2022-2023学年河南省信阳市光山县高二下学期期末数学试卷（PDF版含解析）

2022-2023学年信阳市光山县高二下学期期末数学试卷
第 I卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合 ， 为整数集，则
( )
A. B.
C. D.
2. 若点 ， ， ， ， 是与 同向的单位向量，则向量 在 方
向上的投影向量为 ( )
A. B.
C.
D.
3. 若 是正方体 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ( )
A.
B. C. D.
4. 若
的展开式中存在常数项，则 ( )
A. B. C. D.
5. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，
拟从初中部和高中部两层共抽取 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 和 名学生，
则不同的抽样结果共有
A.
种 B.
种 C. 种 D.
种
6. 对于函数 ，下列选项中正确的是( )
A. 在 上是递增的 B. 的图象关于原点对称
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为
7. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制 “十二
平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音
的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 而早在 世纪，明代朱载最早用精湛的数学
方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 若第一个单音的频率为 ，则
第四个单音的频率为( )
A. B. C. D.
8. 已知 ， ， ，且 ， ， ，
则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4小题，共 20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数 其中 为虚数单位 ，则下列说法正确的是 ( )
A. 的虚部为 B.
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
10. 受轿车在保修期内维修费用等因素的影响，企业生产一辆轿车的利润与该轿车首次出现
故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 年，现从该厂已售出
的两种品牌轿车中各随机抽取 辆，统计数据如下表：
品牌 甲 乙
首次出现故障
的时间 年
轿车数量 辆
每辆利润 万元
将频率视为概率，则( )
A. 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取 辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为
B. 若该厂生产的轿车均能售出，记生产 辆甲品牌轿车的利润为 万元，则
C. 若该厂生产的轿车均能售出，记生产 辆乙品牌轿车的利润为 万元，则
D. 该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，
若从经济效益的角度考虑，则应生产甲品牌的轿车
11. 已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线 上的两个不同的动点，
点 关于 轴的对称点为 ，抛物线 的准线交 轴于点 下列结论正确的是( )
A. 若直线 过点 ，则 ，且
B. 若直线 过点 ，则 ， ， 三点共线
C. 若直线 过点 ，则 ，且
D. 若直线 过点 ，则 的最小值为
12. 已知三次函数 的导函数 的图象如图，且 ， ，
则 ( )
A. B. ( )
C. D.
第 II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13. 若随机变量 ，则
附：若随机变量 ，则 ，
14. 已知等差数列 满足 ， ，则数列 的前 项的和等于 ．
15. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，
以线段
为直径的圆与双曲线在第一象限交于点 ，双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则直线
的
斜率为 ．
16. 如图，实心铁制几何体 由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知
， ， ， ，且 ， 底面 某工厂要将
其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗 ，则铸得的铁球的半径为 ．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 分
如图，在平面四边形 中， ， ， ， ．
若 ，求四边形 的面积；
若 ， ，求 ．
18. 本小题 分
某学生兴趣小组随机调查了某市 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，
整理数据得到下表 单位：天 ：
分别估计该市一天的空气质量等级为 ， ， ， 的概率
求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
若某天的空气质量等级为 或 则称这天 空气质量好 若某天的空气质量等级为 或 ，则
称这天 空气质量不好 根据所给数据，完成下面的 列联表并根据列联表，判断是否有
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
，
19. 本小题 分
已知等比数列 是递减数列，设其前 项和为 ，已知 ，且 ， ， 成等差数列．
求 的通项公式 ( )
定义 为不大于 的最大整数，若等差数列 的首项为 ，公差为 的公比，求数列
的前 项和．( )
20. 本小题 分
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，且 ， 是 的
中点，平面 与线段 交于点 ．
证明： 为 的中点；
再从条件 、条件 这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正
弦值．
条件 ：三角形 的面积为 ；
条件 ：三棱锥 的体积为 ．
21. 本小题 分
设椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆上任意一点，点 到原点最大距离
为 ，若 到椭圆右顶点距离为 。
求椭圆的方程。
设椭圆的上、下顶点分别为 、 ，过 做两条互相垂直的直线交椭圆于 、 ，问直线 是
否经过定点 如果是，请求出定点坐标，并求出 面积的最大值。如果不是，请说明理由。
22. 本小题 分
已知函数 ， ， 的图像记为曲线 ．
过点 作曲线 的切线，若这样的切线有三条，求 的取值范围；
若 对 恒成立，求 的最大值．
答案和解析
1.
【解析】由题意知 ，
故 ．故选 A．
2.
【解析】 ，
在 方向上的投影向量为：
．
故选： ．
3.
【解析】因为 ， ， ， 共线，所以异面直线 与 所成的角为 ．
设正方体的棱长为 ，则 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为
．
4.
【解析】 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，当且仅当 时， ，
此时二项展开式中存在常数项．
5.
【解析】结合题意初中部和高中部所占的比例为 ，抽取初中部 人，高中部 人，故不同的
抽样结果为 种，故选
6.
【解析】 ，是周期为 的奇函数，
对于 ， 时， ，由 的单调性可知， 在 上是递减的，A错误；
对于 ， 是周期为 的奇函数，B正确；
对于 ， 是周期为 ，错误；
对于 ， 的最大值为 ，错误．故选 B．
7.
【解析】设第 个单音的频率为 ，
因为每一个单音与前一个单音频率比为 ，
所以
，
又 ，
故数列 是首项为 ，公比为
的等比数列，
则 ，故选 B．
8.
【解析】令 ， ，
所以 ，
，
，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以当 时 ，即 在 上单调递减，
令 ， ，则 ，
所以当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
所以 在 处取得极大值即最大值， ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ．故选： ．
9.
【解析】对于选项 A， ， 的虚部为 ，故 A错；
对于选项 B， ，故 B对；
对于选项 C， ，故 C对；
对于选项 D， ，可得在复平面内点为 ，在虚轴上，故 D错；故选 BC．
10.
【解析】设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 ，则 ，A错误．
依题意得， 的分布列为
则 ，B正确．
的分布列为
则 ，C错误．
因为 ，所以应生产甲品牌轿车，D正确．
故选 BD．
11.
【解析】若直线 过点 ，设 ，带入抛物线方程，有 ，
， ，则有 ， ，
，故 A正确；
同理若直线 过点 ，设 ，带入抛物线方程，有 ，
， ，则有 ， ，
，故 C正确；
若直线 过点 ，由 可知 ，
则
，故 D错误；
若直线 过点 ，可知 ， ，
结合 中所得可知 ，
，则 ， ， 三
点共线，B正确．
12.
【解析】由题画出 的大致图象如图，由图象可知 ， ，
故 A正确
在 上 ， 在 上单调递减， ，又 ， ，
，故 B正确
由导函数的图象可知 ， ， ， ，故 C
正确
， ， ，即 ， ， ，
， ，故 D错误．
13.
【解析】因为 ，则 ，
所以 ．
故答案为： ．
14.
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以
．
故答案为： ．
15.
【解析】由题可知 ，即 设双曲线 的半焦距为 ，则 ，所以 ，
由题可知 所 以 ， 因为 ，所以
直线 的斜率为
．
16.
【解析】设铸得的铁球的半径为 ，依题意，
可得该几何体的体积为 ，
则 ，
解得 ．
故答案为 ．
17.解： 如图，连接 ，
在 中，由勾股定理得： ，
所以 ，
在 中， ， ，
由余弦定理知：
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 的面积 ．
在 中，由正弦定理知： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
在 中， ，所以 ，
所以 ．
18.解： 空气质量等级为 的概率为
空气质量等级为 的概率为
空气质量等级为 的概率为
空气质量等级为 的概率为
一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
；
人次 人次
空气质量好
空气质量不好
的观测值
所以有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【解析】本题考查了独立性检验和概率的计算，属于中档题．
利用古典概型计算公式结合表格数据直接计算即可；
利用平均数计算公式直接计算；
利用独立性检验公式计算，比较即可判断．
19.解： 设等比数列 的公比为 ，则 ．
因为 ， ， 成等差数列，所以 ．
因为 ，所以
．
得 ，所以 ，
代人
，得
，
解得 或 舍去 ．
所以
．
由 可得
所以 ，则
，
所以
当 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， ， ， 时， ，
当 ， ， ， 时， ，
所以数列 的前 项和为 ．
20.解： 证明：由底面 是矩形，则 ，而 面 ， 面 ，
所以 面 ，
又 是 的中点，面 与线段 交于点 ，即面 面 ，
而 面 ，则 ，故 CD ，
中 为中位线，故 F为 的中点；
由 底面 ， 面 ，则 ，又 ，
由 ， ， 面 ，则 面 ，
由 面 ，故 BC ，即 为直角三角形，且 ；
由 面 ，则面 面 ，同理有面 面 ；
又 ， 面 ，故 ， ，又 ，
所以 ， ， 两两垂直，可构建如下空间直角坐标系，
选 ，则 ，故 ，而 ，
选 ，由 ，而 ， ，所以 ；
此时， ， ，则 ，
又 是面 的一个法向量，若直线 与平面 所成角为 ，
所以 ．
21.解： 点 到原点的最大距离为 ，故 ，
易知椭圆的右顶点的坐标为 ，
到椭圆的右顶点距离为 ，
，解得 或 舍去 ，
椭圆的方程为 ；
易知直线 的斜率存在，设直线 ， ， ，
与 联立，得 ，
则 ，即 ，
，
，
，
，
易知 ，
则
，
则
，
化简得 ，
解得： 舍去 或 ，
直线 过定点 ，
此时 ， ， 恒成立，
，
令 ，
，
易知函数 在 上单调递增，
故 ，
，
面积的最大值为 ．
22.解： ， ， ， ，
设切点为 ，则
，
所以切线方程为
，
将点 代入得
可化为
，
设 ，
，
令 即 ，解得 或 ；
令 即 ，解得 ，所以函数 在 上单调递减，在 和
上单调递增，
的极值点为 和 ，
过点 作曲线 的切线，若这样的切线有三条，由三次函数的性质得
，
所以 ．
由 得 对 恒成立，
若 ，取 ，有
，
与 对 恒成立矛盾，舍去
若 ，则 ，
若 ，则 ，
设函数 ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ；
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
设 ， ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
即 的最大值为 ，
此时 ， ．