勃利县中2022-2023学年高二下学期期末考试
数学答案
单选1.C 2.B 3.C 4. B 5. A 6. A 7.A 8.C
多选9. AD 10. ABC 11.ABD 12. BC
填空：13. 14. 9 15. (－∞，－1] 16. 6＋4
解答题：
(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，x∈R，∴f(－x)＝－f(x)，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)．∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.
(2)∵对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，∴1－k<22x对x≥0恒成立，∴1－k<(22x)min.∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，∴k>0.∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．
18. (1)由x＋－2>0，得>0.
①当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为{x|x>0}；
②当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
③当0
1＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
g(x)单调递增．
∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上单调递增，最小值为f(2)＝lg .
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2.
设h(x)＝3x－x2＝－＋，则h(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h(2)＝2.∴a∈(2，＋∞)．
19. (1)由折线图可知统计数据(x，y)共有6组，即(1，11)，(2，13)，(3，16)，(4，15)，(5，20)，(6，21)．
计算可得
＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，
＝×(11＋13＋16＋15＋20＋21)＝16，
∴＝＝＝2，
＝－＝16－2×3.5＝9.
∴月利润y关于月份x的经验回归方程为＝2x＋9，
当x＝12时，＝2×12＋9＝33.
故预测甲公司2022年12月份的利润为33百万元．
(2)由题意知，A型号的新型材料可使用1个月、2个月、3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数A＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35.B型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数B＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7.
∵A20.(1)设该选手恰好选中1道“智慧生活题”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)易知ξ ＝0，1，2，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(1)由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4 000元的有70户，经济损失超过4 000元的有30户，补全表格数据如下：
项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计
捐款超过500元 60 20 80
捐款不超过500元 10 10 20
总计 70 30 100
零假设H0：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元无关，
则χ2＝≈4.762>3.841＝x0.05.
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为H0不成立，即认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关．
(2)由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4 000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B，
P(ξ＝0)＝C30××＝，
P(ξ＝1)＝C31××＝，
P(ξ＝2)＝C32××＝，
P(ξ＝3)＝C33××＝.
从而ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝np＝3×＝0.9，D(ξ)＝np(1－p)＝3××＝0.63.
22.(1)设在常规模式，甲第i局胜出为事件Ai(i＝1，2，3)，乙第i局胜出为事件Bi(i＝1，2，3)，在“FAST5”模式，每局比赛甲获胜为事件C，4局比赛决出胜负记为事件D.
则P(D)＝P(A1A2CC＋A1A2A3C＋B1B2＋B1B2B3)＝×＋×＋×＋×＝.
(2)X的可能取值为4，5，6，7，
P(X＝4)＝×＋×＝；
P(X＝5)＝×＋C32×××＋C31×××＋×＝；
P(X＝6)＝×＋C32×××C21×＋C31×××＋×＋C32×××C21×＋C31×××＝；
P(X＝7)＝×＋C32×××C31×＋C31×××C32×＋×＋×＋C32×××C31×＋C31×××C32×＋×＝，
所以，随机变量X的分布列为：
X 4 5 6 7
P
X的数学期望为E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝.勃利县中2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
(时间：120分钟 满分：150分 )
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一．单选题：（共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A． B．S
C．T D．Z
2．“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( )
A. B．4
C. D．2
4．从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有( )
A．120种 B．480种
C．720种 D．840种
5．若(3－)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．－540 B．－162
C．162 D．540
6．已知A学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校，然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B学校抽取到去市里上公开课的是男老师的情况下，从A学校抽到去B学校的老师也是男老师的概率是( )
A. B.
C. D.
7．随机变量X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，
X 2 4 6
P a b c
则P(X＝2)＝( )
A. B. C. D.
8．已知a－5＝ln <0，b－4＝ln <0，c－3＝ln <0，则a，b，c的大小关系是( )
A．bC．a二．多选题：（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A．y＝＋1 B．y＝|ln x|
C．y＝ D．y＝
10．设f(x)为定义在R上的函数，且f(x)－f(－x)＝0，f(x＋1)－f(x＋3)＝0，f(x)在[0，1]上单调递减，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的最小正周期为2
C．f(3)＜f(4)
D．函数f(x)在[2 021，2 022]上单调递减
11．已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．012．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角(图1)中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第n行所有数之和为2n；图2是英国生物学家高尔顿设计的模型——高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第n行第m个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
填空题：(本大题共4小题，每题5分，共计20分)
13．已知f(x5)＝lg x，则f(100)＝________．
14．一个盒子中有大小形状完全相同的m个红球和6个黄球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为X，若E(X)＝3，则m＝________，P(X＝2)＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
15．若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________．
16．随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，P(X>12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，则＋的最小值为________．
四、解答题：（本大题共6小题，共计70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17（10分）．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围
18（12分）．已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
19．(12分)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2022年连续六个月(1～6月)的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．
(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月份x之间的关系，求y关于x的经验回归方程＝x＋，并据此预测该公司2022年12月份的利润；
(2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏的时间不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到如下频数统计表．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？(用频率估计概率)
材料类型 使用寿命
1个月 2个月 3个月 4个月 合计
A 20 35 35 10 100
B 10 30 40 20 100
参考数据：xi2＝91，xiyi＝371.
参考公式：在经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－.
20．(12分)每年9月第三个公休日是全国科普日．某校在全国科普日当天组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答(每道题被选中的概率相等)，设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．
(1)求该选手恰好选中1道“智慧生活题”的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望．
21．(12分)2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成[0，2 000]，(2 000，4 000]，(4 000，6 000]，(6 000，8 000]，(8 000，10 000]五组，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关；
项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计
捐款超过500元 60
捐款不超过500元 10
总计 100
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4 000元的户数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E(ξ)和方差D(ξ)．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
22．(12分)“T2钻石联赛”是国际乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：常规模式和“FAST5”模式．在前24分钟内进行的常规模式中，每局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式中，每局比赛均为5分制，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的每一局均采用“FAST5”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为.每局比赛结果相互独立．
(1)求4局比赛决出胜负的概率；
(2)设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望．