第二十一章一元二次方程暑假预习自测题2023--2024学年人教版九年级数学上册（含解析）

第二十一章 一元二次方程 暑假预习自测题（含答案解析） 人教版九年级数学上册
一、选择题
1．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0
2．一元二次方程的二次项系数是（　　）
A． B． C． D．
3．设是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B．2018 C． D．2022
4．若关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知一元二次方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若是一元二次方程的两个根.则的值为（　　）
A．3 B．10 C． D．
7．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为1和-1，则的值为（　　）.
A．-1 B．1 C．2 D．-2
8．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
10．一个容器盛满纯果汁5升，第一次倒出一部分果汁后加满水，第二次又倒出同样体积稀释过的果汁，再加满水，此时容器中的纯果汁剩下4升．设每次倒出x升，根据题意列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若m是方程的一个根，则的值为　 　.
12．关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是　 　.
13．已知关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则　 　.
14．方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是　 　．
三、计算题
15．用适当的方法解下列方程
（1）；
（2）.
四、解答题
16．关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
17．已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值.
18．若 为方程 的一个正根， 为方程 的一个负根，求a+b的值．
19．已知关于x的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根．
20．已知关于x的一元二次方程的两根、满足，求k的值．
21．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数
22．解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄.
23．已知三个连续正整数的平方和为50 ，求这三个正整数．
24．印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”你能解决这个问题吗？
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：把代入一元二次方程得，
解得，
而，
的值为.
故答案为：B.
【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a-1≠0，据此可得a的值.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴
＝
＝
＝.
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系可得a+b=-1，ab=-2020，将待求式变形为ab-(a+b)+1，然后代入计算即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，k为非负整数，
∴4-4（k-2）＞0，k-2≠0
解之：k＜3且k≠2，
∵k为非负整数，
∴k=0，1，
∴符合条件的k的个数为2个.
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义可知k-2≠0，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，再根据k为非负整数，可确定出k的值.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：，
方程移项得：x2+4x=3，
配方得：x2+4x+4=7，
即（x+2）2=7.
故答案为：C.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴，
由根与系数的关系可得：.
故答案为：D.
【分析】根据根与系数的关系可得x1x2=，据此解答.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可知，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-b=1-1=0，x1x2=c=-1，求出b、c的值，然后根据有理数的乘方、减法法则进行计算.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：设邀请个队，每个队都要赛(x-1)场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得．
故答案为：D．
【分析】：设邀请个队，每个队都要赛场，根据“计划安排15场比赛”直接列出方程即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x 1）文，依题意得：3（x 1）x＝6210，
故答案为：A.
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x 1）文，根据单价乘以数量=总价列出方程即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：设每次倒出x升，则第一次倒出后还有纯果汁升，果汁浓度为，第二次倒出x升，倒出纯果汁升，
∵两次倒出后，容器中的纯果汁剩下4升，
∴，
整理，可得：．
故答案为：A
【分析】设每次倒出x升，则第一次倒出后还有纯果汁升，果汁浓度为，第二次倒出x升，倒出纯果汁升，根据“两次倒出后，容器中的纯果汁剩下4升”列出方程即可.
11．【答案】2026
【解析】【解答】解：是方程的一个根，
，，
则
，
故答案为：.
【分析】将x=m代入方程可得，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
12．【答案】4
【解析】【解答】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
则，解得，
故答案为：4
【分析】由于关于x的方程有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.
13．【答案】-4
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m-2，然后根据x1+x2+x1x2=1可得关于m的方程，求解即可.
14．【答案】10
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0，
得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
∴等腰三角形周长=4+4+2＝10．
故答案为：10．
【分析】首先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边关系判断符合题意的三边，再把三边相加即可求解.
15．【答案】（1）解：
；
（2）解：
或
.
【解析】【分析】（1）首先将含有x的项移至左边可得x2-4x=1，给两边同时加上4并对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x-2)2=5，接下来利用直接开平方法进行计算；
（2）将右边的式子移至左边，然后提取公因式2x+3可得(2x+3)(x-1)=0，据此求解.
16．【答案】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，
2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，
所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，
解得b＝1，c＝﹣2．
【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，再利用待定系数法可得b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，最后求出b、c的值即可。
17．【答案】解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0，
∴a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
由于a﹣2≠0，
故a＝﹣2.
【解析】【分析】将x=1代入一元二次方程中可得关于a的方程，求解即可.
18．【答案】解： ，
，
，
为方程 的一个正根，
，
，
，
，
，
为方程 的一个负根，
，
．
【解析】【分析】利用直接开平方及配方法求出a、b的值，再代入计算即可。
19．【答案】证明：由题意可知．
∵，
∴方程总有两个实数根．
【解析】【分析】将求出b2-4ac的值，再根据其值可得到b2-4ac的符号，由此可证得结论.
20．【答案】解：根据题意，得
， ．
∵
∴ ，
解得 ．
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数，可表示出x1+x2，x1x2的值，再将等式转化为（x1+x2）2-2x1x2=5，然后整体代入，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
21．【答案】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故答案为：6．
【解析】【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意列出方程，再求解即可。
22．【答案】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为 ，依题意得：
，
解得 ， ，
当 时， ，（不合题意，舍去），
当 时， （符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为36岁.
【解析】【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3，根据“个位数字的平方等于他去世时的年龄”可得10(x-3)+x=x2，求出x的值，然后结合去世时的年龄大于30进行验证.
23．【答案】解：设中间的数为x（x是正整数），其他两个数为 ，
根据题意得：
，
整理得： ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
时， ， .
答：这三个连续正整数为3，4，5.
【解析】【分析】设中间的数为x（x是正整数），其他两个数为 ， ，根据“ 三个连续正整数的平方和为50 ”列出方程求解即可。
24．【答案】解：设有x个猴子，由题意列方程得：
，
整理得：x2﹣64x+768＝0，
分解因式得：（x﹣16）（x﹣48）＝0，
解得：x1＝16，x2＝48，
答：这群猴子的总数为16只或48只．
【解析】【分析】 设有x个猴子， 可得其中一队猴子有（x）2只，另一队猴子有12只，根据两队猴子之和等于猴子的总个数，列出方程并解之即可.