黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（Word版含答案）

哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期6月月考
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分共2页）
第Ⅰ卷 选择题
一、单选题（共40分）
1．已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的母线长为8，则这个圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知（i是虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（ ）
A．9 B． C． D．
4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
5．如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．假设P是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．已知非零向量，，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
8．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，是角C的内角平分线，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共20分）
9．若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A． B．z的虚部为 C．为纯虚数 D．
10．在中，，，，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．外挍圆的直径是
11．如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与所成的最大角为45°
C．不存在点P使得
D．当点P为中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为
12．若空间中经过定点O的三个平面，，两两垂直，过另一定点A作直线与这三个平面的夹角都为，过定点A作平面和这三个平面所夹的锐二面角都为．记所作直线的条数为m，所作平面的个数为n，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题（共20分）
13．在中，若，，，则边长________．
14．已知向量，满足，，与的夹角为，则________．
15．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，点P为正方体表面及其内部的一个动点且，则线段的长度的最大值为________．
16．在中，，，D是边的中点，且．将沿折起，使平面平面，形成四面体．则该四面体外接球的表面积为________．
四、解答题（共70分）
17．（本小题10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，求：
（1）角B：
（2）的面积S．
18．（本小题12分）如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，E，F，G分别是，，的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面．
19．（本小题12分）在直三棱柱中，，，D为侧面的中心，E为的中点．
（1）求证：平面平面：
（2）求点到平面的距离．
20．（本小题12分）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值
（2）若，求周长的取值范围．
21．（本小题12分）如图，在直三棱柱中，，，点D是的中点．
（1）求证：平面；
（2设点E在线段上，，且使直线和平面所成的角的正弦值为，求的值．
22．（本小题12分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图1中阴影部分所示，已知是固定的，路宽．设灯柱高，（）．
（1）经测量当，时，路灯C发出锥形灯罩刚好覆盖，求；
（2）因市政规划需要，道路要向右拓宽6m，如图2所示，求灯柱的高（用来表示）；
（3）在（2）的条件下，若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出S的最小值．
参考答案：
1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．B 9．ABC 10．AB
11．AD
【详解】点P到平面的距离为a为定值，
又，所以，即三棱锥的体积为定值，故A正确；
设中点为Q，连接，，
则即为异面直线与所成的角。在中，，所以异面直线与所成的最小角为45°，故B不正确；
若为中点，则平面，所以，又，，所以平面，平面，所以，故C不正确；
取的中点E，的中点F，的中点，连接、、、、，
所以过M、N、P三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为，故D正确．
故选：AD．
12．AD
【分析】以正方体为例进行研究，正方体的体对角线满足与同一顶点出发的三个平面所成角都相等，得m的值，再结合正方体内的正四面体与同一顶点出发的三个平面的夹角都相等，得n的值，判断AB，再利用几何知识求出角的三角函数值判断CD．
【详解】由题意，将三个两两互相垂直的平面，，放入正方体中，平面，，分别对应平面、平面、平面，
根据正方体的对称性，体对角线分别与三个平面，，所成角都相等，因为平面平面，所以体对角线分别与三个平面，，所成角都相等，同理体对角线、、分别与三个平面，，所成角都相等，过点分别作、、、的平行线，则这四条平行线分别与三个平面，，所成角都相等，所以满足题意的直线有4条，即，故选项A正确；
因为正方体内正四面体的四个平面与正方体的六个平面所夹的锐二面角都相等，所以正四面体的四个平面与平面，，所夹的锐二面角都相等，所以过分别作与正四西体的四个平面平行的平面即可得到平面，所以满足题意的平面有4个，即，所以，故选项B错误；
连接，因为平面，所以为在平面上的射影，故为直线与平面所成角，因为，所以直线与平面所成的角为，设正方体棱长为1，则，，所以，即，所以选项C错误；
设，连接，因为平面，平面，所以，又，且，平面，平面，所以平面，平面，所以，则是平面与平面所夹的锐二面角，也是平面和平面所夹的锐二面角，因为，，所以，所以，即，故选项D正确．
故选：AD
13． 14．2 15．3
16．
【详解】设和的外心分别为G，F，过G作平面的垂线，
过F作平面的垂线n，则四面体的外接球的球心为直线和的交点．
因为，是边的中点，且．所以为等边三角形，所以，
设中点为，则四边形为矩形，且，，
∴四面体的外接球的半径
．
故四面体外接球的表面积为．故答案为：．
17．（1） （2）．
【详解】（1）由正弦定理，得，因为在中，且，所以．
（2）因为，所以．所以．
18．（1）证明见解析 （2）证明见解析
【详解】（1）由平面，得，又（是正方形），，所以平面，所以．
（2）由E，F分别是线段，的中点，所以，又为正方形，，所以，又平面，所以平面．因为E，G分别是线段，的中点，所以，又平面，所以平面．因为，，平面，所以平面平面。
19．（1）见详解； （2）
【详解】（1）在直三棱柱中，如图，连接，
由，且点为中点，所以，又面，面，所以，又，，面，所以面，又面，所以平面侧面．
（2）连接，，作交于点，可知且，又面，所以，，，面，所以面，又，可知四边形为正分形，，所以
由（1）可知面，面，所以，则为直角三角形，，，所以
设点到面的距离为，所以，即，所以
20．（1） （2）
【详解】
（1），
，，，
∴，则，又为锐角三角形，故．
（2），，
由于为锐角三角形，则，且，解得，
周长
，而，即，
∴，故的周长的取值范围为．
21．（1）证明见解析；（2）
【详解】解：：（1）证明：在三棱柱中，连接交于点，连接，则是的中点．
在中，点是的中点，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）在中，，，点是的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，可知．又，，是平面内的相交直线，交点是D，知平面．平面在三棱柱中，为线段上的点，过，分别作于点，于点，连接
由平面，平面，得，又，、是平面内的相交直线，所以平面，是在平面面内的射影，，是直线和平面面所成的角．
设，由得，可得，
所以在中，，解得．
22．（1）（2）（）
（3）（），S最小值为
【详解】（1）在中，当时，，所以，由余弦定理，所以，在中，又，，所以是等边三角形，即．
（2），，
，在中，由正弦定理得，
所以，所以，在中，由正弦弦定理，所以，所以；
（3）在中，由正弦定理得，所以，
所以
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，S取最小值，
故S关于的函数表达式为，最小值为．