2022-2023 学年度下学期期末考试
高二数学试题答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B A C D D A ACD CD CD BCD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
13.____8 / 8_________________ 14._________ 5 /0.4 _____________
1 1
, 3e 2
3 15._______ ______________ 16.____________ e __________
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。
17.（本小题满分 10分）
1
【详解】（1）当 0 a 1时，函数 f x loga x（ a 0且a 1）在 , 27 上单调递减， 8
f x f 1 1∴ loga 3
1
max ，解得 a ； 8 8 2
当 a 1时，函数 f x loga x
1
（ a 0且a 1）在 , 27 上单调递增， 8
∴ f x f 27 log 27 3max a ，解得 a 3，
综上所述， a 3或 a
1
2
（2）∵ g x log2 x2 3x 2a 的定义域是R ，∴ x2 3x 2a 0恒成立，则方程
x2 3x 2a 0的判别式Δ 0，
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}
9 1即 3 2 4 2a 0 ，解得 a 又 a 3或 a ，因此 a 3，∴不等式 loga 1 2t 1，即8 2
log3 1 2t 1，
1 1
即0 1 2t 3，解得 1 t 因此不等式 log 1 2t 1的解集为 1, .
2 a 2
18. （本小题满分 12分）
【详解】（1）零假设为H0：使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄
无关，
2
2
100 30 30 20 20
4 3.841，
50 50 50 50
所以依据 0.05的独立性检验，推断H0不成立，即能认为使用哪家购物平台购物与观
看这两家短视频的用户的年龄有关.
（2）由列联表可知，观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中，年龄段为
30
19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数频率为 0.3，
100
用频率估计概率，所以 X ~ B(10,0.3) ，故 E(X ) np 10 0.3 3 .
19.（本小题满分 12分）
【详解】（1）因为 x
2 4 5 6 8 5 y 3 4 5 6 7 ， 5，
5 5
5
xi x yi y ( 3) ( 2) ( 1) ( 1) 0 0 1 1 3 2 14 ，
i 1
5 5
x x 2 ( 3)2 ( 1)2 02 12 32 20 y y 2 ( 2)2 ( 1)2 02 12i ， i 22 10 ，
i 1 i 1
5
xi x yi y
r i 1 14 7 2因此相关系数 0.755 5
2 2 20 10
10 ，
xi x yi y
i 1 i 1
所以可用线性回归模型拟合 y与 x的关系.
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}
5
xi x y i y
b i 1 14（2）由（1）知， 5 0.7， a y b x 5 0.7 5 1.5，
xi x 2 20
i 1
因此 y 0.7x 1.5，当 x 12时， y 0.7 12 1.5 9.9，
20 （本小题满分 12分）
【详解】（1）由 f x 2ax ex，得 f x 2a ex，①当 a 0时， f x 0， f x 在
R 上单调递减；
②当 a 0时，令 f x 0，得 x ln 2a，当 x , ln 2a 时， f (x) > 0， f x 单调递增；
x ln 2a, ， f x 0， f x 单调递减；
（2）由（1）知，当 a 0时， fmax x f ln 2a 2a ln 2a 2a，要证：当a 0时，
f x 4a2 4a，
可证：2a ln 2a 2a 4a2 4a，因为 a 0，即证：ln 2a 2a 1，设 g a ln 2a 2a 1，
g a 1 2，
a
令 g a 1 1 0，则 a 1 ，所以当 a
2
0, 时， g a 0， g a 单调递增；当 a , 2 2
1
时， g a 0， g a 单调递减， gmax a g 0，所以 g a 0，即 ln 2a 2a 1，
2
2
所以当 a 0时， f x 4a 4a．
21. (本小题满分 12 分 )
【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得：
35 0.025 45 0.15 55 0.2 65 0.25 75 0.225 85 0.1 95 0.05
0.875 6.75 11 16.25 16.875 8.5 65，
又由36 65 2 210,79.5 65 210，
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}
P(36 Z 79.5) 0.9545 0.6827所以 0.6827 0.8186 .
2
（2）解：根据题，可得所得话费 X 可能的值有 20，40，60，80元，
P(X 20) 1 3 3 P(X 40) 1 1 1 3 3 13其中 ； ；
2 4 8 2 4 2 4 4 32
P(X 60) 1 1 3 3 2 P(X 80) 1 1 1 1； ，
2 4 4 16 2 4 4 32
所以随机变量 X 的分布列为：
X 20 40 60 80
3 13 3 1
P
8 32 16 32
3 13
所以期望为 E X 20 40 60 3 80 1 75 .
8 32 16 32 2
22. (本小题满分 12 分 )
1 2
【详解】（1）当 a 1时， f x x 2x ln x， f x x 2 1 ，
2 x
所以 f 1 3 ， f 1 0，
2
故曲线 y f x 在点 1, f 1 y 3处的切线方程为 ．
2
1
（2）若 f x 在定义域内有两个极值点，则 x1, x2是方程 f x x 2a 0即x
x2 2ax 1 0 的两个不相等的正根，
Δ=4a2 -4 0
从而得到 x1 x2 2a 0，即 a 1，
x1x2 1 0
又0 x1 x2 ，故 x2 1，且 2ax2 x
2
2 1
f x 12 x 22 2ax2 lnx2 2
1
x22 x 22 1 lnx2 2
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}
1
x2
2 2
1 ln x2
1 1
x2 1 ln x2
2 2 2 2
令 t x22 1，则 f x2 g t
1
t 1 1 lnt ，
2 2
g t 1 1 t 1 0，
2 2t 2t
所以 g t 在 1, 上单调递减，
g t g 1 3所以 ，即 g t 3 的值域为 , 2 2 ，
所以 f x 3 2 的范围是 ,
2
.
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}2022-2023 学年度下学期期末考试
高二数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.每题四个选项中只有一个正确选项）
1
1．已知集合 A x x 2 3x 10 0 ，B x y ，则（ ）
x 3
A． A B A B． A B B
C． A B B D． A B
2．已知 a 20.8，b log2 0.3， c 0.23，则（ ）
A． c
3．对于实数 a，b，c下列说法中错误的是（ ）
1
A．若 a b c，a b c 0，则 ab ac B．若 a 1，则 1
a
C．若 a b 0
1 1 1 1
，则 D．若 a b， ，则 ab 0
a b a b
4．已知 p：对任意的 x R ，a x2 1，q：存在 x R ，使得 a 3 x2，则 p0 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．第 19届亚运会将于 2023年 9月 23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿
者．甲、乙等 4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工
作，每个项目仅需 1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项
目，则不同的选择方案共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
x ln x
6．函数 f x 的图象大致是（ ）
ex e x
试卷第 1页，共 6页
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}
A． B．
C． D．
7．已知函数 y f x 是定义在 R 上的偶函数，且 f x 1 f x 1 ，当 x 0,1 时，
f x 2x 1，则函数 g x f x lg x的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．已知函数 f x ax2 ln x 1 x，对任意的 x 1, ， f x 1恒成立，则实数 a
的取值范围是（ ）
a 1 1 1 1A． ≤ B． a C． a D． a
4 4 4 4
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.每小题有多项正确选项，全部选对
得 5分，有选错的得 0分，部分选对得 2分）
n
9 3 ．已知二项式 x 的展开式中所有项的系数的和为 64，则（ ）
x
A． n 6
B．展开式中 x的系数为 135
C．展开式中奇数项的二项式系数的和为 32
D．展开式中二项式系数最大的项为 540
10．已知m 0， n 0且m n 2．则下列正确的有（ ）
1 4 1
A． 最小值为 9 B． n最小值为 1
m n m 1
1 1
C．若m n，则 D．
m 1 n 1 m n 2
试卷第 2页，共 6页
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}
kx 1，x 0
11．已知函数 f (x) ，下列是关于函数 y f [ f (x)] 1的零点个数的 4 个判
log2 x，x 0
断，其中正确的是（ ）
A．当 k 0时，有3个零点 B．当 k 0时，有 2个零点
C．当 k 0时，有 4个零点 D．当 k 0时，有1个零点
12．已知函数 f x 及其导函数 g x 的定义域均为R . f 2x f 4 2x ，
f x f x 0，当 x 2,4 时， g x 0， g 1 1，则（ ）
A． f x 的图象关于 x 1对称 B． g x 为偶函数
C．g x g x 4 0 D．不等式 g x 1的解集为 x 1 8k x 1 8k ,k Z
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13 ( 3 1)0．计算： (3 π)2
5
4 log2 3 lg lg 25 _______________．
2
14．现有 4名男生，2名女生．从中选出 3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被
选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________．
15． y loga 2x 3
2
恒过定点 P，P在幂函数 f x 图象上， f 9 ______．
2
16
1
．若存在 x ,e
，使得不等式 2xlnx x
2 mx 3 0成立，则实数m的取值范围
e
________．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分 10分）已知函数 f x logax
1
（a 0且a 1 , 27 ）在 上的最大值为 8
3.
(1)求 a的值；
(2) g x log x2假设函数 2 3x 2a 的定义域是R ，求关于 t的不等式 loga 1 2t 1的解
集.
试卷第 3页，共 6页
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18．（本小题满分 12分）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发
突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现
了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类
似，存在竞争关系.现对某时段 100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台
购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司购物平台 选择乙公司购物平台 合计
用户年龄段为 19~24岁 30 20 50
用户年龄段为 25~34岁 20 30 50
合计 50 50 100
n ad bc 2
参考公式： 2 ，其中 n a b c d .
a b c d a c b d
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)依据 0.05的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的
用户的年龄有关？
(2)为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看
过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中抽取 10名用户进行回访，记抽出的 10
人中年龄段为 19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数为 X ，求 X 的期望.
试卷第 4页，共 6页
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19．（本小题满分 12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y（百千克）与
某种液体肥料每亩使用量 x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 y与 x的关系，请计算相关系数 r
并加以说明（若 r 0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
(2)求 y关于 x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增
加量约为多少？附：相关系数公式
n n
xi x yi y xi yi nxy
r i 2 i 1
n n n n ，回归方程 y bx a 中斜率和截2 2
x 2 2 2 2i x yi y xi nx yi ny
i 1 i 1 i 1 i 1
n n
x1 x y i y xiy i nxy
距的最小二乘估计公式分别为：b i 1 i 1 n n ，2 a y bx .2
x1 x x 2i nx
i 1 i 1
20．（本小题满分 12分）已知函数 f x 2ax ex．
(1)讨论 f x 的单调性；
(2) a 0 f x 4a2证明：当 时， 4a．
试卷第 5页，共 6页
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21．（本小题满分 12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷
调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000人的得
分（满分 100分）数据，统计结果如下表所示．
组别 [30,40] [40,50] [50,60] [60,70] [70,80] [80,90 [90,100]
频数 25 150 200 250 225 100 50
(1)已知此次问卷调查的得分 Z ~ N ( , 210)， 近似为这 1000人得分的平均值（同一组中
的数据用该组区间的中点值为代表），求 P(36 Z 79.5)；
2
（附：若 X ~ N , ，则 P X 0.6827， P X 2 0.9545，
P X 3 0.9973， 210 14.5）
(2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 的可以获赠 2次随机话费，得分低于 的可以获赠 1次随机话费；
3 1
②每次赠送的机制为：赠送 20元话费的概率为 ，赠送 40元话费的概率为 ．
4 4
现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为 X 元，求 X 的分布
及期望．
1
22 2．（本小题满分 12分）已知函数 f x x 2ax lnx （a为常数）．
2
(1)当 a 1时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)设函数 f x 的两个极值点分别为x ，x （ x1 x f x1 2 2），求 2 的范围．
试卷第 6页，共 6页
{#{QQABCQiAogAAAAJAARhCAQ2wCAKQkACACAgOQBAAsAAASBFABAA=}#}