4.4探索三角形相似的条件（一）同步练习 2022-2023学年北师大版九年级数学上册（含答案）

4.4探索三角形相似的条件 （一）同步练习
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1 .在△ABC与△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝30°，
则以下条件，不能说明△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠A′＝30° B．∠C′＝60° C．∠C＝60° D．∠A′＝2∠C′
2 . 如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，
若线段DE=5，则线段BC的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
3 . 如图，为估算学校的旗杆的高度，
身高米的小红同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，
当她走到点处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，
此时测得，，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
4 . 如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，
镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，
小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，
铁塔AB的高度为（　　）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）
A．18m B．15m C．20m D．16m
如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：
先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，
由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．AB=24m B．MN∥AB
C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
6 ,如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．
已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，
则树高AB为（ ）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
7 . 如图，在中，，于点D，，，
则AD的长是（ ）
A．1. B． C．2 D．4
如图，交于点D，，，，，
则的长等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　 　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10 . 如图，在等边中，点D，E分别是上的点，
，则（ ）
A．3 B． C． D．
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，∠A＝∠D＝80°，∠B＝40°，∠F＝60°，则 ∽ ．∠E＝_______°
如图，在 中，点在上，与相交于点若：：，
则：______
如图，在中，点D为AC边上一点，
则CD的长为________
如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，
则小明的影子AM长为 _____ 米．
如图，在 中，点在上，与相交于点若：：，
则：_______
如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，
继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，
那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
三、解答题（本大题共有7个小题，共52分）
17．如图，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，求证：.
18 . 如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，
试说明△ACE∽△BAD．
19 . 如图，已知D为内一点，E为外一点，且，.
求证：.
如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，
在B和D处各立一根高米的标杆BC、DE，两杆相距30米，
测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，
并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
21．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△EAB∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．
22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB于D．
（1）求证：△ACB∽△ADE；
（2）求AD的长度．
23.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．
求证：AD·BC=AP·BP．
探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，
当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，
由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），
当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．
4.4探索三角形相似的条件 （一）同步练习（解答卷）
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1 .在△ABC与△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝30°，
则以下条件，不能说明△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠A′＝30° B．∠C′＝60° C．∠C＝60° D．∠A′＝2∠C′
【答案】C
2 . 如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，
若线段DE=5，则线段BC的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
3 . 如图，为估算学校的旗杆的高度，
身高米的小红同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，
当她走到点处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，
此时测得，，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【答案】C
4 . 如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，
镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，
小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，
铁塔AB的高度为（　　）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）
A．18m B．15m C．20m D．16m
【答案】B
如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：
先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，
由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．AB=24m B．MN∥AB
C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
【答案】D
6 ,如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．
已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，
则树高AB为（ ）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
【答案】D
7 . 如图，在中，，于点D，，，
则AD的长是（ ）
A．1. B． C．2 D．4
【答案】D
如图，交于点D，，，，，
则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(　 　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
10 . 如图，在等边中，点D，E分别是上的点，
，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，∠A＝∠D＝80°，∠B＝40°，∠F＝60°，则 ∽ ．∠E＝_______°
【答案】40
如图，在 中，点在上，与相交于点若：：，
则：______
【答案】：
如图，在中，点D为AC边上一点，
则CD的长为________
【答案】2
如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，
则小明的影子AM长为 _____ 米．
【答案】5
如图，在 中，点在上，与相交于点若：：，
则：______
【答案】：
如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，
继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，
那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【答案】B
三、解答题（本大题共有7个小题，共52分）
17．如图，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，求证：.
证明：在△ACD与△BCE中，
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠D＝∠E＝90°，
又∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴.
18 . 如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，
试说明△ACE∽△BAD．
证明：∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD．
19 . 如图，已知D为内一点，E为外一点，且，.
求证：.
证明：，理由如下，
∵，，
∴，
∴，
变形得，
又∵，
∴，即，
∴.
如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，
在B和D处各立一根高米的标杆BC、DE，两杆相距30米，
测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，
并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
解：由题意知，设AH=x，BH=y，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴，，
∴3x=1.5×（y+3），
5x=1.5×（y+30+5）
解得x=24m．
答：旗杆AH的高度为24m．
21．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△EAB∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．
(1)证明：∵DF⊥AE,
∴
∴
又∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB.
∴△ABE∽△DFA.
(2)根据题意可得：AE=10，
,
∴,
∴ ,
.
22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB于D．
（1）求证：△ACB∽△ADE；
（2）求AD的长度．
证明：（1）证明：∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠EDA=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADE；
（2）解：∵△ACB∽△ADE，
∴，
∴，
∴AD=4．
23.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．
求证：AD·BC=AP·BP．
探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，
当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，
由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），
当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．
解：（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴ADBC=APBP；
（2）结论ADBC=APBP仍成立；
证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴ADBC=APBP；
（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3
∴DE==4，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5-4=1，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（1）（2）的经验得AD BC=AP BP，
又∵AP=t，BP=6-t，
∴t（6-t）=5×1，
∴t=1或t=5，
∴t的值为1秒或5秒．