式系数之和是，故A正确．
令，可得展开式各项系数之和是，故B错误．
根据二项式系数的性质，可得当时，二项式系数最大，即第六项的二项式系数最大，故C正确．
展开式的第三项为，故D正确．
故选：．
由题意，根据二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由题意可得，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，A正确；
对于，由于，所以，所以，B正确；
对于，由于，，所以不是递减数列，C错误；
对于，由上可知，所以，D正确．
故选：．
首先根据已有条件构造关于的等比数列，而后求出数列的通项公式，即可对各选项进行判断．
本题主要考查递推法求数列的通项公式，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，设双曲线方程为，由题意知，，所以双曲线方程为，
由于，所以，A错误；
对于，由上可知B正确；
对于，当点横坐标趋于无穷大时，其切线近似为渐近线，不妨设其切线为，
则直线为，联立二式解得，，此时，C错误；
对于，将变形为，左右同时对求导得，
当，，，
所以点切线方程为，令，解得，D正确．
故选：．
求出双曲线的方程而后用点坐标表示出点切线方程即可．
本题主要考查双曲线有关性质，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为，，
所以，
则，故选项B错误；
对于选项C：不妨设，函数定义域为，
可得，
因为，
若时，恒成立，
可得当时，恒成立，
此时，
解得，
若，
此时恒成立，
所以在上单调递减，
则，符合题意，
综上，满足条件的的取值范围为，故选项C正确；
对于选项D：因为，为两个不相等的正数，且，
所以，
即，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
当时，，
不妨设，
不妨设，函数定义域为，
可得恒成立，
所以函数在上单调递增，
此时，
所以当时，，
即当时，，
整理得，
因为函数在上单调递增，且，，
所以，
即，故选项D正确．
故选：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而可判断选项A；将和代入函数的解析式中，利用作差法进行求解即可判断选项B；构造函数，对函数进行求导，结合定点即可判断选项C；将转化成，结合选项A中所得信息，设，构造函数，对进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：展开式的通项为，
令，则，令，则，
所以的展开式中的系数是．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设事件表示“接收的信号为”，
则，
设事件表示“发送的信号是”，
则，
所以，
即已知接收的信号为，则发送的信号是的概率为．
故答案为：；．
由全概率公式可求出接收的信号为的概率，再利用条件概率公式可求出已知接收的信号为，则发送的信号是的概率．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，
以替换，可得，
即，
联立解得：．
，则，，
则曲线在点处的切线方程是，
即．
故答案为：．
由已知求解函数的解析式，求其导函数，可得与，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，
与原式作差可得，
化简得，所以，
所以，
故答案为：
首先通过作差法求出数列的通项公式，而后代入并进行分母有理化，然后求和即可．
本题主要考查通过作差法求数列通项公式，属中档题．
17.【答案】解：因为，可得为锐角，因为，所以，
则，
由余弦定理可得，
所以，解得，
所以；
由正弦定理可得；，
所以，，
所以，而，，，
所以，
解得．
【解析】由题意及余弦定理可得的值，代入三角形的面积公式，进而求出三角形的面积；
由及正弦定理可得的表达式，由题意可得的大小．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：证明：因为为偶数，所以，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
又，所以；
由题意
．
【解析】为偶数，所以，即，所以数列为等比数列，而后求出通项公式即可；
对进行展开，根据规律求和即可．
本题主要考查等比数列相关性质，属中档题．
19.【答案】解：根据题意可知：抽取人中有名男生，名女生，
则的可能取值为，，，可得：
，
所以的分布列为：


期望；
零假设为：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联．
【解析】根据题意结合超几何分布求分布列和期望；
根据题意求，并与临界值对比分析．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望和独立性检验，属于中档题．
20.【答案】证明：因为，平面平面，平面平面，
平面所以平面，且平面，则，
又因为，，，平面，所以平面，
且平面，所以平面平面．
解：因为平面平面，平面平面，
则点在平面上的投影均在直线上，且的面积为定值，
可知三棱锥的最大体积，即三棱锥的高最大，
此时点为的中点，三棱锥的高为，则，
解得，矩形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，
则、半圆弧所在平面，则，，
可得，，在中，边上的高，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
因为，即，解得，
则直线与平面所成角的正弦值，
所以直线与平面所成角的余弦值．
【解析】根据题意结合空间中垂直关系分析证明；
根据题意分析可得点为的中点，三棱锥的体积最大，再利用等体积法求点到平面的距离为，结合线面夹角的定义运算求解．
本题考查线面垂直，面面垂直的性质，考查体积最大值问题，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知：该高校所有学生中随机抽取名学生的成绩，成绩在的概率为，
可知，且的可能取值为，，，则有：
，
所以的分布列为：


期望；
若第二次传球后彩球在乙手上，则第一次传球后彩球在丙手上，第二次由丙传球给乙，
所以第二次传球后彩球在乙手上概率为；
第次传球后彩球在乙手上的概率为，
即第次传球后彩球在甲、丙手上的概率为，再由甲、丙传球给乙，
所以第次传球后彩球在乙手上的概率为，
可得，且，
所以数列是以首项，公比的等比数列，
则，可得．
【解析】根据题意结合二项分布求分布列和期望；
由题意第一次传球后彩球在丙手上，第二次由丙传球给乙，即可求解；
根据题意分析可得，利用构造法结合等比数列运算求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
22.【答案】证明时，，
要证明，，；
即证明，
而，
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
故；
而，故，
故，
原结论成立．
解：在上有唯一的极值点，
等价于在上有唯一的变号零点，
等价于，
设，，
，
，，
当时，，，
，在上为减函数，
当时，，，
，在上为增函数，
函数的极小值也是最小值为，
又，，
所以当时，方程在上有唯一的变号零点，
所以的取值范围是，
的取值范围是
【解析】代入的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，从而证明结论成立；
求出函数的导数，令，问题等价于，设，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的运用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．
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