高中数学北师大版必修第一册1.2.2.1 全称量词命题与存在量词命题（含解析）

第1课时　全称量词命题与存在量词命题
课后训练巩固提升
一、A组
1.下列命题中全称量词命题的个数为(　　).
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列命题中的真命题是(　　).
A.存在x∈N,使4x<-3
B.存在x∈Z,使2x-1=0
C.对任意x∈R,2 019x>x2
D.对任意x∈R,x2+2>0
3.(多选题)下列命题是“ x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　).
A.有一个x∈R,使x2>3
B.对有些x∈R,使x2>3
C.任选一个x∈R,使x2>3
D.至少有一个x∈R,使x2>3
4.下列存在量词命题是真命题的是　　　　　.(填序号)
①有些不相似的三角形面积相等;
②存在一个实数x,使x2+x+1<0;
③存在实数a,使一次函数y=ax+b的函数值随自变量x的增大而增大;
④有一个实数的倒数是它本身.
5.用量词符号“ ”“ ”表述下列命题,并判断真假.
(1)所有实数x都能使5x+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数.
6.已知命题p: x∈[1,2],x2-a≥0为真命题,求实数a的取值范围.
二B组
1.命题“ x∈[2,3],x2-a≤0”是真命题的一个充分条件,但不是必要条件是(　　).
A.a≥9 B.a≤9 C.a≥10 D.a≤10
2.已知命题p: x∈N,使x3A.p假q真 B.p真q假
C.p假q假 D.p真q真
3.(多选题)下列命题为真命题的有(　　).
A.关于x的方程mx2+2x-1=0是一元二次方程
B.二次函数y=ax2+2x-1的图象与x轴至少有一个交点
C.互相包含的两个集合相等
D.空集是任何非空集合的真子集
4.已知1≤a≤2,且a,a2,ka3可作为一个三角形的三条边长,则实数k的取值范围是　　　　　.
5.若 m∈R,关于x的方程m(x2-1)+x-a=0都有根,求实数a的取值范围.
6.已知命题p:存在x∈[1,2],使x2-a≥0与命题q:存在x∈R,使x2+2x+3+a=0都是真命题,求实数a的取值范围.
A组：
1.解析:①②是全称量词命题,③是存在量词命题.
答案:C
2.解析:当x∈R时,x2≥0,所以x2+2≥2>0.
答案:D
3.解析:选项C中“任选一个”是全称量词,没有“ ”的含义.
答案:ABD
4.解析:①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意x∈R,x2+x+1=>0,所以不存在实数x,使x2+x+1<0,故②为假命题;③中当实数a>0时,结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题,故选①③④.
答案:①③④
5.解:(1) x∈R,5x+1>0;假命题.
(2) a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解;假命题.
(3) x,y∈Z,使3x-2y=10;真命题.
(4) x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题.
6.解:由命题p为真,可知x2≥a对x∈[1,2]恒成立,即a≤(x2)min,x∈[1,2],又当x∈[1,2]时,(x2)min=1,所以a≤1,故实数a的取值范围是(-∞,1].
B组：
1.解析:若x2-a≤0,对 x∈[2,3]恒成立,则a≥x2在区间[2,3]上恒成立.
令y=x2,x∈[2,3],则ymax=9,所以a≥9.
故要求题干要求的一个充分条件,但不是必要条件,只需求集合{a|a≥9}的一个真子集,观察四个选项知,只有选项C符合.故选C.
答案:C
2.解析:由x3答案:A
3.解析:A中,取特殊值m=0,知A是假命题;B中,当Δ=4+4a<0,即a<-1时,二次函数y=ax2+2x-1的图象与x轴无交点,所以B是假命题;由集合A,B,A B,B A,可得A=B,所以C是真命题;D是真命题.
答案:CD
4.解析:当1≤a≤2时,a≤a2,故a,a2,ka3可作为三角形的三条边长等价于a+a2>ka3且a+ka3>a2.
由a+a2>ka3,1≤a≤2,得k<()2-,由≤1知()2-的最小值为,故k<.
由a+ka3>a2,1≤a≤2,得k>-()2+,由≤1知-()2+的最大值为,故k>.
综上所述,所求实数k的取值范围是().
答案:()
5.解:(1)当m=0时,x-a=0有一个根.
(2)当m≠0时,m(x2-1)+x-a=0有根的充要条件是Δ=1+4m(m+a)=4m2+4am+1≥0恒成立,
又因为4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,此不等式恒成立的充要条件是其对应方程的判别式Δ'=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1.
综上,当m=0时,a∈R;当m≠0时,a∈[-1,1].
6.解:因为命题p为真命题,所以当x∈[1,2]时,a≤(x2)max,而当x∈[1,2]时,x2的最大值是4,所以a≤4.
命题q为真命题,即方程x2+2x+3+a=0有解,因而有Δ=22-4×(3+a)≥0,解得a≤-2.
因为p,q都是真命题,所以有即a≤-2.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-2].
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