高碑店市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
说明：本试题满分150分 考试时间120分钟，请在答题卡上作答
第卷（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
2．已知命题，则是（ ）
A． B． C． D．
3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．4034 B．2020 C．2018 D．2
6．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
7．若定义在R上的函数满足：对任意，，有，则下列说法一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．下列各组函数中不是相等函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．若，则，．
已知，且，则（ ）．
A． B． C． D．
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．若恒成立，则实数的取值范围是
D．若恒成立，则正实数的取值范围是
12．有一座高度是10级（第1级~第10级）台阶的楼梯，小明在楼梯底部（第0级）从下往上走，每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．中最大
第II卷(本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13．已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为____________.
14．已知函数f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时, , 则_______
15．函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围是________.
16．若，则a的取值范围为_______。
三、解答题(本题共有六道小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17．（本题10分）
已知等差数列的前项和为，，，
求数列的通项公式
若，求数列的前项和．
.
18．（本题12分）
已知向量（，），（，），.
(1)求函数的最大值及相应x的值；
(2)在△ABC中，角A为锐角且，，BC=2，求的面积。
19．（本题12分）
为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积．农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下．
喜欢有机水果 不喜欢有机水果
南方会员 80 40
北方会员 40 40
(1)视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果的概率；
(2)试根据小概率值的独立性检验，分析喜欢有机水果是否与会员的区域有关．
附：，．
0.05 0.025 0.005
3.841 5.024 7.879
20.（本题12分）
为何值时，关于的方程 的两根：
（1）都为正数根；
（2）异号且负根绝对值大于正根；
（3）一根大于2，一根小于2；
（4）两根都在区间（0,2）上。
（本题12分）
南水北调中线工程建成以来，通过生态补水和减少地下水开采，华北地下水位有了较大的回升，水质有了较大的改善，为了研究地下水位的回升情况，对2015年-2021年河北平原地区地下水埋深进行统计，所得数据如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
埋深（单位：米） 25.74 25.22 24.95 23.02 22.69 22.03 20.36
根据散点图知，该地区地下水位埋深与年份（2015年作为第1年）可以用直线拟合．
(1)根据所给数据求线性回归方程，并利用该回归方程预测2023年河北平原地区地下水位埋深；
(2)从2016年至2021年这6年中任取3年，该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份数为，求的分布列与数学期望．
附相关表数据：．
参考公式：，其中．
22.（本题12分）
已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．2022-2023 学年第二学期期末考试数学试题参考答案
1．C（考查一元二次不等式的解法和两集合的交集运算）
2
【详解】方法一：因为 N x x x 6 0 , 2 3, ，而M 2, 1,0,1, 2 ，
所以M N 2 ．故选：C．
方法二：因为M 2, 1,0,1, 2 ，将 2, 1,0,1,2代入不等式 x2 x 6 0，只有 2使不等式成立，所以
M N 2 ．故选：C．
2．C（考查全称命题的否定）
2
【详解】命题 p : x R, x 2 2 6 ，则 p是： x0 R, x0 2 6故选：C.
3．D（考查共轭复数的求法）
【详解】 z在复平面对应的点是 ( 1, 3)，根据复数的几何意义， z 1 3i，
由共轭复数的定义可知， z 1 3i .
故选：D
4、A（考查函数定义域的求法）
【详解】因为函数 f 2x 1 的定义域为[ 2，2]，所以 2 x 2，所以 3 2x 1 5，
2
所以 3 x2 3 5，解得 2 2 x 2 2 ，所以函数 g x f (x 3)的定义域为 2 2，2 2 ，
故选：A
5．C（考查函数的对称性和周期性）
【详解】因为函数的图像关于直线 x=2对称，所以 f (x) f( x 4)，
所以 f (x 4) f ( x 4 4) f ( x) f (x)所以 f (x 8) f (x 4 4) f (x 4) f (x)，
所以函数的周期是 8,所以 f (2018) f (2016) f (2) f (0) 2018 0 2018 .故选 C
6．C(考查利用导数解决函数的单调性问题）
x 1 x 1
【详解】依题可知， f x ae 0在 1,2 上恒成立，显然 a 0，所以 xe ，
x a
设 g x xex ,x 1,2 ，所以 g x x 1 ex 0，所以 g x 在 1,2 上单调递增，
g x g 1 e 1 1 1，故 e ，即 a e ，即 a 的最小值为 e 1．
a e
故选：C．
答案第 1页，共 9页
{#{QQABIQIEogAAAAJAARgCAQFCCAKQkBCAAKgOBAAMsAAAiQFABAA=}#}
7．C（考查抽象函数的单调性问题）
【详解】对任意x ， x2 R有 f x1 x1 2 f x1 f x2 1，令 x1 x2 0，得 f 0 1.
令 x1 x， x2 x，得 f 0 f x f x 1.
整理得 f x 1 f x 1 f x 1 ，所以 f（-x）+1=-【f（x）+1】。故 f x 1为奇函数.
故选：C
8．C（考查条件概率的求法）
【详解】记第一次取出的数为 m，第二次取出的数记为 n，
则 { m,n |m,n N*,m 10,n 10,m n}，
A { m,n | n,k N*,m 2k,k 5,n 10,m n}，
B { m,n |m,k N*,n 3k,m 10,k 3,m n}，
所以 AB (2,3), (2,6), (2,9), (4,3), (4,6), (4,9), (6,3), (6,9), (8,3), (8,6), (8,9), (10,3), (10,6), (10,9) ，
所以n 90,n A 45,n AB 14，
n A
45
n
AB
P A ,P AB 14
n 90 n 90，
所以 P B A P(AB) 14 P(A) 45 .
故选：C
9．BD（考查两函数相等的判断）
【详解】 f x x 1 2 x 1，函数定义域为 R， g x x 1，定义域为 R，是相等函数.
x 1 0
f x x2 1定义域为 , 1 1, ，g x x 1 x 1定义域满足 ，即 x 1,
x 1 0
，故不
是相等函数.
f x x 1， g t t 1，定义域都是 R，解析式相同，是相等函数.
x2f x x，定义域为 R， g x 定义域为 x x 0 ，不是相等函数.
x
故选：BD.
10.AC(考查正态分布的性质)
答案第 2页，共 9页
{#{QQABIQIEogAAAAJAARgCAQFCCAKQkBCAAKgOBAAMsAAAiQFABAA=}#}
.【详解】因为 N 6,4 ，且P m 2 P 2m 1 ，
m 2 2m 1
所以 6，解得m 3．
2
P 4 10 P 6 2 6 0.6827 0.9545 2 2 0.8186．
2
故选：AC．
11．ABCD(考查利用基本不等式求有关最值问题)
【详解】对于 A因为 x 0，y 0，且 x 3y xy，则 xy x 3y 2 3xy ，可得 x（y xy 2 3 ，） 0
解得 xy 2 3或 xy 0（舍去）则 xy 12，当且仅当 x 6， y 2取等号故最小值为12，
1 3
故 A正确； 对于 B因为 x 0， y 0，且 x 3y xy，则 1y x ，
则 y 2
x 3y (x 3y)( 1 3) x 3 3 9y 6 2 x 9y
，当且仅当 x 6， 取等号
12
y x y x y x
故最小值为12，故 B正确；
对于 C
，当且仅当 x y 4取等号，
3x y (3x y)( 1 3) 3x 3y 3x 3y 9 1 10 2 16
y x y x y x
所以不等式 t 2 6t 3x y恒成立，转化为 t 2 6t 16，解得 8 t 2，故 C正确；
1 3
对于 D因为 x 0， y 0， 1，则 x 3， y 1y x ，
14 2y 14 2y 1
14 2y 3y 14 2y y 1t
2 2
y 4 6 6
将不等式变形得到 恒成立， x 3 3 3
x 3 3y 1
当 y 4时，取等号，故 t 6，D正确．
故选：ABCD．
12．ABD（考查有关概率、期望的计算）
1
【详解】小明每步向上 1级与向上 2级的概率都是 ， X 2 22 表示跨 2步到达第 2级台阶，
1
2
1
所以每步向上 1个台阶， P X 2 2 ，故 A正确；
2 4
1 1 2X 12的所有可能取值为 2，3，4， P X 2 2 ， P X 2 34 C
1
2 2
，
2
答案第 3页，共 9页
{#{QQABIQIEogAAAAJAARgCAQFCCAKQkBCAAKgOBAAMsAAAiQFABAA=}#}
P X 4 1
2
1 1 1 1
2 ，所以 E X 2 2 3 4 3 ，故 B正确；
2 4 4 2 4
X 4 6表示跨 4步到达第 6级台阶，所以有 2步每步向上 1个台阶，
2 2 1
4
3
有 步每步向上 个台阶， P X 4 6 C24 ；
2 8
X 4 7表示跨 4步到达第 7级台阶，所以有 1步向上 1个台阶，有 3步每步向上 2个台阶，
4
P X 4 7 C3
1 1
4 ，故 C错误；
2 4
5
由题意n 5,10 ，X5 10表示跨 5步到达第 10 1 1级台阶，所以每步向上 2个台阶，P X 5 10 ，
2 32
X 6 10表示跨 6步到达第 10级台阶，所以有 2步每步向上 1个台阶，有 4步每步向上 2个台阶，
P X 1
6 15 1 7 35
6 10 C2
6 ，以此类推可得 P X 7 10 C47 ，
2 64 2 128
8 9
P X 8 10
1 7 1 9
C6 8 ， P X 9 10 C8
2 9
，
64 2 512
10
1 1 P X 10 35P X10 10 ，其中2 1024 7
最大，故 D正确．
128
故选：ABD．
21 1 9
13 ( ． 考查二项式系数和二）【详解】解：由题意可得，C3 6n Cn ，解得n 9，所以 x 展开式的16 2 x
通项为
r 3r
T C rx 9 r ( 1 r
) x 2 C r ( 1 )r
9 3
x 2r 1 9 9 ，由9 r 0得， r 6，所以常数项为第七项T7 (
1
)6C 6 21
．2 2 2 2 9 16
21
故答案为：
16
4
14． （考查基函数的性质、对数的运算）
3
1 log 3 0 3 4【详解】 4 ， 0 log4 log4 1，4 4 3
3 3 4 4
函数 f(x)是奇函数,当 x∈(0,1)时, f (x) 4x , 则 f (log4 ) f ( log4 ) f (log ) .4 4 4 3 3
答案第 4页，共 9页
{#{QQABIQIEogAAAAJAARgCAQFCCAKQkBCAAKgOBAAMsAAAiQFABAA=}#}
4
故答案为：
3
15． , 1 （考查已知函数的单调性求字母系数的取值范围）
a 0
2
【详解】当 x 2时， f x ax x 1， f x 在 2, 上单调递减， 1 ，
2 2a
a 1≤ ；当 x 2时， f x ax 1单调递减， a<0，又 f x 是 R 上的单调递减函数，
4
a 22 2 1 a 2 1， a 1，
综上所述，实数 a的取值范围是 , 1 .
故答案为： , 1
16.（考查利用导数求参数的取值范围）
x x
x 2 2
【详解】不等式 e e x a x x ln x e化为 aln x ax e2 0 e，即 a ln x a ln e x e 2 0 ，
x x
ex ex x2 . e x 1 e
x
a ln e 0 t x 0 x 1 e
x
所以 设 ，则 t ，令 t 0,则 0，解得 x 1，
x x x x2 x2
1
当0 x 1 t 时， x 0，t x e单调递减；当 x 1时，t x 0，t x 单调递增；所以 t x t 1 e .
1
f t t a lnt e2 t e f t 1 a t a令 ，则 t e .
t t
当0 a e 2时， f t 0， f t 单调递增；所以 f t f e e a e 0，解得 a e e2，故0 a e
满足条件；当 a e时，当 e t a时， f t 0，当 t a时， f t 0，
f t 在 e,a 上单调递减； f t 在 a, 上单调递增；所以 f t f a a aln a e2 0min ，
设 g a a a ln a e2 a e ，则 g a lna 0，所以 g a 在 e, 上单调递减，
g e2 e2 e2 ln e2 e2 0 g a g e2又 ，所以 ，所以 e a e2，
2
综上所述，a 的取值范围为 0,e .
17．（考查等差数列通项公式、前 n项和公式、错位相减法求数列前 n项和）
解：( ) × 设公差为 d，由 = ， = ，得 + = ， + = ，解得 = = ，
所以 = ． ......5 分
答案第 5页，共 9页
{#{QQABIQIEogAAAAJAARgCAQFCCAKQkBCAAKgOBAAMsAAAiQFABAA=}#}
( ) = =
= ，从而有：
+ ( + ) +
+
+ + = ( ) + ( ) + + (
) =
=
故数列{ }的前 项和为 ． ......10 分
18.（考查向量的数量积、正弦函数的最值、三角形面积公式）
【详解】（1）依题意， f x cos x sin x cos 2x 1 1 f (x) 1 ，即 sin 2x cos 2x ，
2 2 2
2 π π π
所以 f (x) sin 2x ，当 2x 2kπ,k Z，2 4 4 2
x π kπ k Z y f x 2即 ， 时， 取最大值 ； 。。。。。5分
8 2
（2）由（1）及 f A 1 2 π 1得： sin 2A ，即 sin
2A π 2 ，2 4 2 4 2
π π π 5π π 3π 7π
由 0 A ，则 2A
π π
，因此， 2A ，则 A ，而 A B ，有 B ，所以
2 4 4 4 4 4 4 12 3
C π (A B) 5π ，
12
2sin πBC AC
在 ABC中，由正弦定理 得， AC
BC sin B
3π 6，sin A sin B sin A sin
4
sinC 5π π π 6 2 sin sin ，
12 4 6 4
ABC S 1 AC BC sin C 1 2 6 6 2 3 3所以 的面积为 . 。。。。。。12分
2 2 4 2
80 2
19.（考查概率、独立性检验）【详解】（1）由题得南方会员中喜欢有机水果A的概率 P1 ；80 40 3
40 1
北方会员中喜欢有机水果A的概率为 P2 ，40 40 2
2 1
所以南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为 3 ， 2 ． ......5分
（2）零假设H0：假设喜欢有机水果A与会员的区域无关；
200 (80 40 40 40) 2 2 50 5.556 5.024 x ，
120 80 120 80 9 0.025
根据小概率值 0.025的独立性检验，H0不成立，
答案第 6页，共 9页
{#{QQABIQIEogAAAAJAARgCAQFCCAKQkBCAAKgOBAAMsAAAiQFABAA=}#}
即认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关. ......12分
20．（考查一元二次方程根的分布问题）
【详解】设函数 f (x) 8x 2 (m 1)x (m
m 1
7) ，方程有两根设为 x1, x2，对称轴 x ，由16
(m 1)2 32(m 7) 0解得m 9或m 25
0
m 1
（1）由题意可得 x1+x2 0 7 m 9或m 25 ......3分
8
x1x
m 7
2
0
8
0
x +x m 1（2）由题意可得 1 2 0 m 1 ......6分
8
x x m 7 1 2
0
8
0
（3）由题意可得 m 27f ......9分 (2) 0
0
f (0) 0
（4）由题意可得 f (2) 0 7 m 9或 25 m 27 ......12分
0 m 1 2
16
21．（考查回归直线、随机变量的分布列、期望的求法）
1 t 1 2 3 4 5 6 7 y
164.01 7
【详解】（ ） 4， 23.43， y t 631.26，
7 7 i ii 1
7
t 2i t = (1 4)2 (2 4)2 (3 4)2 (4 4)2 (5 4)2 (6 4)2 (7 4)2 28，
i 1
b 631.26 7 23.43 4所以 0.885， a y b t 23.43 0.885 4 26.97，
28
所以所求线性回归方程为 y 0.885t 26.97 .
当 t 9时， y 0.885 9 26.97 19.005（米）.
所以预测 2023年河北平原地区地下水位埋深为19.005米. 。。。。。5分
（2）因为 25.74 25.22 0.52 0.5， 25.22 24.95 0.27 0.5，
24.95 23.02 1.93 0.5， 23.02 22.69 0.33 0.5，
22.69 22.03 0.66 0.5， 22.03 20.36 1.67 0.5，
所以从 2016年至 2021年这 6年中，每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过 0.5米的年
答案第 7页，共 9页
{#{QQABIQIEogAAAAJAARgCAQFCCAKQkBCAAKgOBAAMsAAAiQFABAA=}#}
份有 2016,2018,2020,2021，共 4个年份，
X 的所有可能取值为1, 2,3，
C1C2 2 1 3P(X 1) 1 C C 3 C 1 4 23 ， P(X 2)
4 2
3 ， P(X 3)
4
2 ，C6 5 C6 5 C6 5
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3
.
1 3 1
P
5 5 5
E(X ) 1 1 2 3 3 1 2 ......12分
5 5 5
22．（利用导数求函数的单调区间、证明不等式）
【详解】（1）因为 f (x) a ex a x，定义域为R ，所以 f x aex 1，
当 a 0时，由于 ex 0 x，则 aex 0，故 f x ae 1 0恒成立，所以 f x 在R 上单调递减；
a 0 f x aex当 时，令 1 0，解得 x lna，
当 x ln a时， f x 0，则 f x 在 , ln a 上单调递减；
当 x ln a时， f ' (x) 0，则 f x 在 ln a, 上单调递增；
综上：当 a 0时， f x 在R 上单调递减；
当 a 0时， f x 在 , ln a 上单调递减，在 ln a, 上单调递增.
。。。。。。6分
（2）方法一：
由（1）得， f x f ln a a e ln a a ln a 1 a2 ln amin ，
要证 f (x) 2 ln a
3
2，即证1 a ln a 2 ln a
3 1
2，即证 a ln a 0恒成立，
2 2 2
1 2
令 g a a2 ln a a 0 ，则 g a 2a 1 2a 1 ，2 a a
令 g a 0 0 2，则 a ；令 g a 0，则 a 2 ；
2 2
2 2
所以 g a 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 2
答案第 8页，共 9页
{#{QQABIQIEogAAAAJAARgCAQFCCAKQkBCAAKgOBAAMsAAAiQFABAA=}#}
2
2 2
所以 g a 1 2min g 2 2 ln ln 2 0 ，则
g a 0恒成立，
2 2
所以当 a 0时， f (x) 2 ln a
3
恒成立，证毕. 。。。。。。12分
2
方法二：
h x ex令 x 1，则 h x ex 1，
由于 y ex x在R 上单调递增，所以 h x e 1在R 上单调递增，
又 h 0 e0 1 0，
所以当 x 0时， h x 0；当 x 0时， h x 0；
所以 h x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，
故 h x h 0 0，则 e x x 1，当且仅当 x 0时，等号成立，
f (x) a ex a x aex a2 x ex ln a因为 a2 x x ln a 1 a2 x，
当且仅当 x ln a 0，即 x lna时，等号成立，
f (x) 3 3 1所以要证 2 ln a ，即证 x ln a 1 a2 x 2 ln a ，即证 a2 ln a 0，
2 2 2
2
g a a2 1令 ln a a 0 1 2a 1，则 g a 2a ，
2 a a
令 g a 0，则0 2 a ；令 g a 0，则 a 2 ；
2 2
2 2
所以 g a 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 2
2
所以 g a g 2 2 1min ln
2
ln 2 0 ，则 g a 0恒成立，
2 2 2 2
3
所以当 a 0时， f (x) 2 ln a 恒成立，证毕. 。。。。。。12分。
2
答案第 9页，共 9页
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