高中数学北师大版必修第一册3.2 第1课时　基本不等式（含解析）

第1课时　基本不等式
课后训练巩固提升
一、基础训练
1.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有(　　).
A.1≤ab≤ B.ab<1<
C.ab<<1 D.2.若0A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b
3.(多选题)设a>0,b>0,则下列不等式恒成立的有(　　).
A.a2+1>a B.(a+)(b+)≥4
C.(a+b)()≥4 D.a2+9>6a
4.设a>0,b>0,且a+b≤4,则有(　　).
A. B.≥1 C.≥2 D.
5.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a(a>0),第三年的增长率为b(b>0),这两年的年平均增长率为x(x>0),则(　　).
A.x= B.x≤ C.x> D.x≥
6.设x>0,求证:x+.
7.是否存在正实数a和b,同时满足下列条件:①a+b=10;②=1(x>0,y>0),且x+y≥18 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
二、能力提高
1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,若M=,则必有(　　).
A.0≤M< B.≤M<1
C.1≤M<8 D.M≥8
2.已知实数a,b,c满足条件a>b>c,且a+b+c=0,abc>0,则的值(　　).
A.一定是正数 B.一定是负数
C.可能是0 D.正负不确定
3.(多选题)下列不等式一定成立的有(　　).
A.x2+>x(x>0) B.x+≥2(x>0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
4.设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　　.
5.已知a,b,c为互不相等的正实数,且abc=1.
求证:.
6.已知a,b是正数,求证:( a+)(2b+)≥.
一、基础训练
1.解析:因为a≠b,所以ab<=1,又因为=1,所以>1,故ab<1<.
答案:B
2.解析:∵02ab,a+b>2,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D.
答案:D
3.解析:a2+1-a=(a-)2+>0,故A恒成立;(a+)(b+)=ab+≥2+2=4,当且仅当a=b=1时“=”成立,故B恒成立;(a+b)()=2+≥2+2=4,当且仅当,即a=b时,“=”成立,故C恒成立;当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.
答案:ABC
4.解析:由a>0,b>0,a+b≤4,可知,故≥1成立,而对于A,当a=1,b=3时不成立,当a=b=1时,选项C,D错误,故选B.
答案:B
5.解析:∵这两年的年平均增长率为x,∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b),∴(1+x)2=(1+a)(1+b),
由题设知,a>0,b>0,x>0.
∴1+x==1+,∴x≤,
当1+a=1+b,即a=b时等号成立.故选B.
答案:B
6.证明:因为x>0,所以x+>0,所以x+=x+≥2,当且仅当x+,即x=时,等号成立.
7.解:因为=1,x>0,y>0,a>0,b>0,所以x+y=(x+y)()=a+b+≥a+b+2=()2.又x+y≥18,所以()2=18,
由解得
故存在实数a=2,b=8或a=8,b=2满足条件.
二、能力提高
1.解析:因为a+b+c=1,所以M=(-1)(-1)(-1)==8.当且仅当a=b=c=时等号成立.
答案:D
2.解析:因为a>b>c,且a+b+c=0,abc>0,
所以a>0,b<0,c<0,且a=-(b+c),
所以=-,
因为b<0,c<0,所以b+c≤-2,
所以-,又≤-2,
所以--2=-<0,故选B.
答案:B
3.解析:对于A,当x=时,x2+=x,所以A不一定成立;对于B,当x>0时,x+≥2=2成立,故B一定成立;对于C,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+1≥1,所以0<≤1,故D不成立.
答案:BC
4.解析:因为a>0,b>0,所以不等式≥0恒成立可化为k≥-()(a+b)=-()-2恒成立.
又因为a>0,b>0时,≥2,当且仅当a=b时等号成立,所以-()≤-2,所以k≥-4,即k的取值范围是[-4,+∞).
答案:[-4,+∞)
5.证明:因为a,b,c为互不相等的正实数,abc=1,所以>2=2>2=2>2=2,所以2>2(),即.
6.证明:因为a,b是正数,利用基本不等式,得=2ab++2+=(2ab+)+≥2+,当且仅当ab=时,等号成立.
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