内蒙古赤峰市2023年中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将该选项的序号按要求在答题卡上的指定位置涂黑．每小题3分，共42分）
1．（2023·赤峰）化简的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
2．（2023·赤峰）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·赤峰） 2023年5月19日是第13个“中国旅游日”．文化和旅游部公布的数据显示，今年“五一”假期国内游出游合计人次，同比增长．将数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·赤峰）如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
5．（2023·赤峰）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·赤峰） 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校1500名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（ ）
A．样本容量是
B．样本中C等级所占百分比是
C．D等级所在扇形的圆心角为
D．估计全校学生A等级大约有人
7．（2023·赤峰）已知，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
8．（2023·赤峰）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是（ ）
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
9．（2023·赤峰）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2023·赤峰）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·赤峰）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·赤峰）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·赤峰）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A． B． C． D．
14．（2023·赤峰）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（请把答案填写在答题卡的相应横线上．每小题3分，共12分）
15．（2020·阳新模拟）分解因式： = .
16．（2023·赤峰）方程的解为 ．
17．（2023·赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．
18．（2023·赤峰）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效；解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19．（2023·赤峰）（1） 计算：
（2）解不等式组：
20．（2023·赤峰）已知：如图，点M在的边上．
求作：射线，使．且点N在的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
③画射线．
④以点M为圆心，长为半径画弧，交射线于点N．
⑤画射线．
射线即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵平分．
∴ ，
∵，
∴ ，（ ）．(括号内填写推理依据)
∴．
∴．（ ）．(填写推理依据)
21．（2023·赤峰）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a b 51.4
乙班 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由：
（3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
22．（2023·赤峰）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元．
（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
（2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？
23．（2023·赤峰）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
（2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ，直线的解析式是 ．当时，x的取值范围是 ．
（3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．
24．（2023·赤峰）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
25．（2023·赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
（1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
26．（2023·赤峰）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．
（1）【探究一】
如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；
（2）【探究二】
在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；
（3）【探究三】
把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-(-20)=20，
故答案为：20.
【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，A错误；
B、该图形不是中心对称图形，B错误；
C、该图形是中心对称图形，C正确；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，D错误，
故答案为：C.
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数，n的值等于原数中整数部分的位数减1），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
4．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：，
，
，
数轴上表示实数的点可能是 点，
故答案为：B.
【分析】被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，找到与被开方数相邻近的平方数是解题关键.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误，
故答案为：A.
【分析】积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
6．【答案】C
【知识点】用样本估计总体；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B正确；
C、，C错误；
D、(人)，D正确，
故答案为：C.
【分析】样本除以其所占百分比得到的商就是样本容量；
样本除以样本容量得到的商就是其所占百分比；
D组人数在总人数所占百分比与D组对应的圆心角的度数所占百分比是一样的；
样本人数所占百分比乘以总人数得到结果即可.
7．【答案】D
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】先化简多项式，再整体代入变形后代数式的值，进行计算即可.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得，，
，四边形是平行四边形，
，
，，点是中点，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】先利用直角三角形的性质与相似三角形的性质求出四边形的边长，再计算四边形的周长与面积.
9．【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】先通分，再进行分式加减运算，然后化为最简分式.
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，合理运用定理找到角之间的关系是解题关键.
11．【答案】D
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图如下，
，
故答案为：D.
【分析】先利用树状图列出所有可能的结果，再计算概率.
12．【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】先移项，将常数项移到等式右边，再进行配方.
13．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥侧面展开图如下，的长度就是最短长度，作，
由题意可知，，
设，
，
，
，，
，，，
，
，
故答案为：B.
【分析】本题是关于最短路径的问题，利用圆锥侧面展开图找到最短路径，再进行计算即可.
14．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
四边形是菱形，
，
，
，
，正确；
由题意可得，
四边形是边长为5菱形，
，
，
，，
，
，正确；
，
，，
，
，
，正确；
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，错误，
故答案为：A.
【分析】本题是菱形的翻折问题，利用菱形的性质和折叠性质可判断正确；利用等腰三角形性质可以求出BQ的长度，判断正确；通过相似三角形的相似比可以求出BP的长度，判断正确；根据线段之比可判断BD、FQ是否平行.
15．【答案】x(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
=x(x+3)(x-3)
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可.
16．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，(舍去)
故答案为：x=4.
【分析】先去分母，再用因式分解法求方程的解，去分母时方程的每一项都要乘以公分母是本题的易错点.
17．【答案】9.9
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作，
，
千米，，
(千米)，
(千米)，
，
(千米)，
(千米)，
故答案为：9.9.
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，结合题意构造合适的直角三角形是解题关键.
18．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
把 代入 ，
得 ，
，
当时，，
，
当时，，
，，
，，
设直线的解析式为，
得，解得，
直线的解析式为，
设，
， ，
，
，
，
，
当时，，
，
在直线上找一点，使得，
，
设，
，
，(舍去)，
当时，，
，
综上所述，或，
故答案为：或.
【分析】本题的解题关键在于由角的倍数关系推断出等腰三角形，再利用距离公式求出点E坐标.
19．【答案】（1）解：原式=1-4+2×-（-1）+
=-3+1-+1+
=；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先计算零指数幂、负指数幂、三角函数、绝对值和化简二次根式，再进行实数运算.
(2)先分别求出各个不等式的解，再表示不等式组的解集.
20．【答案】（1）解：根据意义作图如下：射线即为所求作的射线．
（2）证明：∵平分．
∴，
∵，
∴，(等边对等角)．(括号内填写推理依据)
∴．
∴．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)
【知识点】等腰三角形的性质；作图-平行线；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】(1)先作的角平分线，再过点M作OB的平行线交角平分线于点N.
(2)本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和平行线的判定，熟练运用这些条件进行角之间的数量转换是解题关键.
21．【答案】（1）79；79；27
（2）解：乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好．
（3）解：获奖人数：（人）．
答：两个班获奖人数为42人．
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：(1)将甲班10名学生竞赛成绩从小到大排列：
70，71，72，78，79，79，85，86，89，91，
中位数；众数；
，
故答案为：79；79；27.
【分析】(1)将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数；
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.
(2)方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
(3)先计算样本中两班符合条件的学生各自所占比例，再乘以各班的人数，最后所得数据之和就是获奖总人数.
22．【答案】（1）解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元．
根据题意得：，
解得：；
答：甲种电子产品销售单价是元，乙种电子产品的单价为元．
（2）解：设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件．
根据题意得：．
解得：．
答：至少销售甲种电子产品万件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据条件所给的数量关系列出二元一次方程组，直接求解即可.
(2)根据条件所给的不等量关系列出一元一次不等式，再求出解集即可.
23．【答案】（1），
（2）；； 或
（3）解：是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴联立联立，解得或，
∴，，
∵
∴顶点，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；勾股定理的应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】(1) 矩形的顶点坐标分别是，，，，
在矩形内部， 在上， 在矩形外，
， 是矩形的''梦之点''，
故答案为： ， .
(2)如图，
反比例函数 图象是中心对称图形， 点 在图象上，
点 必在反比例函数图象上，
函数图象上的另一个''梦之点''H的坐标是 ，
设直线的解析式为 ，
得，解得，
直线的解析式为 ，
观察图象可得 当时， 或 ，
故答案为：；； 或 .
【分析】(1)利用图象判断点的位置.
(2)利用反比例函数的对称性求另一个梦之点；将点坐标代入解析式，利用待定系数法求解；观察图象，利用两函数交点坐标求自变量取值范围.
(3)利用方程组求两函数的交点，再通过勾股定理判断三角形的形状.
24．【答案】（1）证明：连接，，如图所示，
，为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是切线．
（2）解：连接，如图所示，
由（1）得，，
，
，
．
，
．
设则，
在中，，
．
在中，．
，
，
．
．
，
．
．
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形的应用
【解析】【分析】(1)本题考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定，利用定理转换角之间的数量关系，得到判定切线的条件.
(2)本题考查了解直角三角形的应用，利用三角函数表示出直角三角形的边长，再通过方程解出结果即可.
25．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：①；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：(2)观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
【分析】(1)先将列表中的有序数对表示在坐标系中，再用光滑的曲线连接.
(2)观察图象，根据表格所给信息可得到函数的对称轴，进而得到所需结果；
先将点坐标代入解析式，再利用待定系数法求出解析式.
(3)先表示出新的函数表达式，再将点B坐标代入表达式求解即可.
26．【答案】（1）证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上，
∴，
∴，
∴，
在与中
∴
∴
（2）证明：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵公共角，
∴；
（3）证明：∵是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)通过手拉手旋转全等模型和正方形的性质可以得到与的全等条件，再根据全等的性质求得结论.
(2)本题考查了正方形的性质和三角形的内角和，熟练转换角之间的关系是解题关键.
(3)根据题意构造手拉手旋转全等是解题关键，通过全等得到三角形相似的条件，再通过相似比得到结论.
1 / 1内蒙古赤峰市2023年中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将该选项的序号按要求在答题卡上的指定位置涂黑．每小题3分，共42分）
1．（2023·赤峰）化简的结果是（ ）
A． B．20 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-(-20)=20，
故答案为：20.
【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数.
2．（2023·赤峰）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，A错误；
B、该图形不是中心对称图形，B错误；
C、该图形是中心对称图形，C正确；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，D错误，
故答案为：C.
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3．（2023·赤峰） 2023年5月19日是第13个“中国旅游日”．文化和旅游部公布的数据显示，今年“五一”假期国内游出游合计人次，同比增长．将数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数，n的值等于原数中整数部分的位数减1），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
4．（2023·赤峰）如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：，
，
，
数轴上表示实数的点可能是 点，
故答案为：B.
【分析】被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，找到与被开方数相邻近的平方数是解题关键.
5．（2023·赤峰）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误，
故答案为：A.
【分析】积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
6．（2023·赤峰） 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校1500名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（ ）
A．样本容量是
B．样本中C等级所占百分比是
C．D等级所在扇形的圆心角为
D．估计全校学生A等级大约有人
【答案】C
【知识点】用样本估计总体；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B正确；
C、，C错误；
D、(人)，D正确，
故答案为：C.
【分析】样本除以其所占百分比得到的商就是样本容量；
样本除以样本容量得到的商就是其所占百分比；
D组人数在总人数所占百分比与D组对应的圆心角的度数所占百分比是一样的；
样本人数所占百分比乘以总人数得到结果即可.
7．（2023·赤峰）已知，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】先化简多项式，再整体代入变形后代数式的值，进行计算即可.
8．（2023·赤峰）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是（ ）
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得，，
，四边形是平行四边形，
，
，，点是中点，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】先利用直角三角形的性质与相似三角形的性质求出四边形的边长，再计算四边形的周长与面积.
9．（2023·赤峰）化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】先通分，再进行分式加减运算，然后化为最简分式.
10．（2023·赤峰）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，合理运用定理找到角之间的关系是解题关键.
11．（2023·赤峰）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图如下，
，
故答案为：D.
【分析】先利用树状图列出所有可能的结果，再计算概率.
12．（2023·赤峰）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】先移项，将常数项移到等式右边，再进行配方.
13．（2023·赤峰）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥侧面展开图如下，的长度就是最短长度，作，
由题意可知，，
设，
，
，
，，
，，，
，
，
故答案为：B.
【分析】本题是关于最短路径的问题，利用圆锥侧面展开图找到最短路径，再进行计算即可.
14．（2023·赤峰）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，
四边形是菱形，
，
，
，
，正确；
由题意可得，
四边形是边长为5菱形，
，
，
，，
，
，正确；
，
，，
，
，
，正确；
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，错误，
故答案为：A.
【分析】本题是菱形的翻折问题，利用菱形的性质和折叠性质可判断正确；利用等腰三角形性质可以求出BQ的长度，判断正确；通过相似三角形的相似比可以求出BP的长度，判断正确；根据线段之比可判断BD、FQ是否平行.
二、填空题（请把答案填写在答题卡的相应横线上．每小题3分，共12分）
15．（2020·阳新模拟）分解因式： = .
【答案】x(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
=x(x+3)(x-3)
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可.
16．（2023·赤峰）方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，(舍去)
故答案为：x=4.
【分析】先去分母，再用因式分解法求方程的解，去分母时方程的每一项都要乘以公分母是本题的易错点.
17．（2023·赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．
【答案】9.9
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作，
，
千米，，
(千米)，
(千米)，
，
(千米)，
(千米)，
故答案为：9.9.
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，结合题意构造合适的直角三角形是解题关键.
18．（2023·赤峰）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
把 代入 ，
得 ，
，
当时，，
，
当时，，
，，
，，
设直线的解析式为，
得，解得，
直线的解析式为，
设，
， ，
，
，
，
，
当时，，
，
在直线上找一点，使得，
，
设，
，
，(舍去)，
当时，，
，
综上所述，或，
故答案为：或.
【分析】本题的解题关键在于由角的倍数关系推断出等腰三角形，再利用距离公式求出点E坐标.
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效；解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19．（2023·赤峰）（1） 计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式=1-4+2×-（-1）+
=-3+1-+1+
=；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先计算零指数幂、负指数幂、三角函数、绝对值和化简二次根式，再进行实数运算.
(2)先分别求出各个不等式的解，再表示不等式组的解集.
20．（2023·赤峰）已知：如图，点M在的边上．
求作：射线，使．且点N在的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
③画射线．
④以点M为圆心，长为半径画弧，交射线于点N．
⑤画射线．
射线即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵平分．
∴ ，
∵，
∴ ，（ ）．(括号内填写推理依据)
∴．
∴．（ ）．(填写推理依据)
【答案】（1）解：根据意义作图如下：射线即为所求作的射线．
（2）证明：∵平分．
∴，
∵，
∴，(等边对等角)．(括号内填写推理依据)
∴．
∴．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)
【知识点】等腰三角形的性质；作图-平行线；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】(1)先作的角平分线，再过点M作OB的平行线交角平分线于点N.
(2)本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和平行线的判定，熟练运用这些条件进行角之间的数量转换是解题关键.
21．（2023·赤峰）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a b 51.4
乙班 80 80 80，85 c
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由：
（3）甲班共有学生45人，乙班其有学生40人．按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
【答案】（1）79；79；27
（2）解：乙班成绩与甲班平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩的集中度比甲好，总体乙班成绩比较好．
（3）解：获奖人数：（人）．
答：两个班获奖人数为42人．
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：(1)将甲班10名学生竞赛成绩从小到大排列：
70，71，72，78，79，79，85，86，89，91，
中位数；众数；
，
故答案为：79；79；27.
【分析】(1)将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数；
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.
(2)方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
(3)先计算样本中两班符合条件的学生各自所占比例，再乘以各班的人数，最后所得数据之和就是获奖总人数.
22．（2023·赤峰）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元．
（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
（2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？
【答案】（1）解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元．
根据题意得：，
解得：；
答：甲种电子产品销售单价是元，乙种电子产品的单价为元．
（2）解：设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件．
根据题意得：．
解得：．
答：至少销售甲种电子产品万件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据条件所给的数量关系列出二元一次方程组，直接求解即可.
(2)根据条件所给的不等量关系列出一元一次不等式，再求出解集即可.
23．（2023·赤峰）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
（2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ，直线的解析式是 ．当时，x的取值范围是 ．
（3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），
（2）；； 或
（3）解：是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴联立联立，解得或，
∴，，
∵
∴顶点，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；勾股定理的应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】(1) 矩形的顶点坐标分别是，，，，
在矩形内部， 在上， 在矩形外，
， 是矩形的''梦之点''，
故答案为： ， .
(2)如图，
反比例函数 图象是中心对称图形， 点 在图象上，
点 必在反比例函数图象上，
函数图象上的另一个''梦之点''H的坐标是 ，
设直线的解析式为 ，
得，解得，
直线的解析式为 ，
观察图象可得 当时， 或 ，
故答案为：；； 或 .
【分析】(1)利用图象判断点的位置.
(2)利用反比例函数的对称性求另一个梦之点；将点坐标代入解析式，利用待定系数法求解；观察图象，利用两函数交点坐标求自变量取值范围.
(3)利用方程组求两函数的交点，再通过勾股定理判断三角形的形状.
24．（2023·赤峰）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，如图所示，
，为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是切线．
（2）解：连接，如图所示，
由（1）得，，
，
，
．
，
．
设则，
在中，，
．
在中，．
，
，
．
．
，
．
．
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形的应用
【解析】【分析】(1)本题考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定，利用定理转换角之间的数量关系，得到判定切线的条件.
(2)本题考查了解直角三角形的应用，利用三角函数表示出直角三角形的边长，再通过方程解出结果即可.
25．（2023·赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
（1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：①；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：(2)观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
【分析】(1)先将列表中的有序数对表示在坐标系中，再用光滑的曲线连接.
(2)观察图象，根据表格所给信息可得到函数的对称轴，进而得到所需结果；
先将点坐标代入解析式，再利用待定系数法求出解析式.
(3)先表示出新的函数表达式，再将点B坐标代入表达式求解即可.
26．（2023·赤峰）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．
（1）【探究一】
如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；
（2）【探究二】
在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；
（3）【探究三】
把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．
【答案】（1）证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上，
∴，
∴，
∴，
在与中
∴
∴
（2）证明：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵公共角，
∴；
（3）证明：∵是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)通过手拉手旋转全等模型和正方形的性质可以得到与的全等条件，再根据全等的性质求得结论.
(2)本题考查了正方形的性质和三角形的内角和，熟练转换角之间的关系是解题关键.
(3)根据题意构造手拉手旋转全等是解题关键，通过全等得到三角形相似的条件，再通过相似比得到结论.
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