河南省商丘名校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（含解析）

商丘名校2022-2023学年高二下学期期末联考
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选三颗进行观测，则玉衡和天权都未被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设随机变量，其中，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．的不确定值
6．现有完全相同的甲，乙两个箱子（如下图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．代数式的展开式中的系数为（ ）
A．20 B． C．10 D．
8．已知，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（万件） 50 96 142 185 227
若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程必过 B．
C．相关系数 D．6月份的服装销量一定为272.9万件
10．若在定义域上不单调，则实数的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．通过随机询问相同数量的不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（ ）
附：，其中．
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
A．150 B．170 C．190 D．210
12．已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．将6本不同的书分成两堆，每堆至少两本，则不同的分堆方法共有________________种．
14．函数的最大值为________________．
15．若命题“函数无极值”为真命题，则实数的取值范围是________________．
16．已知函数，若且，则最拈小值是________________．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知函数在内有且只有一个零点．
（1）求；
（2）求曲线在点处的切线方程．
19．（本小题满分12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度（单位：），得下表：
PM2.5浓度 浓度
32 18 4
6 8 12
3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
PM2.5浓度 浓度
并依据小概率值的独立性检验，能否推断该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若函数有2个极值点，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章．
（1）记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为，请写出的分布列，并求；
（2）若甲同学进行了4轮答题，求甲同学恰好获得2枚纪念章的概率．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围．
商丘名校2022-2023学年高二下学期期末联考
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D A C B A C
1．【答案】A
【解析】由，即，解得，所以，所以．故选A．
2．【答案】C
【解析】，易得切线方程为，故选C．
3．【答案】D
【解析】玉衡和天权都没有被选中的概率为，故选D．
4．【答案】
【解析】，故充分性成立，反之，若，有可能，此时不成立，所以是的充分不必要条件，故选A．
5．【答案】C
【解析】由题正态曲线关于直线对称，因为，根据对称性可得，即，故选C．
6．【答案】B
【解析】记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则，由全概率公式得．故选B．
7．【答案】A
【解析】含的项应为：，所以系数为20．故选A．
8．【答案】C
【解析】由题：，可设，则，即恒增，于是有，且，故，所以，故选C．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
题号 9 10 11 12
答案 AB CD CD ACD
9．【答案】AB
【解析】由已知，可得，A正确；代入计算得，B正确；从而相关系数，C错误；可预测6月份的服装销量为272.9万件，D错误．故选AB．
10．【答案】CD
【解析】由，则可知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，故选CD．
11．【答案】CD
【解析】设男女大学生各有人，根据题意画出列联表，如下图：
看 不看 合计
男
女
合计
所以，因为有的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，结合选项，故选CD．
12．【答案】ACD
【解析】对于A，因为，且，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，
，故，当且仅当时等号成立，故B不正确；对于C，，所以，故C正确；对于D，因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号．故D正确；故选ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【答案】25
【解析】由题知，共有两种分法：这种分法数为种；这种分法数为种，所以，共有25种．
14．【答案】1
【解析】易知时，时，，
在单增，单减，．
15．【答案】
【解析】因为，只需，解得，即．
16．【答案】
【解析】得，令得，得切点坐标，再令，得，于是符合题意的，因此：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】
（1）当时，得，解得或，所以此不等式的解集为．
（2）当时，不等式恒成立，可得对都成立，由于，当且仅当即时等号成立，所以，即，故实数的取值范围是．
18．【解析】
（1）由题得，
当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点；
当时，函数在内单调递增；在区间内单调递减，在区间
内单调递增．当时，；
故只需，
解得．
（2）由，所以切点为，
又，
故切线方程为，
化简得：
19．【解析】
（1）根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为，因此该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为．
（2）根据抽查数据，可得列联表：
PM2.5浓度 浓度
64 16
10 10
零假设为：该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关．由列联表中的数据得：．
由于，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关．
20．【解析】（1）因为，所以，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数取得最小值．
（2）函数的定义域为，
设，由，得，列表如下：
-1
- 0 +
减 极小值 增
当时，，
当时，，
做出函数与的大致图象，如图，当时，直线与的图象有2个交点，
设这两个交点的横坐标分别为，且，
数形结合可知：当或时，，
当时，，此时函数有2个极值点．
所以的取值范围是
21．【解析】（1）由题意，X可取0，1，2，3，4．
，
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
．
（2）每一轮获得纪念章的概率为，每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，
设4轮答题获得纪念章的数量为，则，
，
即甲同学则获得2枚纪念章的概率是．
22．【解析】（1）因为定义域为，
所以，
①当时，恒有，得在上单调递减；
②当时，由，得，在上，有单调递增；
在上，有单调递减．
综上可得：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）方程可化为，
即．
令，易知函数在上单调递增，
结合题意，关于的方程有两个不等的实根．
又因为不是方程的实根，所以方程可化为．
令，则．
易得函数在和上单调递减，在上单调递增．
数形结合可知，实数的取值范围是．