北师大版九年级上册第二章 一元二次方程：一元二次方程的根与系数的关系教学课件（17张PPT）

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第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．了解一元二次方程根与系数的关系．
2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
一、学习目标
我们前面学过了用公式法解一元二次方程，请同学们回忆一下一元二次方程的求根公式是什么？
答：一元二次方程的求根公式是 (b2-4ac≥0)．
二、复习引入
由求根公式我们很容易发现一元二次方程的根完全由它的系数a，b，c确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
二、复习引入
做一做 解下列方程：
（1）x2-2x+1=0； （2） ；
（3）2x2-3x+1=0．
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？你能证明你的猜想吗？
三、探究新知
（1） x2-2x+1=0
解：原方程可化为(x-1)2=0．
解得x1=x2=1．
∴x1+x2=2，x1x2=1．
三、探究新知
（2）
解：由原方程可得a=1，b= ，c = -1．
∴b2-4ac= -4×1×(-1)=12+4=16．
∴ ．
∴ ， ．
∴ ，
三、探究新知
（3）方程两边同除以2，得 ．
配方，得 ，即
．
∴ ．∴x1=1，x2= ．
∴ ， ．
每个方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．
三、探究新知
猜想：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立．
证明：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两根：
， 　　　　　　　 ．
∴两根之和
x1+x2= ；
三、探究新知
两根之积x1·x2=
．
结论：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么x1+x2= ，x1x2= ．
三、探究新知
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0．
解：（1）这里a=1，b=7，c=6．
Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根分别是x1，x2，
那么x1+x2=-7，x1x2=6．
四、典例精析
（2）2x2-3x-2=0．
解：这里a=2，b=-3，c=-2．
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根分别是x1，x2，
那么x1+x2= ，x1x2=-1．
四、典例精析
1．已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a，b的值分别是（ ）．
A．a=-3，b=1 B．a=3，b=1
C． ，b=-1 D． ，b=1
2．已知m，n是方程x2+ +1=0的两根，则代数式
的值为（ ）．
A．9 B．±3 C．3 D．5
五、课堂练习
D
C
3．若关于x的一元二次方程x2+(m2-9)x+m-1=0的两个实数根互为相反数，则m的值是__________．
4．设a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为_________．
5 ．已知方程x2-5x-6=0的根是x1和x2，求下列式子的值
（1） ；（2） ．
五、课堂练习
-3
2014
解：由一元二次方程根与系数的关系知：
x1+x2=5，x1x2 = - 6．
（1）原式=
；
（2）原式= ．
五、课堂练习
本节课我们学习了一元二次方程根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么x1+x2= ，x1x2= ．
六、课堂小结
再见