课时提升作业(三十三)
用计算器求锐角三角函数值
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.用计算器求tan 26°,cos 27°,sin 28°的值,它们的大小关系是 ( )
A.tan 26°B.tan 26°C.sin 28°D.cos 27°【解析】选C.∵tan 26°≈0.488,
cos 27°≈0.891,
sin 28°≈0.469.
故sin 28°2.用科学计算器计算锐角α的三角函数值时,能直接计算出的三角函数值是
( )
A.tanα B.sinα
C.cosα D.以上都可以
【解析】选D.tanα,sinα,cosα在科学计算器上都能直接找到按键,能直接计算.
3.用科学计算器算得①293=24389;②≈7.615773106;③sin 35°≈
0.573 576 436;④若tanα=5,则锐角α≈0.087488663°.其中正确的是
( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
【解析】选A.前3个利用计算器计算可得是正确的,最后一个tan 45°=1,
tanα=5,说明α的度数应大于45°,所以错误,故选A.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.先用计算器探究cos21°,cos37 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )°,cos48°的值,再按由小到大的顺序排列应是 .
【解析】用计算器计算可得:cos 21°≈0.933 6,cos 37°≈0.798 6,
cos 48°≈0.669 1,比较可得:按由小到大的顺序排列应是cos 48°答案:cos 48°5.如图,在山坡AB上种树 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),已知∠C=90°,∠A=28°,AC=6m,则相邻两树的坡面距离AB≈ m.(精确到0.1m)
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【解析】AB=≈≈6.8(m).
答案:6.8
6.在207国道襄阳段改造工程中,需沿AC方 ( http: / / www.21cnjy.com )向开山修路(如图所示),为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=1000m,∠D=50°.为了使开挖点E在直线AC上,那么DE= m.
(供选用的三角函数值:sin50°=0.7660,cos50°=0.6428,tan50°=1.192)
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【解析】∵∠ABD=140°,
∴∠DBE=180°-140°=40°.
∵∠D=50°,
∴∠E=180°-∠DBE-∠D=180°-40°-50°=90°,
∴=cosD,
即=0.6428,
解得DE=642.8m.
答案:642.8
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知tan(x+50°)=2.3211,求锐角x(精确到1′).
【解析】设x+50°=α,则tanα=2.3211,
在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出),按下列顺序依次按键:
,显示结果为66.69216253.再按键: ,显示结果为66°41′31.79″.
∴α≈66°42′,所以x+50°≈66°42′,x≈16°42′.
【培优训练】
8.(14分)应用计算器算一算,分别比较各个三角函数值的大小,并说明有什么规律.
(1)sin20°,sin40°,sin60°,sin80°.
(2)tan10°,tan30°,tan50°,tan70°.
【解析】(1)∵sin20°≈0.3420,sin40°≈0.6428,
sin60°≈0.8660,sin80°≈0.9848.
∴在锐角范围内,正弦函数值随着角度的增大而增大.
(2)∵tan10°≈0.1763,tan30°≈0.5774,tan50°≈1.192,tan70°≈2.747,
∴在锐角范围内,正切函数值随着角度的增大而增大.
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测 量
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上的绳子垂到地面还多了1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好与地面接触,则旗杆的高度为 ( )
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A.11m B.12m
C.13m D.14m
【解析】选B.由题意得,AB为旗杆的高,A ( http: / / www.21cnjy.com )C=AB+1,BC=5m,求AB的长.已知AB⊥BC,根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=(AB+1)2-25,解得,AB=12m.所以旗杆的高度为12m.
2.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )外任选一点C,连结AC,BC分别取其三等分点M,N,量得MN=38m,则AB的长是( )
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A.76m B.104m
C.114m D.152m
【解析】选C.∵CM∶CA
=CN∶CB=1∶3,
∵∠C=∠C,∴△CMN∽△CAB,
∴MN∶AB=CM∶CA=1∶3.
∵MN=38m,∴AB=114m.
3.如图,路灯距地面8 m,身高1.6 m ( http: / / www.21cnjy.com )的小明从距离灯底(点O)20 m的点A处,沿AO所在直线行走12 m到达点B时,小明身影长度 ( )
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A.变长了2.5 m B.变短了2 m
C.变短了2.5 m D.变短了3 m
【解析】选D.如图,
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∵OF⊥OM,DA⊥OM,
∴△ADM∽△OFM,∴=,
即=,解得AM=5 m.
同理可得,△BNE∽△ONF,
∴=,即=,
解得BN=2 m,∴AM-BN=5-2=3(m).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,阳光从教室的窗户 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户下檐到地面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高AB为 m.
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【解析】∵BE∥AD,
∴△CBE∽△CAD,∴EC∶CD=BC∶AC,
∴1.2∶3=1∶AC,∴AC=2.5m,
∴AB=AC-BC=1.5m.
答案:1.5
5.如图,在河两岸分别有A,B两村,现 ( http: / / www.21cnjy.com )测得三点A,B,D在一条直线上,A,C,E在一条直线上,若BC∥DE,DE=90m,BC=70m,BD=20m,那么A,B两村间的距离为
m.
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【解析】由题意可得,△ABC∽△ADE,
∴=,即=,
解得AB=70m.
答案:70
6.如图,王华晚上由路灯A下的B处 ( http: / / www.21cnjy.com )走到C处时,测得影子CD的长为1m,继续往前走3m到达E处时,测得影子EF的长为2m,已知王华的身高是1.5m,那么路灯A的高度AB= m.
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【解析】由题意可得,当王华在CG处时,Rt△DCG∽Rt△DBA,即=,
当王华在EH处时,Rt△FEH∽Rt△FBA,
即==,∴=.
∵CG=EH=1.5m,CD=1m,
CE=3m,EF=2m,
设AB=xm,BC=ym,
∴===,
即=,
即2(y+1)=y+5,
解得:y=3,则=,
解得,x=6.
即路灯A的高度AB=6m.
答案:6
三、解答题(共26分)
7.(12分)在长、宽都为4m,高 ( http: / / www.21cnjy.com )为4m的房间正中央的天花板上悬挂一只白炽灯泡,为了集中光线,加上了灯罩如图所示.已知灯罩深8cm,灯泡离地面3m,为了使光线能照在墙壁上的1m高处,问灯罩的直径应为多少
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【解析】连结DE,过A作AG⊥BC于F,并延长交DE于G,
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则△ABC∽△ADE.
∵房间的长、宽都为4m,高为4 m,
∴=,
又∵AG=3-1=2(m),∴=,
解得BC=0.16m.
答:灯罩的直径应为0.16m.
【培优训练】
8.(14分)如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=
O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.
(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长.
(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值,请说明理由.
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【解析】(1)由已知:AB∥OP,
∴△ABC∽△OPC.∴=,
又OP=l,AB=h,OA=a,
∴=,
解得:AC=.
(2)(DA+AC)是定值.
∵AB∥OP,
∴△ABC∽△OPC,
∴==,
即=,
即=.
∴AC=·OA.
同理可得:DA=·O′A,
∴DA+AC=(OA+O′A)=是定值.
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锐角三角函数
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2014·无锡滨湖中学质检)在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,则cosB的值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.∵tanA==,设a=4x,b=3x,则c=5x,∴cosB==.
【易错提醒】本题求比值时,既有直角边比直角边,也有直角边比斜边,对应关系较多,注意不要弄错.
2.(2013·连云港中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosA的值是
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.∵sin2A+cos2A=1,
∴cosA====.
3.(2013·邵阳中考)在△ABC中,若+=0,则∠C的度数是
( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选D.∵+=0,
∴sinA-=0,cosB-=0,
∴sinA=,cosB=,∠A=30°,∠B=60°,∴∠C=90°,故选D.
【变式训练】点M(-sin 60°,cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.∵sin 60°=,cos 60°=,
∴点M.
∴点M关于x轴的对称点的坐标是.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2014·重庆南开中学质检) ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=2AC,则sinA的值是 .
【解析】设AC=x,则AB=2x,∴BC=x,
∴sinA==.
答案:
5.(2013·南通中考 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ))如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是 .
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【解析】由已知可得AB=2CD=4,sinB==.
答案:
【变式训练】(2012·扬州中考)如图,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的F处,如果=,那么tan∠DCF的值是 .
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【解析】由折叠可知CF=BC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB,∠D=90°.
∵=,∴=.
设DC=2x,则CF=3x,在Rt△CDF中,
DF===x,
∴tan∠DCF===.
答案:
6.(2013·内江中考)在△ABC中,已知∠C=90°,sinA+sinB=,则sinA-sinB= .
【解题指南】解答本题的两个关键:
1.把sinB变成cosA.
2.应用sin2A+cos2A=1.
【解析】由题意得sinA+cosA=,又sin2A+cos2A=1,
所以2sinA·cosA=,
所以(sinA-cosA)2=sin2A+cos2A-2sinA·cosA=1-=,
即sinA-sinB=sinA-cosA
=±=±=±.
答案:±
三、解答题(共26分)
7.(12分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AB=2∶3,求∠A的三个三角函数值.
【解析】如图所示,
BC∶AB=2∶3,
设BC=2x,则AB=3x,
由勾股定理得,
AC==
=x,
由锐角三角函数的定义可知,
sinA===;
cosA===;
tanA===.
【培优训练】
8.(14分)已知:如图,在△ABC中,∠C =90°,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,DE=3,BC=9.
(1)求的值.
(2)若BD=10,求sinA的值.
【解析】(1)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
又∵DE=3,BC=9,
∴==.
(2)∵BD=10,
∴AB=AD+BD=AD+10,
由(1)得=,即=,解得AD=5,
∵∠C =90°,DE∥BC,∴∠AED=∠C=90°,
∴sinA==.
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解直角三角形(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2014·重庆一中质检)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBA=,那么AD的长为 ( )
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A.2 B. C. D.1
【解析】选A.设AD=x,作DE⊥AB于E,则DE=AD·sinA=x,在Rt△DEB中,
∵tan∠DBE==,∴BE=5DE=x,∴BD2=DE2+BE2=13x2,在Rt△DCB中,BD2=CD2+BC2,又CD=6-x,BC=6,∴(6-x)2+62=13x2,解得x1=2,x2=-3(舍),
∴AD=2.
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2.(2013·广州中考)如图, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )四边形ABCD中,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tanB= ( )
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A.2 B.2 C. D.
【解析】选B.如图所示,∵CA是∠BCD的平分线,
∴∠1=∠2.
∵AD∥BC,∴∠1=∠3,从而∠3=∠2.
∵AD=6,∴CD=AD=6.
作DE⊥AC于E,
可知AE=CE.
∵∠1=∠2,∠BAC=∠DEC,
∴△ABC∽△EDC.∴=,
∵AE=CE,CD=6,
∴BC=12.
在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC=8,
所以,tanB=2.
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3.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°, ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连结CD,若BD=1,则AC的长是 ( )
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A.2 B.2
C.4 D.4
【解析】选A.∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴AD=CD.∴∠ACD=∠A=30°.
又∵∠ACB=60°,∴∠BCD=30°.
在Rt△BCD中,∵tan∠BCD=,
∴BC===,
在Rt△ABC中,∵∠A=30°,
∴AC=2BC=2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=,则菱形ABCD的面积为
cm2.
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【解题指南】解答本题的两个关键
1.菱形的对角线互相垂直,能构成直角三角形.(连结AC,对角线交点为O)
2.在Rt△AOB中,由tan∠ABD=得出OA,OB的关系.
【解析】连结AC交BD于点O,
则AC⊥BD,AO=OC,BO=DO.
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∵tan∠ABD=,
∴可设BO=3xcm,
AO=4xcm,
则AB=5xcm,
又∵菱形ABCD的周长为20cm,
∴4×5x=20(cm),解得:x=1,
故可得AO=4cm,BO=3cm,AC=2AO=8cm,
BD=2BO=6cm,
S菱形ABCD=AC×BD=24(cm2).
答案:24
5.(2013·泰安中考)如图,某海监船向 ( http: / / www.21cnjy.com )正西方向航行,在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C处,望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为
50n mile/h,则A,B之间的距离为 n mile(取≈1.7,结果精确到
0.1n mile).
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【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°,
∴△DAB是等腰直角三角形,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=AB.设DE=x,则AB=2x,
在Rt△CDE中,∠DCE=30°,则CE=DE=x,
在Rt△BDE中,∠DBE=45°,则DE=BE=x,
由题意得,CB=CE-BE=x-x=25,解得:x=≈≈35.7,
∴AB=2x=2×35.7=71.4(n mile)
答案:71.4
【变式训练】如图,在东西方向的海岸线上 ( http: / / www.21cnjy.com )有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,2h后相遇在点P处,问乙货船每小时航行 n mile.
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【解析】过点P作PE⊥AB,由题知AP=8n mile,
( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△PAE中,
∵∠PAE=30°,
∴PE=AP=4n mile,在Rt△PBE中,
∵∠PBE=45°,∴PB=PE=4n mile,
∴乙货船的速度为=2(n mile/h).
答案:2
6.如图,A市北偏东30°方向有一 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )旅游景点M,在A市北偏东60°的公路上向前行800m到C处,测得M位于C的北偏西15°,则景点M到公路AC的距离MN为
m(结果保留根号).
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【解析】过点C作CP⊥AM于P.
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∵AC=800m,∠MAC=30°,∠ACM=180°-(90°-30°+15°)=105°,
∴∠AMC=45°,
∴CP=PM=400m,
AP=400m,
∴AM=(400+400)m,
∵AM·PC=AC·MN,∴MN=(200+200)m.
答案:(200+200)
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD.
(1)求sin∠DBC的值.
(2)若BC长度为4cm,求梯形ABCD的面积.
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【解析】(1)∵AD=AB,∴∠ADB=∠ABD.
∵AD∥CB,∴∠DBC=∠ADB=∠ABD.
∵在梯形ABCD中,AB=CD,
∴∠ABD+∠DBC=∠C
=∠ABD+∠ADB=2∠DBC.
∵BD⊥CD,∴3∠DBC=90°,∴∠DBC=30°.
∴sin∠DBC=.
(2)过D作DF⊥BC于F,
( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△CDB中,CD=BC×sin∠DBC=2(cm),BD=BC×cos∠DBC=2(cm),
在Rt△BDF中,DF=BD×sin∠DBC=(cm),
∴S梯=(2+4)×=3(cm2).
【培优训练】
8.(14分)(2013·南充中 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )考)如图,公路AB为东西走向,在点A的北偏东36.5°方向上,距离5km处是村庄M;在点A的北偏东53.5°方向上,距离10km处是村庄N(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.74).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求M,N两村之间的距离.
(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.
【解析】(1)如图,过点M作CD∥AB,NE⊥AB.
在Rt△ACM中,∠CAM=36.5°,AM=5,
∴sin36.5°==0.6,
∴CM=3,AC=4.
在Rt△ANE中,∠NAE=90°-53.5°=36.5°,AN=10,
∴sin36.5°==0.6,
∴NE=6,AE=8.
在Rt△MND中,MD=5,ND=2.
∴MN==(km).
(2)作点N关于AB的对称点G,连结MG交AB于点P.点P即为站点.连结PN.
∴PM+PN=PM+PG=MG.
在Rt△MDG中,MG===5(km),
∴最短距离为5km.
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解直角三角形(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·绵阳中考)如图,在 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )两建筑物之间有一旗杆,高15m,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.20m B.10m
C.15m D.5m
【解析】选A.∵点G是BC中点,EG∥AB,
( http: / / www.21cnjy.com )
∴EG是△ABC的中位线,
∴AB=2EG=30m,
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,
则BC=ABtan∠BAC=30×=10(m),
在Rt△AFD中,AF=BC=10m,∠FAD=30°,
则FD=AFtan∠FAD=10×=10(m),
综上可得:CD=AB-FD=20m.
2.(2013·德阳中考 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ))如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°,看这栋高楼底部C的俯角为60°,热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为 ( )
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A.40m B.80m
C.120m D.160m
【解析】选D.过A点作AF⊥BC于点F,则AF=120m.
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在Rt△ABF中,∠BAF=30°,
∴BF=AF·tan30°=40m.
在Rt△ACF中,∠CAF=60°,
∴CF=AF·tan60°=120m,
∴BC=BF+CF=160m.
【变式训练】(2012·福州中考) ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )如图,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,如果此时热气球C处的高度CD为100m,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点的距离是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.200 m B.200m
C.220m D.100(+1)m
【解析】选D.由题知∠ACD=60°,∴CD=100m,
∴AD=CD·tan∠ACD=100m.由题知∠BCD=45°.∵CD=100m,
∴CD=BD=100m,AB=AD+BD=100(+1)m.
3.如图,为测量某物体AB的高度 ( http: / / www.21cnjy.com ),在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20m,到达点C,再次测得A点的仰角为60°,则物体AB的高度为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.10m B.10 m
C.20m D.m
【解析】选A.∵在直角三角形ADB中,∠D=30°,
∴=tan 30°.∴BD==AB.
∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°,
∴BC==AB.
∵CD=20m,
∴CD=BD-BC=AB-AB=20m.
解得AB=10m.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,为测量旗杆AB的高度,在 ( http: / / www.21cnjy.com )与B距离为8m的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°,那么旗杆的高度约是 m(结果保留整数).(参考数据:
sin 56°≈0.829,cos 56°≈0.559,tan 56°≈1.483)
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【解题指南】弄清已知边BC,已知∠C,及要求边AB之间的三角函数关系是解题的关键.
【解析】由题意知BC=8m,∠C=56°,故AB=BC·tan 56°≈8×1.483≈12(m).
答案:12
5.如图,在高出海平面100m的悬 ( http: / / www.21cnjy.com )崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC= m.
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【解析】由题意得AC⊥BC于点C,且AC=100m.过点A的直线与BC平行,所以
∠ABC=45°.由tan∠ABC=,即tan45°=1=,所以BC=100m.
答案:100
6.(2013·荆州中考) ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )如图,在高度是21m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD= m(结果可保留根号).
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【解析】如图,不妨设过点A的水平线交CD于点E,由题意,知ABDE为正方形,则DE=AE=AB=21m;由tan∠CAE=,得=,解得CE=7.∴CD=DE+CE=7+21m.
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答案:(7+21)
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·恩施中 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )考)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为
45°,此时,他们刚好与“香底”D在同一水平线上,然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110m,到达B处,测得“香顶”N的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1m,参考数据:≈1.414,≈1.732).
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【解题指南】1.作BC⊥AD,BE⊥DN,构造直角三角形.
2.在Rt△ABC中,求AC,BC的长.
3.设BE=x,在Rt△NBE中,NE用x表示.
4.在Rt△AND中,根据AD=DN列方程.
【解析】过点B分别作BC⊥AD,BE⊥ND ( http: / / www.21cnjy.com ),垂足分别为C,E.设BE=x,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴BC=AB=55,AC=AB=55,
( http: / / www.21cnjy.com )
∴AD=55+x.
在Rt△NBE中,∠BEN=90°,∠NBE=60°,
tan∠NBE=,
∴NE=BE,即NE=x,∴DN=x+55.
∵在Rt△AND中,∠ADN=90°,∠NAD=45°,
∴AD=DN,∴55+x=x+55,解得x=55.
∴DN=55+55≈150(m).
答:“一炷香”的高度约为150m.
8.(8分)(2014·河北模拟)如图,某飞机于空中探测狼牙山的高度,在点A处飞机的飞行高度是AF=2748m,从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°,飞机继续以相同的高度飞行732m到B处,此时观测目标C的俯角是60°,求狼牙山的高度CD.(参考数据:≈1.414,≈1.732).
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【解析】设CE=xm,∵∠CAE=45°,∴AE=CE=xm.
∵∠CBE=60°,∴BE==m.
∵AB=732m,∴x-=732.
解得x≈1732,即CE=1732m.
∴CD=AF-CE=2748-1732=1016(m).
答:狼牙山的高度约是1016m.
【易错提醒】山高是求CD的长,就是求AF与CE的差,不能误认为是求CE的长.
【培优训练】
9.(10分)小强在教学楼的点P处观察对面的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°,测得办公大楼底部点B的俯角为60°,已知办公大楼高46m,CD=10m.求点P到AD的距离(用含根号的式子表示).
【解析】过点P作PM⊥AD于点M,延长BC交PM于点N,如图,
( http: / / www.21cnjy.com )
则∠APM=45°,∠BPM=60°,NM=10m.
设PM=xm,
在Rt△PMA中,AM=PM·
tan∠APM=xtan 45°=xm.
在Rt△PNB中,BN=PN·
tan∠BPM=(x-10)tan 60°
=(x-10)(m).
由AM+BN=46m,得x+(x-10)=46,
解得x=,
∴点P到AD的距离为m.
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解直角三角形(第3课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2014·北京二十四中质检)如图 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),已知一商场自动扶梯的长l为10m,该自动扶梯到达的高度h为6m,自动扶梯与地面所成的角为θ,则坡比等于 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
【解析】选A.由勾股定理得水平距离为8,所以坡比等于.
【易错提醒】弄清坡比是垂直距离与水平距离的比值,不要错算为水平距离与斜坡长的比.
2.(2014·兰州模拟)如图,在 ( http: / / www.21cnjy.com )平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.5m B.6m C.7m D.8m
【解析】选A.由株距为4m,坡度为0.7 ( http: / / www.21cnjy.com )5可求出相邻两树间的垂直距离为3m,由勾股定理得相邻两树间的坡面距离为5m.
3.小明想测量一棵树的高度,他发现树的影 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为8m,坡面上的影长为4m.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1m、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2m,则树的高度为( )
A.(6+)m B.12m
C.(4+2)m D.10m
【解析】选A.延长BD与CE交于点A,过点D作DF⊥AE,垂足为点F,在Rt△DEF中,DE=4m,∠DEF=30°,则DF=2m,EF=2m.根据同一时刻,标杆与影长的比值为定值,可得=,解得AF=4m,AC=CE+EF+AF=8+2+4=(12+2)m,=,解得BC=(6+)m.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2014·鄂尔多斯东胜区一中质 ( http: / / www.21cnjy.com )检)如图,在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树,高AB,当太阳光与水平线成60°时,测得该树在斜坡上的树影BC的长为6m,则树高AB= m.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】根据坡角和太阳光与水平线的夹角可得∠ACB=∠CAB=30°,
故AB=BC=6 m.
答案:6
5.如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶 ( http: / / www.21cnjy.com )宽5 m,坝高20 m,斜坡AB的坡度为1∶2.5,斜坡CD的坡度为1∶2,则坝底宽AD等于 m.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形.
( http: / / www.21cnjy.com )
∴BC=EF=5m,BE=CF=20m,斜坡AB的坡度为1∶2.5,斜坡CD的坡度为1∶2,
∴AE=2.5×BE=50m,FD=2CF=40m.
∴AD=AE+EF+FD=95(m).
答案:95
6.如图,某公园入口处原有三级 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )台阶,每级台阶高为18 cm,深为30 cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是 cm.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】如图,过点B作BH⊥CA,交CA的延长线于H.
( http: / / www.21cnjy.com )
由题意得BH=3×18=54(cm).
因为斜坡BC的坡度i=1∶5,
所以BH∶CH=1∶5,
解得CH=270cm.
所以CA=CH-30×2=210(cm).
所以AC的长度是210cm.
答案:210
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·河南中考)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162m增加到176.6m,以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°,求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1m,参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan 68°≈2.48,≈1.73)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】在Rt△ABE中,∠BAE=68°,BE=162m,
∴AE===65.32(m).
在Rt△CDE中,∠DCE=60°,DE=176.6m,
∴CE==≈102.08(m),
∴AC=CE-AE=102.08-65.32=36.76≈36.8(m).
答:工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC为36.8m.
【变式训练】(2012·丽水中考)学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC=
30°,斜坡AB长为12m,为方便学生 ( http: / / www.21cnjy.com )行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD的坡比是1∶3(即为CD与BC的长度之比),A,D两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】在Rt△ABC中,∠ABC=30°,
AC=AB=6m,
BC=ABcos∠ABC=12×=6(m),
∵斜坡BD的坡比是1∶3,
∴CD=BC=2m,
AD=AC-CD=(6-2)m.
答:开挖后小山坡下降的高度AD为(6-2)m.
8.(8分)(2014·郑州模拟)如图,某 ( http: / / www.21cnjy.com )校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为
45°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°.已知山坡AB的坡度i=1∶,AB=10m,AE=15m,求这块宣传牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1m.参考数据:≈1.414,≈1.732)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】过B作BF⊥CE于F,BG⊥AE于G.
∵AB的坡度i=1∶,∴=,
即tan∠BAG=,∴∠BAG=30°.
∵AB=10,∴BG=AB=5,AG=AB=5,
∴EG=AE+AG=15+5,
∴BF=15+5.在Rt△BCF中,∠CBF=30°,
CF==5+5,
在Rt△ADE中,∠DAE=45°,
∴DE=AE=15.
∴DF=DE-EF=15-5=10,
∴CD=CF-DF=5+5-10=5-5≈3.7(m).
答:这块宣传牌CD的高度约为3.7m.
【培优训练】
9.(10分)(2013·营口中考)如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=90m,且B,C,D在同一条直线上,山坡坡度为(即tan∠PCD=).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求该建筑物的高度(即AB的长).
(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号形式)
【解析】(1)过点P作PE⊥BD于E,PF⊥AB于F,
又∵AB⊥BC于B,
∴四边形BEPF是矩形,
∴PE=BF,PF=BE.
∵在Rt△ABC中,BC=90m,∠ACB=60°,
∴AB=BC·tan60°=90m.
答:建筑物的高度为90m.
(2)设PE=xm,则BF=PE=xm,
∵在Rt△PCE中,tan∠PCD==,
∴CE=2x,∵在Rt△PAF中,∠APF=45°,AF=AB-BF=90-x,
PF=BE=BC+CE=90+2x.
又∵AF=PF,∴90-x=90+2x,
解得:x=30-30.
答:人所在的位置点P的铅直高度为(30-30)m.
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直角三角形的性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=10,则PD等于 ( )
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A.10 B.15 C.5 D.2.5
【解题指南】解答本题的三个关键
1.根据角平分线、平行线找出30°角.
2.用含30°角的直角三角形性质求点P到OB的距离.
3.应用角平分线的性质求PD的长.
【解析】选C,∵PC∥OA,
∴∠CPO=∠POA,
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠AOP=∠BOP=15°,
∴∠BOP=∠CPO=15°,
∴∠BCP=30°,
过点E作PE⊥BO交BO于E,则∠PCE=30°.
在Rt△PCE中,PE=PC=5,
又∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,
∴PD=PE=5.
2.(2014·泉州一中质检) ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BN,CM为高,P为BC的中点,连结MN,MP,NP,则结论:①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;
④AN∶AB=AM∶AC,一定正确的有 ( )
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A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【解析】选C.①∵BN,CM为高,∴∠BMC=∠BNC=90°.
∵P为BC的中点,∴NP=MP,故①正确.
②∵BN,CM为高,∴∠BNA=∠CMA=90°,∵∠A=∠A,
∴△BNA∽△CMA,∵∠BAC=60°,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,∴△AMN也是等边三角形,
∴∠AMN=∠ABC=60°,∴MN∥BC,故②正确.
③由题意知∠ABN=30°,∴AB=2AN,BN≠2AN,故③错误.
④∵△BNA∽△CMA,∴AN∶AB=AM∶AC,故④正确.
3.(2014·贵阳模拟)如图,在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是 ( )
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A.3 B.2
C. D.1
【解析】选B.如图,
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在Rt△FDB中,
∵∠F=30°,∴∠ABC=60°,
在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=30°,
在Rt△AED中,∵∠A=30°,DE=1,∴AE=2,
连结EB,∵DE是AB的垂直平分线,
∴EB=AE=2,∴∠EBD=∠A=30°,
∵∠ABC=60°,∴∠EBC=30°.
∵∠F=30°,∴EF=EB=2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知:如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AC,垂足分别为D,E,则= .
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【解析】∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴∠DAC=30°,∠C=60°,
Rt△ACD中,∠DAC=30°,则AC=2CD,
Rt△CED中,∠C=60°,即CD=2CE,
∴AC=4CE,即AE=3CE,故=.
答案:
5.(2014·长沙模拟)在△ABC中,∠ACB=90°,M是AB的中点,E,F分别是AC,BC延长线上的点,且CE=CF=AB,则∠EMF的度数为 .
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【解析】如图,连结CM,∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=AB,∵CE=CF=AB,∴CM=CE=CF,∴∠F=∠CMF,∠E=∠CME,∵∠F+∠CMF+∠MCF+∠E+∠CME+∠MCE
=360°,
又∠ACB=∠ACF=∠BCE=90°,∴∠CMF+∠CME=45°,即∠EMF=45°.
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答案:45°
【易错提醒】∠F与∠E的大小 ( http: / / www.21cnjy.com )不是固定的,随Rt△ABC的不同而变化,而∠EMF的度数不应随∠F与∠E的大小不同而改变,因此,△ABC是等腰直角三角形的情况下∠EMF的值也是题目的答案.
6.(2014·北京四中质检)如图,在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )角坐标系中,矩形OABC的对角线AC平行于x轴,边OA与x轴正半轴的夹角为30°,OC=2,则点B的坐标为 .
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【解析】过点B作BE⊥Ox于E,
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴,边OA与x轴正半轴的夹角为30°,
∴∠CAO=30°,∴AC=4,∴OB=AC=4,∴OE=2,∴BE=2,
则点B的坐标是(2,2).
( http: / / www.21cnjy.com )
答案:(2,2)
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,已知△ABC是等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ),过点B作BD⊥BC,过A作AD⊥BD,垂足为D,若△ABC的周长为12,求AD的长.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵BD⊥BC,在等边三角形ABC中,∠ABC=60°,
∴∠ABD=90°-60°=30°.
又∵AD⊥BD,即△ABD是直角三角形,
∴∠ABD所对的直角边AD是斜边AB的一半.
∵等边三角形ABC的周长为12,
∴边长AB=4.∴AD=AB=2.
【方法技巧】等边三角形是特殊的等腰三角形, ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形中的边和角的关系往往成为解决问题的重要条件,所以解题时要注意挖掘等边三角形中所隐含的条件;含30°角的直角三角形的性质为求线段长度及证明线段倍分关系提供了重要的方法.
( http: / / www.21cnjy.com )
8.(8分)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,M是AB上一点,CM=AB,D是BM的中点,
求证:CD⊥AB.
【证明】∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=AB,
∵CM=AB,∴CM=CB,∴△CBM是等腰三角形.
又∵D是BM的中点,∴CD⊥AB.
【变式训练】如图,在Rt△ABC中,∠ACB ( http: / / www.21cnjy.com )=90°,CD是AB边上的中线,将△ADC沿AC边所在的直线折叠,使点D落在点E处,得四边形ABCE.求证:EC∥AB.
( http: / / www.21cnjy.com )
【证明】∵∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,∴CD=AB=AD,由折叠知CD=CE,AD=AE,
∴CD=CE=AD=AE,∴四边形ADCE是菱形,
∴EC∥AB.
【培优训练】
9.(10分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到D点,使AD=AB,点E,F分别为边BC,AC的中点.
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(1)求证:DF=BE.
(2)过点A作AG∥BC,交DF于G.求证:AG=DG.
【证明】(1)如图,连结AE,
∵∠BAC=90°,E为BC的中点,∴AE=BC,
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BE=BC,∴AE=BE,
∵EF为△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=AB,而AD=AB,
∴EF∥AD,EF=AD.∴四边形AEFD为平行四边形,
∴DF=AE,∴DF=BE.
(2)∵AE=BE,∴∠1=∠2,由(1)得AE∥DF,
∴∠2=∠D,∵AG∥BC,∴∠1=∠DAG,∴∠D=∠DAG,∴AG=DG.
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第24章
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为在△ABC中,∠C=9 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )0°,所以根据同角三角函数的关系:sin2A+cos2A=1,
得cosA==.
2.(2013·济南中考)已 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻的两条平行直线间的距离均为h,矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上,放置方式如图所示,AB=4,BC=6,则tanα的值等于 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
【解析】选C.如图,作AM⊥l4于点M,作CN⊥l4于点N,
( http: / / www.21cnjy.com )
则AM=h,CN=2h.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABM+∠α=90°,
又∵∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠BAM=∠α,
∴BM=AM·tanα=htanα,
∴△ABM∽△BCN,=,
∴BM=·CN,即htanα=·2h,
∴tanα=.
【变式训练】(2012·内江中 ( http: / / www.21cnjy.com )考)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.如图,连结CD交AB于O,设小正方形的边长为1,
( http: / / www.21cnjy.com )
根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,
CO==,
AC==,
所以sinA===.
3.(2014·无锡滨湖中学质检 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ))如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,P点是BD的中点,若AD=6,则CP的长为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.3 B.3.5
C.4 D.5
【解析】选A.∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,∴∠A=∠ABD=30°,
∴BD=AD=6,
∵P点是BD的中点,∴CP=BD=3.
4.为了测量被池塘隔开的A,B两点之 ( http: / / www.21cnjy.com )间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:
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①BC,∠ACB;②CD ( http: / / www.21cnjy.com ),∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【解析】选C.①在直角三角形ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )利用正切的定义可求出AB;②两次利用正切的定义,求出AB的长;③可通过三角形相似求出AB的长;④无法求出.
5.(2013·杭州中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,则斜边上的高等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.通过sinA=,AB=4,可得出sinB=,BC=,如图,过点C作AB边的垂线交AB边于点D,则根据
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sinB==,BC=,得出CD=.
6.兴义市进行城区规划,工程师需测 ( http: / / www.21cnjy.com )某楼AB的高度,工程师在D处用高2m的测角仪CD,测得楼顶端A的仰角为30°,然后向楼前进20m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60°,楼AB的高度为 ( )
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A.(10+2)m B.(20+2)m
C.(5+2)m D.(15+2)m
【解析】选A.设AG=xm,
由题意知∠ACG=30°,∠AFG=60°,
则∠CAF=30°=∠ACF,所以CF=AF.
在Rt△AFG中,∠AGF=90°,
CF=AF====20,
解得x=10.所以AB=10+2.
所以楼AB的高度为(10+2)m.
7.某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向,且相距20n mile,客轮以60n mile/h的速度沿北偏西60°方向航行h到达B处,那么tan∠ABP= ( )
A. B.2 C. D.
【解析】选A.∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向,且相距20n mile,∴PA=20,∵客轮以60n mile/h的速度沿北偏西60°方向航行h到达B处,
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∴∠APB=90°,BP=60×=40,
∴tan∠ABP==.
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.(2014·宜宾梅硐中学质检)计算:2cos60°-tan45°= .
【解析】2cos60°-tan45°=2×-1=0.
答案:0
9.(2014·岳阳模拟)如图是屋架设计图的 ( http: / / www.21cnjy.com )一部分,其中BC⊥AC,DE⊥AC,点D是AB的中点,∠A=30°,AB=7.4m,则BC=
m,DE= m.
【解析】∵BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB=3.7,
∵DE⊥AC,∴DE∥BC,∵点D是AB的中点,
∴DE=BC=1.85.
答案:3.7 1.85
10.如图,将45°的∠AOB按下面 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的方式放置在一把刻度尺上:定点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在刻度尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 cm.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
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【解析】因为tan 45°=1,O ( http: / / www.21cnjy.com )B与尺上沿的交点B在刻度尺上的读数恰为2cm,所以尺子的宽度为2cm,又因为tan 37°≈0.75,所以OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2÷0.75≈2.7.
答案:2.7
11.(2013·龙东中考)等腰△ABC底角的余弦是,一边长为12,则等腰△ABC的面积为 .
【解析】如图,过点A作BC边上的高AD,∵AB=AC,∴BD=BC.在Rt△ABD中,cosB==,设BD=2x,则AB=3x,(1)当BC=12时,∴2x=6,x=3,∴AB=3x=9,
9+9>12,能构成三角形,根据勾股定理可得AD===3,此时,S△ABC=BC·AD=×12×3=18.(2)当AB=12时,
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∴3x=12,x=4,∴BD=2x=8.BC=16,12+12>16,能构成三角形,根据勾股定理可得AD===4,此时S△ABC=BC·AD=×16×4=32.
答案:18或32
【易错提醒】等腰三角形中已知的边(或角)若没明确是底或腰(底角或顶角)时,要分两种情况讨论.
12.已知,在△ABC中,AC=a,AB与BC所在直线成45°角,AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为,则AC边上的中线长是 .
【解析】分两种情况:
①∠ABC为45°时,如图1.
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作△ABC的高AD,过点E作EF⊥BC于F,BE为AC边的中线.
∵在直角△ACD中,AC=a,cosC=,∴CD=a,AD=a.∵在直角△ABD中,
∠ABD=45°,∴BD=AD=a,由中位线定理知EF=AD=a,DF=CD=a,
∴BF=BD+DF=a.
在Rt△BEF中,由勾股定理,得BE===a;
②∠ABC为135°时,如图2.
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作△ABC的高AD,过点E作EF⊥BC于F,BE为AC边的中线.
∵在直角△ACD中,AC=a,cosC=,∴CD=a,AD=a.
∵在直角△ABD中,∠ABD=45°,
∴BD=AD=a,由中位线定理知
EF=AD=a,DF=CD=a,
∴BF=DF-BD=0.
此时点B与点F重合,∴BE=a.
综上可知AC边上的中线长是a或a.
答案:a或a
三、解答题(共47分)
13.(11分)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,已知∠BDC=45°,
BD=10,AB=20.求∠A的度数.
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【解析】在Rt△BDC中,因为sin∠BDC=,
所以BC=BD·sin∠BDC
=10×sin 45°=10×=10.
在Rt△ABC中,因为sinA===,
所以∠A=30°.
14.(12分)(2013·丽水中考)一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图位置时,AB=3m,已知木箱高BE=m,斜面坡角为30°,求木箱端点E距地面AC的高度EF.
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【解析】连结AE,在Rt△ABE中,已知AB=3,BE=,∴AE==2,
又∵tan∠EAB==,∴∠EAB=30°,
在Rt△AEF中,∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°,
∴EF=AEsin∠EAF=2×sin60°=2×=3.
答:木箱端点E距地面AC的高度EF是3m.
15.(12分)(2014· 沈阳模拟)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm (结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.732).
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【解析】过点B作BF⊥CD于F,作BG⊥AD于G.
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在Rt△BCF中,∠CBF=30°,
∴CF=BC·sin 30°=30×=15.
在Rt△ABG中,∠BAG=60°,
∴BG=AB·sin60°=40×=20.
∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6(cm).
答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.
【知识归纳】利用解直角三角形解决实际问题时的一般思路
首先要准确理解以下概念: ( http: / / www.21cnjy.com )俯角、仰角、坡度、坡角、方向角、方位角等;其次将实际问题的图形转化为平面图形,将已知条件转化为平面示意图中边、角或它们之间的关系,如果平面示意图不是直角三角形,可添加适当辅助线,构造直角三角形,最后解直角三角形.
16.(12分)(2013 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )·乌鲁木齐中考)九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的两座古塔A,B的距离,他们在河这边沿着与AB平行的直线l上取相距20m的C,D两点,测得∠ACB=15°,∠BCD=120°,∠ADC=30°,如图所示,求古塔A,B之间的距离.
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【解析】过点C作CE⊥AD于点E,如图.
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∵∠BCD=120°,∠ADC=30°,
∴∠COD=180°-120°-30°=30°=∠ADC,
∴CO=CD=20m.
∵∠BCD=120°,∠ACB=15°,∴∠ACF=45°,
∵AB∥CD,
∴∠CAB=∠ACF=45°,∠BAD=∠ADC=30°,
∴∠CAD=45°-30°=15°=∠OCA,
∴OA=OC=20m.
在Rt△CED中,由cos∠CDE=,得DE=CDcos∠CDE=20cos30°=10(m),故由CO=CD,CE⊥AD得OD=2DE=20(m).
∵AB∥CD,∴△ABO∽△DCO.∴=.
∴AB===,即古塔A,B之间的距离为m.
【一题多解】如图,作AE⊥CD,CF⊥AB,垂足分别为点E,F,则四边形AECF是矩形.
∵∠BCD=120°,∠ACB=15°,
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∴∠ACE=180°-120°-15°=45°,∴AE=CE.
∴四边形AECF是正方形,
设AE=CE=x,
在Rt△ADE中,∠ADC=30°,CD=20,
∵tan30°=,∴x=10+10.
∴AE=CE=AF=CF=x=10+10,
在Rt△BCF中,∠BCF=∠ACF-∠ACB=45°-15°=30°,CF=10+10.
∵tan30°=.∴BF=.
∴AB=AF-BF=(10+10)-=.
答:古塔A,B之间的距离为m.
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